Mathématiques théoriques

Mots circulaires (publications)

    Un mot circulaire (sous-entendu : pointé) sur un alphabet donné est un mot fini dont les $\ell$ lettres sont indexées par $\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}$ (et non $\{0,\ldots, \ell-1\}$ comme pour un simple mot fini). On le note $\widetilde{W}=\widetilde{w_0\ldots w_{\ell-1}}$ pour le distinguer du mot fini ordinaire $W=w_0\ldots w_{\ell-1}$. Cette notion semble avoir été introduite pour la première fois dans un article cosigné avec Laurent Vivier (LDAR, université Paris-Diderot), à l'origine pour étudier une généralisation des nombres $p$-adiques à des systèmes de numération alternatifs à celui de la base $p$ (ainsi que des questions de dynamique substitutive).
    En-dehors d'applications en didactique des mathématiques, la structure algébrique des mots circulaires sur $\{0,\ldots, b-1\}$ (où $b\geq 2$ est un entier) est sans mystère : il s'agit simplement du groupe additif $\mathbb{Z}/(b^\ell-1)\mathbb{Z}$. Les choses sont plus intéressantes lorsqu'on se place dans un cadre combinatoire plus général. Par exemple, identifions les mots circulaires selon la règle de Fibonacci, c'est-à-dire que tout facteur de $\widetilde{W}$ composé des trois lettres $abc$ peut être remplacé par $(a-1)(b-1)(c+1)$ sans changer la classe d'équivalence du nouveau mot circulaire ainsi obtenu (mais on peut imaginer des règles plus générales). Par exemple, on a $\widetilde{01100}=\widetilde{00010}$, ainsi que (en vertu de la structure circulaire) $\widetilde{100001}=\widetilde{010000}$. On peut alors montrer le résultat fondamental suivant (à quelques identifications près) : l'ensemble $G_\ell$ des classes de mots circulaires à $\ell$ lettres est un groupe abélien fini que l'on peut décrire explicitement. Par exemple, pour $\ell=2m$, l'ordre $c_m$ du groupe décrit la suite A004146 de l'encyclopédie de Sloane ($1$, $5$, $16$, $45$, $121$, $320\ldots$). Plus précisément, selon la parité de $m$, $c_m$ est soit de la forme $d_m^2$, soit de la forme $5d_m^2$, et $G_{2m}$ est isomorphe à $(\mathbb{Z}/d_m\mathbb{Z})^2$ ou à $(\mathbb{Z}/d_m\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/5d_m\mathbb{Z})$ selon le cas. La suite A004146 est connue, elle donne le nombre d'arbres couvrants de la $m$-roue (c'est-à-dire le graphe composé des $m+1$ sommets $c$, $s_0$, $\ldots$, $s_{m-1}$, où les $s_i$ forment un cycle et où le sommet $c$, le centre, est relié à chaque $s_i$ par une arête), ce qui fournit une interprétation combinatoire des classes de mots circulaires.
    Voici trois applications des mots circulaires :

• une démonstration nouvelle de la relation classique $\mbox{pgcd}(F_i,F_j)=F_{\mbox{pgcd}}(i,j)},$ où $(F_i)_i$ est la suite de Fibonacci. Il se trouve que la suite $(c_m)_m$ s'exprime facilement à l'aide de $(F_i)_i$. La relation précédente est alors une conséquence très immédiate de l'existence, pour tout entier $d$, du morphisme injectif de groupes $G_{\ell}\longmapstoG_{d\ell}$ qui à tout mot circulaire $\widetilde{W}$ associe $\widetilde{W^d}$ (où $W^d$ désigne la concaténation de $d$ copies de $W$).
• une propriété des préfixes du mot de Fibonacci, c'est-à-dire du point fixe $M=abaababaabaab\ldots$ de la substitution $\sigma$ définie sur l'alphabet $\{a,b\}$ par $\sigma(a)=ab$ et $\sigma(b)=a$. Certaines propriétés des groupes $G_\ell$ permettent de déterminer des valeurs non triviales $k$ et $q$ telles que le mot $bM$ s'écrive $A_1\ldots A_qM'$, où les $q$ mots $A_1$, $\ldots$, $A_q$ sont tous de même longueur $k$ et contiennent tous le même nombre de $a$ (et donc aussi le même nombre de $b$).
• l'étude algébrique des nombres $F$-adiques, une structure à l'origine plutôt envisagée (dans un article de Liardet, Grabner et Tichy) d'un point de vue dynamique. Un nombre $F$-adique est un mot infini sur l'alphabet $\{0,1\}$ satisfaisant à la condition d'admissibilité de Fibonacci qui est que le motif $11$ ne se trouve nulle part dans le mot. On peut voir ces nombres comme une généralisation des nombres $p$-adiques dans lequel les puissances successives de l'entier positif $p$ ($p^0$, $p^1$, $p^2$, $p^3$, etc.) sont remplacées par les termes de la suite de Fibonacci $F_0=1$, $F_1=2$ et $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ pour tout $n\geq 2$. L'ensemble $F$ des nombres $F$-adiques possède une structure naturelle de groupe abélien, sous réserve d'effectuer les identifications $(01)^\infty=(10)^\infty$ et $W0(01)^\infty=W10(01)^\infty$ pour tout mot fini admissible $W$. Il est ensuite naturel de s'intéresser aux rationnels de l'ensemble $F$, c'est-à-dire aux $F$-adiques $X$ pour lesquels il existe deux entiers $p$ et $q$ tels que $qX=p$ (en identifiant $p$ au $F$-adique qui en est le développement en base de Fibonacci). On peut démontrer que, de même que dans les systèmes de numération classiques des réels à base entière, un $F$-adique est rationnel si, et seulement si, il est ultimement périodique. La principale différence avec le cas réel est que l'équation $qX=p$ a toujours exactement $q$ solutions (avec éventuellement une $(q+1)$-ième dans le cas particulier où $q$ divise $p$).
  

Suites de Fibonacci aléatoires (publications)

    Dans sa version classique, une suite de Fibonacci aléatoire est une suite définie par la relation de récurrence $F_{n}=|F_{n-1}\pm F_{n-2}|$ (ou $F_{n}=F_{n-1}\pm F_{n-2}$), le signe $\pm$ étant aléatoirement fixé pour chaque $n$ par le résultat du lancer d'une pièce de monnaie. Une question centrale est de savoir si une telle suite possède un facteur de croissance. À partir d'un résultat de Harry Furstenberg, Divakar Viswanath a montré que oui, au sens suivant : presque toute suite de Fibonacci aléatoire est à croissance exponentielle de facteur $v=1,1319\ldots$, c'est-à-dire que, presque sûrement, la suite ${}^n\sqrt{F_n}$ converge vers $v$, une valeur obtenue comme l'intégrale d'une fraction rationnelle selon une mesure construite à partir des intervalles de Stern-Brocot (c'est-à-dire les intervalles de $\mathbb{R}^+$ de la forme $[a/b,c/d[$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des entiers tels que $ad-bc=-1$).
    Une autre façon d'appréhender ces suites consiste à construire l'arbre binaire dont la racine est étiquetée par $F_0$, l'unique enfant de la racine par $F_1$, et tel que tout nœud (sauf la racine) étiqueté $x$ et de parent $y$ possède un enfant gauche étiqueté $|x-y|$ et un enfant droit étiqueté $x+y$. À toute marche dans l'arbre correspond donc une suite de Fibonacci aléatoire. On appelle ${\mathbf R}$ le sous-arbre obtenu en supprimant dans l'arbre tout enfant gauche d'un enfant gauche (ici, les arêtes verticales désignent les enfants droits d'enfants gauches, sauf pour les deux premières arêtes).


    Cet arbre permet de produire des résultats nouveaux sur la croissance des suites de Fibonacci aléatoires. De plus, il possède quantité de propriétés arithmétiques et combinatoires intéressantes pour elles-mêmes, la première d'entre elles est que le nombre d'arêtes sur la ligne $\rho_n$ est donné par le $n$-ième terme de la suite de Fibonacci.
    Avec Thierry de la Rue et Élise Janvresse (LMRS, CNRS, Université de Rouen), une étude fine de la dynamique du système nous a permis de simplifier les résultats de Viswanath et de les étendre au cas plus général d'une pièce de monnaie déséquilibrée. Le résultat principal consiste en une réecriture de la constante de Viswanath sous la forme $\int_0^{+\infty}\ln(x)\mbox{d}\mu(x)$, où $\mu$ est une variante de la mesure donnée par la question mark de Minkowski.
    Une généralisation naturelle des suites de Fibonacci aléatoires consiste à considérer une suite de la forme $F_n:=|\lambda F_{n-1}\pm F_{n-2}|$, où $\lambda$ est un paramètre fixé (la généralisation $F_n:=|\lambda F_{n-1}\pm \mu F_{n-2}|$ s'y ramène par un simple changement de variable). Les techniques employées pour le cas $\lambda=1$ se généralisent de façon très naturelle lorsque $\lambda$ est de la forme $\lambda_k:=2\cos(\pi/k)$, où $k\geq 3$ est un entier (les premières valeurs des $\lambda_k$ sont $\lambda_3=1$, $\lambda_4=\sqrt{2}$, $\lambda_5=(1+\sqrt{5})/2$ et $\lambda_6=\sqrt{3}$). En particulier, il existe un équivalent de l'arbre ${\mathbf R}$ pour chaque $\lambda_k$, et dont la structure combinatoire est la suivante : c'est le plus gros arbre binaire ne contenant pas de $(k-1)$-ième enfant gauche (un $i$-ième enfant gauche étant, par définition, l'enfant gauche d'un $(i-1)$-ième enfant gauche, un $0$-ième enfant gauche étant un enfant droit).
    L'ensemble des résultats obtenus pour les suites de Fibonacci aléatoires classiques s'étend à ces nouveaux cas. Ces derniers correspondent, en géométrie hyperbolique, aux groupes de Hecke, qui sont les seuls pour lesquels le groupe de transformations du demi-plan hyperbolique $\mathbb{H}$ engendré par $z\longmapsto -1/z$ et $z\longmapsto z+\lambda$ est discret.
    En théorie des nombres, l'intérêt premier de l'arbre ${\mathbf R}$ est qu'il constitue un algorithme de développement en fraction continue des rationnels. L'application qui à toute arête $(a,b)$ de ${\mathbf R}$ fait correspondre le rationnel $a/b$ est bijective, et la marche dans l'arbre qui mène de la racine à cette arête est un codage du développement en fraction continue de $a/b$. Cet algorithme est fondamentalement différent des algorithmes classiques, dans la mesure où au début de la marche correspond la fin du développement en fraction continue.
    Cette propriété reste vraie pour l'équivalent de ${\mathbf R}$ pour les $\lambda_k$-suites de Fibonacci aléatoires. En notant $\lambda$ pour $\lambda_k$, l'algorithme donné par l'arbre correspond à un développement en $\lambda$-fraction continue, de la forme
$$a_0\lambda+\frac{1}{\displaystyle a_1\lambda+{\frac{1}{a_2\lambda+\cdots}}},$$
où les $a_i$ sont des entiers (une telle expression est une fraction continue de Rosen).
    Élargir à d'autres valeurs de $\lambda$ notre compréhension des suites de Fibonacci aléatoires passe sans doute par une étude approfondie des $\lambda$-fractions continues, notamment dans leurs aspects combinatoires. Cette étude a fait l'objet d'un article qui détaille les propriétés de la fonction qui met en correspondance les $\lambda$-fractions continues et les $\beta$-shifts. Ce travail, qui présente un intérêt propre, est un premier pas pour une étude plus générale des suites de Fibonacci aléatoires.

Fractions continues (publications)

    Le lien entre fractions continues et systèmes de numération suggère que le point de vue symbolique est fécond pour étudier les fractions continues. On peut notamment se poser la question du spectre de Lagrange des $\lambda$-fractions continues, dont un cas particulier est la recherche du nombre le moins bien approché par des $\lambda$-fractions continues. Il est connu que la réponse est le nombre d'or $\varphi=(1+\sqrt{5})/2$ pour les fractions continues ordinaires (c'est-à-dire le cas $\lambda=1$). Pour les fractions continues de Rosen, la réponse a été donnée par Andrew Haas et Caroline Series, avec le formalisme de la géométrie hyperbolique. Le point de vue symbolique, qui consiste à représenter un algorithme de développement en $\lambda_k$-fraction continue par un arbre $(k-1)$-aire, permet de retrouver ce résultat plus simplement, et permet probablement de l'étendre à d'autres valeurs de $\lambda$. Ce point de vue arborescent constitue un cadre d'une grande généralité, qui permet de traiter simultanément tous les systèmes de numération reposant sur la même structure combinatoire. C'est ainsi que l'on démontre simultanément que le nombre d'or est le moins bien approché par les nombres rationnels (formalisme des fractions continues ordinaires), que $1/3$ est le nombre le moins bien approché par les nombres dyadiques (formalisme de la base $2$), ou encore que $\mbox{e}$ est le nombre le moins bien approché par les fractions continues de Engel, etc.
    À part dans de rares cas particuliers, peu de choses sont connues du point de vue algébrique sur les $\lambda$-fractions continues, même dans le cas des fractions continues de Rosen. En particulier, on ne sait pas décrire l'ensemble des $\lambda$-fractions continues finies, ou périodiques. Une question consiste donc à rechercher des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles on peut espérer trancher. Il est possible qu'une perspective symbolique sur les $\lambda$-fractions continues permette de faire des progrès dans cette direction. En particulier, on peut se poser la question d'une démonstration combinatoire du théorème de Lagrange (qui donne l'équivalence $x$ quadratique $\Longleftrightarrow$ le développement en fraction continue de $x$ est périodique).

    Un autre type de question concerne l'équation de Markoff, qui est l'équation diophantienne $a^2+b^2+c^2=3abc$. Cette équation est reliée au spectre de Markoff pour $\mathbb{Q}$, et une ancienne conjecture affirme qu'elle n'a qu'une seule solution une fois le plus grand des trois entiers ($a$, $b$ ou $c$) fixé. Un travail en collaboration avec Ryuji Abe a consisté à étudier le "développement en fraction continue" d'éléments de $\mbox{PSL}(2,\mathbb{Z})$ liés à cette équation et à l'une de ses généralisations, dite de Vulakh-Schmidt, qui fait intervenir des matrices de $\mbox{PSL}(2,\mathbb{Z}[\sqrt{2}])$.
    Une façon classique de représenter l'ensemble des triplets de Markoff $(a,b,c)$ consiste à construire un arbre binaire complet dont les nœuds sont des triplets de matrices de $\mbox{PSL}(2,\mathbb{Z})$, chaque nœud de l'arbre étant construit à partir de son parent en multipliant deux de ses matrices, selon des règles explicites. L'ensemble des triplets de Markoff s'obtient alors en remplaçant chaque matrice par son coefficient de la seconde ligne et de la première colonne. La généralisation proposée par Vulakh consiste à s'intéresser au système
$$\left\{\begin{array}{rcl} x_1+x_2&= & 2y_1y_2\\ 2x_1x_2 &=& y_1^2+y_2^2\end{array}\right..$$
    L'intérêt de cette généralisation est que, alors que l'on déduit des solutions de l'équation de Markoff la partie discrète du spectre de Markoff pour $\mathbb{Q}$, celles du système de Vulakh permettent d'étudier la partie discrète du spectre de Markoff pour $\mathbb{Q}(\mbox{i})$. Il existe également une structure arborescente pour lister les solutions de ce système d'équations : c'est l'arbre de Vulakh-Schmidt, introduit par Abe et Aitchison. Cet arbre est ternaire complet et ses nœuds sont composés de quadruplets de matrices, dont deux sont dans $\mbox{PSL}(2,\mathbb{Z})$ et deux sont de déterminant $1$ et à coefficients dans $\mathbb{Z}\cup\sqrt{2}\mathbb{Z}$. Dans le cadre de Vulakh-Schmidt, deux caractéristiques des développements en fraction continue des matrices de $\mbox{PSL}(2,\mathbb{Z})$ qui apparaissent dans cet arbre sont remarquables : pour chacune d'elles, les quotients partiels sont majorés par $3$ et forment une suite (finie) essentiellement palindromique. Ce résultat fait écho au résultat analogue et ancien dans le cas de Markoff, où les quotients partiels sont au plus égaux à $2$ et forment eux aussi des suites palindromiques.
    Puisque l'arbre de Vulakh-Schmidt fait intervenir des matrices à coefficients dans $\mathbb{Z}$ et $\sqrt{2}\mathbb{Z}$, il est naturel de s'intéresser au développement en $\sqrt{2}$-fraction continue de ces matrices. Il apparaît que celui-ci et fini et que, en choisissant un algorithme adapté de développement, il ne peut contenir que trois quotients partiels ($\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$ et $2\sqrt{2}$), répartis selon une structure palindromique explicite.
    Aussi bien pour le cas Markoff que pour le cas Vulakh-Schmidt, la totalité de l'information contenue dans un triplet ou quadruplet de matrices de l'arbre peut se reconstituer à partir des seules coordonnées de Frobenius de l'un de ses éléments (les matrices de l'arbre s'obtiennent toutes à partir de deux matrices initiales, les coordonnées de Frobenius comptent le nombre de fois que chacune de ces deux matrices apparaît dans l'expression d'une matrice de l'arbre). En d'autres termes, l'abélianisation ne fait pas perdre d'information ; on retrouve cette information à partir d'un algorithme"inverse" de l'algorithme classique de Stern-Brocot.

    Il est connu depuis le XIX${}^\mbox{e}$ siècle et Joseph-Alfred Serret que l'itération de la méthode de Newton pour le polynôme $x^2-a$ en partant de la partie entière de $\sqrt{a}$ fournit la sous-suite des réduites de $\sqrt{a}$ indexée par les puissances de $2$. Le phénomène fait écho au fait que l'ordre de la méthode de Newton est égal à $2$ (autrement dit que la vitesse de convergence est quadratique). Plus récemment, divers auteurs (Georg Rieger, Takao Komatsu, Edward Burger) ont obtenu des sous-suites arithmétiques de réduites de nombres quadratiques en appliquant la méthode de Newton à des fonctions non polynomiales bien choisies. Une forme plus générale et plus synthétique de ces résultats peut être donnée, qui permet de lever diverses hypothèses faites par ces auteurs et d'englober une vaste classe d'irrationnels quadratiques pour lesquels on peut, avec la méthode de Newton, produire des sous-suites arithmétiques de réduites. Il se trouve, d'autre part, que d'autres schémas numériques produisent le même type de phénomène que celui observé par Serret. La méthode de la sécante, par exemple, dont l'ordre de convergence est égal au nombre d'or, permet de produire des sous-suites de réduites indexées par une suite de Fibonacci pour une vaste classe d'irrationnels quadratiques.

Théorie ergodique et équirépartition modulo 1 (publications)

    La disjonction faible est une notion qui généralise celle de disjonction proposée par Harry Furstenberg. Deux transformations $S$ et $T$ préservant la mesure d'un même espace probabilisé $(X,P)$ sont dites faiblement disjointes lorsque, deux fonctions $f$ et $g$ de $L^2(X)$ étant données, il existe un pavé de mesure $1$ de l'espace produit $X\times X$ tel que, pour tout élément $(x,y)$ de ce pavé, les moyennes de Birkhoff
$$\frac{1}{N}\sum_{n<N}(f\otimes g)((T\otimes S)^n(x,y))$$
sont convergentes. La disjonction entraîne la disjonction faible, mais il existe des exemples de transformations faiblement disjointes non disjointes. La motivation initiale de cette définition est qu'elle fournit une condition suffisante assez générale qui garantit la convergence pour presque tout $x\in X$ des moyennes ergodiques diagonales :
$$\frac{1}{N}\sum_{n<N}f(T^nx)\cdot g(S^nx).$$
    Le cas où $T$ et $S$ sont des transformations du tore de dimension $d$ conduit à la théorie de l'équirépartition modulo $\mathbb{Z}^d$. Il s'agit de savoir de quelle manière la suite des parties fractionnaires d'une expression comme $(tP(n)F(n\Theta))_n$ (où $P$ est un polynôme, $F$ une fonction $\mathbb{Z}^d$-périodique raisonnablement régulière et $\Theta\in\mathbb{R}^d$) se répartit dans le pavé $[0,1[^d$, pour presque toute valeur de $t$. Cette question implique une utilisation fine des propriétés diophantiennes de $\Theta$ et de la notion de discrépance. Mes publications sur la question énoncent en substance que la suite $(tP(n)F(n\Theta))_n$ ci-dessus est uniformément répartie modulo $\mathbb{Z}^d$ pour presque toute valeur de $t$. Le cas le plus facile à traiter (qui faisait l'objet de ma thèse), est celui où $\Theta$ est de type diophantien fini, c'est-à-dire (en dimension $1$) qu'il existe une valeur finie $\eta\geq 1$ telle que, quels que soient les entiers $p$ et $q$, on a $|\Theta-p/q|\geq 1/q^{1+\eta}$. Lorsque $\Theta$ n'est pas de type diophantien fini, et/ou lorsque la dimension est plus grande que $1$, de nombreuses difficultés supplémentaires surgissent, qui demandent une analyse fine des comportements asymptotiques de grandeurs diverses.

    Parmi les outils centraux de la théorie de l'équirépartition, l'inégalité de Koksma indique que l'écart maximum entre l'intégrale d'une fonction $f$ (définie sur $[0,1]$) et sa moyenne sur un nombre fini de points $x_0$, $\ldots$, $x_{N-1}$ se majore ainsi :
$$\left|\int_0^1f(t)\mbox{d}t-\frac{1}{N}\sum_{n<N}f(x_n)\right|\leq D_N((x_n)_n)\cdot V(f),$$
où $V(f)$ est la variation totale de $f$ et $D_N((x_n)_n)$ la discrépance-$*$ des $x_i$, qui quantifie le défaut d'uniforme répartition de $(x_n)_n$ dans l'intervalle $[0,1]$. Une généralisation intéressante est une version $L^2$ de cette inégalité, dans l'espace de Banach $O(1/n)$ des fonctions $f$ dont la suite des coefficients de Fourier est en $O(1/n)$. Cette nouvelle inégalité de Koksma a pour conséquence une simplification notable d'un résultat de Mariusz Lemanczyk et al. sur les propriétés de mélange pour des flots spéciaux au-dessus de rotations irrationnelles.


Liste des publications par thème (voir ici la liste complète de mes publications)

Mots circulaires (présentation)

Benoît Rittaud, "Numeration systems for circular words and applications to arithmetics" (soumis).

Benoît Rittaud & Laurent Vivier, "The field $\mathbb{Q}$ from the standpoint of circular words and history" (soumis).

Benoît Rittaud, "Structure of Classes of Circular Words defined by a Quadratic Equivalence", RIMS Kôkyûroku Bessatsu (à paraître).

Benoît Rittaud & Laurent Vivier, "Does Numerology Allow a group to have Two Identity Elements?", The American Mathematical Monthly 119 n°4 (2012), 439.

Benoît Rittaud & Laurent Vivier, "Circular words and three applications: factors of the Fibonacci word, $F$-adic numbers, and the sequence 1, 5, 16, 45, 121, 320, $\ldots$, Functiones et Approximatio 47 n°2 (2012), 207-231.

Benoît Rittaud & Laurent Vivier, "Circular words and applications", Proceedings 8th International Conference Words 2011, Prague, 31-36. Lire l'article

Suites de Fibonacci aléatoires (présentation)

Élise Janvresse, Benoît Rittaud & Thierry de la Rue, "Dynamics of $\lambda$-continued fractions and $\beta$-shifts", Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A 33 n°4 (2013), 1477-1498.

Élise Janvresse, Benoît Rittaud & Thierry de la Rue, "Almost-sure growth rate of generalized random Fibonacci sequences", Annales de l'Institut Henri Poincaré - Probabilités et Statistiques 46 n°1 (2010), 135-158.

Élise Janvresse, Benoît Rittaud & Thierry de la Rue, "Growth rate for the expected value of a generalized random Fibonacci sequence", Journal of Physics A 42 n°8 (2009), 085005.

Élise Janvresse, Benoît Rittaud & Thierry de la Rue, "How do random Fibonacci sequences grow?", Probability Theory and Related Fields 142 n°3-4 (2008), 619-648.

Benoît Rittaud, "On the average growth of random Fibonacci sequences", Journal of Integer Sequences 10 (2007), Article 07.2.4. Lire l'article

Fractions continues (présentation)

Benoît Rittaud, "Medietic numeration systems and combinatorics of Rosen continued fractions", en préparation pour le second volume de CANT: Combinatorics, Automata and Number Theory.

Ryuji Abe & Benoît Rittaud, "Combinatorics on Words of Markoff's Spectrum for $\mathbb{Q}$ (soumis).

Ryuji Abe & Benoît Rittaud, "Combinatorics on Words of Markoff's Spectrum for $\mathbb{Q}(\mbox{i})$" (soumis).

Benoît Rittaud, "De la Grande année aux suites de Kronecker", Qu'est-ce qu'un nombre au hasard ? Journ\'ee annuelle 2011 de la Société Math\'ematique de France, SMF (2011).

Benoît Rittaud, "On subsequences of convergents to a quadratic irrational given by some numerical schemes", Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 22 n°2 (2010),  449-474.

Ryuji Abe & Benoît Rittaud, "Quasi-palindromy of elements of $\mbox{PSL}(2, \mathbb{Z})$ associated to the Markoff spectrum, WORDS 2007, Proceedings of the 6th International Conference on Words (Pierre Arnoux, Nicolas Bédaride & Julien Casseigne  éds.), 7-17.

Théorie ergodique et équirépartition modulo 1 (présentation)

Benoît Rittaud, "A Koksma's inequality in $O(1/n)$ and a consequence for the mixing property of special flows", (soumis).

Benoît Rittaud, "Équidistribution presque partout modulo 1 de suites oscillantes perturbées - III - Cas liouvillien multidimensionnel", Journal of Number Theory 122 n°2 (2007), 261-282.

Benoît Rittaud, "Équidistribution presque partout modulo 1 de suites oscillantes perturbées - II - Cas liouvillien unidimensionnel", Colloquium Mathematicum 96 n°1 (2003), 55-73.

Emmanuel Lesigne, Benoît Rittaud & Thierry de la Rue, "Weak disjointness of measure-preserving dynamical systems", Ergodic Theory and Dynamical Systems 23 n°4 (2003), 1173-1198.

Benoît Rittaud, "Équidistribution presque partout modulo 1 de suites oscillantes perturbées", Bulletin de la  Société Mathématique de France 128 n°3 (2000), 451-471.

Benoît Rittaud, "Équidistribution presque partout modulo $1$ de suites oscillantes", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris Série I - Mathématiques 327 n°4 (1998), 339-342.

Thèse, habilitation

Manuscrit de ma thèse soutenue en janvier 1999 (dir. Emmanuel Lesigne, LMPT, CNRS, Université de Tours).

Manuscrit de mon habilitation à diriger des recherches soutenue en décembre 2008 à l'université Paris-13.

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