Groupes et algèbres de Lie — M024

Master 1 — 2016/2017

Les cours sont assurés par Grégory Ginot, et les TDs par Marco Robalo.
Sur cette page on trouvera prochainement le polycopié du cours, les feuilles d'exercices.
Les cours et TDs seront mis à jour petit à petit.  Plus de détails et corrigés seront disponibles sur Sakai pour les élèves inscrits.
 Merci de nous signaler toutes les erreurs que vous trouverez !!!

 le cours a lieu le Mardi de 8h30 à 10h30, en salle 24-34, 105.

DEUXIÈME SESSION 6 JUIN 8h30 - 10h30, en salle 24-34, 201.

EXAMEN 2 MAI 8h30 - 10h30




Dernière modification : Grégory Ginot, 1 juin 2017

Progression du cours

Poly. (version du 31 janvier 2017)

Chapitre I.   Groupes topologiques et groupes de Lie linéaires .
(Réviser la notion d'espace séparé/Hausdorff, compacité).
Définitions, propriétés élémentaires et exemples de groupes topologiques, morphismes de groupes topologiques.
Etude de la composante connexe de l'unité d'un groupe topologique: c'est un groupe topologique fermé et distingué qui est contenu dans tout sous-groupe ouvert.
Définition d'une action continue d'un groupe topologique, de la topologie quotient, propriété universelle du quotient et exemples.
 Rappels sur la norme des applications linéaires dans un EVN,  démonstration que le groupe linéaire GL(V) est topologique, ouvert dans les endomorphismes, dense en dim. finie, que l'inversion est différentiable et même anlaytique et calcul de sa différentielle.

Exponentiell de  matrices (inversibilité, mutliplicativité pour les endomorphismes commutants, c'est un homéomorphisme local,  définition du logarithme,  surjectivité  dans le cas complexe, c'est un homéo entre nilpotent et unipotent, entre matrices symétriques et symétriques définies positives).
(R)appels sur les décompositions de Jodan des endomorphismes, les conditions de tri/diagonalisation simultanées.

Décomposition polaire (cas réel et complexe), propriétés topologiques des groupes orthogonaux et unitaires, l'exponentielle de matrice est un homéomorphisme entre matrices symétriques (ou hermitiennes) et celles qui sont définies positives.

Définition des groupes de Lie linéaires, remarques et exemples classiques (orthogonaux, SL, produits, matrices triangulaires, groupes finis etc..).
Algèbre de Lie d'un groupe de Lie, définition pour les sous-groupes plongés et intrinsèque via les groupes à un paramètre. Lemme caractérisant l'exponentielle d'une somme et d'un commutateur. Définition et propriétés de la différentielle d'un morphisme de groupes de Lie comme morphisme entre les algèbres de Lie associées.
Définition de l'exponetielle d'un groupe de Lie (cas intrinsèque et cas plongé), diagramme commutatif la reliant avec les morphismes de groupes de Lie et leur différentielle. Théorème: l'exponentielle d'un groupe
de Lie est un homéomorphisme local. Corollaires: la composante neutre est engendrée par l'exponentielle de l'algèbre de Lie. Un morphisme entre groupes de Lie connexes dont la différentielle est surjective est surjectif. Deux sous-groupes fermés plongés dans un groupe de Lie, dont les algèbres de Lie sont les mêmes ont les mêms composantes neutres. Définition et propriétés de la réprésentation adjointe. Différentielle de la représentation adjointe et opérateur [X,-].
Caractérisation des sous-groupes connexes centraux (resp. distingués) en fonction des algèbres de Lie.

Début du Chapitre 3:

Définition des algèbres de Lie (relation de Jacobi et de Leibniz), morphismes d'algères de Lie, sous-algèbres, idéaux et propriétés élémentaires.  Exemple fondamental: algèbre de Lie associée à une algèbre associative et corollaire: l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie est bien une algèbre de Lie (une sous-algèbre de Lie pour sa version plongée).
Deuxième exmple fondamental: dérivations.
Définition des représentations d'une algèbre de Lie. Etude de l'exemple fondamental de la représentation adjointe. Remarque sur le centre, les sous-espaces stables de la repr. adjointe et le fait qu'elle se factorise au travers des dérivations. Utilisation des idéaux et représentations induites et quotients.

Algèbres de Lie Nilpotentes: Définition, suite centrale, lemme les caractérisant en fonction de ad. Exemples clés: Algèbres de Lie abéliennes, sous-algèbres des matrices diagonales, (sous-)algèbres des matrices triangulaires supérieures strictes. Théorème de Engel et sa démonstration. Corollaire: une algèbre de Lie est nilpotente si et seulement sa représentation adjointe est constituée d'opérateurs nilpotents.

Algèbres de Lie résoluble. Définition et Suite dérivée d'idéaux. Caractérisation en termes de quotients abéliens. Propriétés élémentaires (Nilpotente => Résoluble, Résolubilité et suite exacte courte d'algèbres de Lie, suite dérivées de l'idéal dérivé). Exemple fondamental: b_n(K) les matrices triangulaires est résoluble mais pas nilpotente.

Théorème de Lie: une algèbre de Lie plongée dans gl(n) est résoluble si et seulement si c'est une sous-algèbre de Lie de b_n(C).
Corollaire: une algèbre de Lie est résoluble si et seulement si son idéal dérivé est nilpotent.
Critère de Cartan 1. Preuve de cs théorèmes.

Algèbres de Lie semi-simples et simples. Définition, comparaison, définition du radical résoluble. Définition de la forme de Killing et plus généralement des formes bilinéaires symétriques associées à une représentation.
Caractérisation des résolubles en termes de forme de Killing (critère de Cartan 2).

Théorème de Cartan de classification des semi-simples. Les semi-simples sont égal à leur idéal dérivé.
Algèbres de Lie réductives et simples (exemples, relation avec les groupes compacts: voir la feuille de TD pour les preuves). 
Énoncé du théorème de Weil de complète décomposition des représentations d'une algèbre de Lie semi-simple.
Étude des représentations irréductibles de SL(2,C).

Chapitr eIV: représentation conintues et unitaires des groupes topologiques. Conséquence sur la décomposabilité en sous-représentations irréductibles. Relations entre décompositions d'un groupe de Lie et celles de son algèbre de Lie (le paragraphe 4.2 a été traité en entier). Définition d'une mesure de Haar et énoncé du Théorème 4.3.3 (toute la démonstration est hors programme).
Enfin on a parlé des conséquences de ce thèorème: cette partie n'est pas au programme de l'examen: Théorèmes 4.5.4 et 4.5.5 (Peter-Weyl).

  Il est impératif de bien étudier/reprendre les exemples, exercices vus en TDs et en cours.


 


Devoirs :



Examens des années précédentes :

Progression  des TDs

Les TDs ont lieu  tous les mercredi de 16h45 à 19h45, Atrium 317

Les feuilles de TD seront disponibles sur la page de Marco Robalo.