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Programmes de la MACS

Mathématiques Appliquées et Calcul Scientifique (M.A.C.S.)

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Contenu des enseignements de la MACS 2009-2010

 

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Année 1 : Semestre 5 et semestre 6 (cycle licence, 3)
Année 2 : Semestre 7 et semestre 8 (cycle master, 1)
Année 3 : Semestre 9 et stage (semestre 10), (cycle master, 2)


Le volume horaire est indiqué en global sur le semestre.
A ces horaires de cours scientifiques, doivent être ajoutés 90h par semestre de cours de culture d'entreprise et de langues.
Nombre moyen d'heures par semestre 360h soit 30h/semaine.

 

Semestre 5

Discipline Enseignants Contenu sommaire Contenu détaillé
 
1 - Mathématiques pour ingénieurs 
(30h-3ects) 
O. LAFITTE
Y. PENEL

Revoir toutes les notions de mathématiques faisant partie du 'background' d'un ingénieur acquises au cours des deux premières années d'études supérieures. Résoudre des problèmes mathématiques avec des outils précis.

1) Suites et séries.
2) Notions de topologie réelle et dans un espace de dimension finie. Normes et distances.
3) Fonctions: continuité, limites, étude, dérivabilité, extrema.
4) Développements limités. Séries entières, séries de Fourier.
5) Equations différentielles ordinaires. Systèmes différentiels 
ordinaires.
6) Espaces vectoriels. Endomorphismes et matrices. 
7) Déterminant. Espaces propres. Rang et théorème du rang. Inversion par la méthode du pivot de Gauss.
8) Diagonalisation. Propriétés des espaces propres. Espaces stables. Réduction.
9) Espaces vectoriels euclidiens et endomorphismes symétriques.
10) Suites et séries de fonctions.
11) Intégration.

2 - Analyse 
(78h-8ects)
M. BALABANE
M. ZERZERI
Comprendre les outils de l'analyse fonctionnelle et leur application à la résolution théorique et numérique, et savoir manier ces outils. 1- Théorèmes d'existence locale pour les EDO
2- inégalité de Gronwall et unicité des solutions d'EDO (conditions 
de Cauchy).
3- espace de Banach; applications linéaires continues, applications à 
noyau intégral.
4- contractions et théorèmes du point fixe
5- techniques de perturbation et développements de Von Neumann
6- application à l'équation de Laplace 1D
7- Espaces de Hilbert
8- théorème de représentation de Riesz et application à l'équation 
de Laplace 1D
9- bases hilbertiennes. Séries de Fourier. Application à l'équation 
de Laplace dans le disque.
10- auto-adjonction
11- différentielles
12- calcul différentiel du premier ordre. Extrema libre et lié. 
Application à la résolution d'EDP et au calcul spectral.
13- calcul différentiel du second ordre.
3 - Analyse Numérique I
(66h-6ects)
E. AUDUSSE
Y. NOUMIR
Méthodes de résolution de systèmes linéaires (directes, itératives). Approximation des fonctions, intégration numérique. 
Calcul approché des solutions d'équations différentielles (méthodes implicites et explicites)
1) Intégration numérique : définition, méthodes de Newton- 
Cotes et de Gauss. Accélération de convergence.
2) Interpolation des fonctions (polynômes d'interpolation, 
splines), polynômes orthogonaux.
3) Approximation des fonctions par des polynômes.
4) Résolution numérique des équations différentielles : 
définitions et outils. Méthodes de Runge-Kutta et multipas.
5) Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires 
(Gauss, Cholewski)
6) Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires
(Jacobi, Gauss-Seidel, SOR).
4 - Informatique
(42h- 4ects)
C. TOLLU Construire un algorithme et le programmer dans un langage informatique simple Introduction à Matlab (Variables, opérations élémentaires, instructions de contrôle, entrée-sortie sur écran et fichiers, fonctions...), Algorithmes (pseudo-code), Organigramme
Applications à divers domaines mathématiques et programmation en Matlab??. Intégration numérique
Etude de la méthode de Choleski et utilisation avec diverses méthodes de stockage (lignes, colonnes, skyline..)
Structures de données (piles, files, listes, arbres)
Arithmétique des ordinateurs (représentation des nombres, opérations en virgule flottante, erreurs numériques).
5 - Initiation à la programmation (Matlab)
(24h - 2ects)
G. DARTOIS Acquérir une méthodologie pour la résolution de problèmes. Analyse d'un problème, des outils de résolution. Trouver une solution en langage naturel. Passage à un algorithme.
Passage d'un programme.
TP : On résout des problèmes de complexité croissante avec une première approche de Matlab. Aucun pré-requis.
6 - Initiation aux projets informatiques
(12h - 1ects)
Y. PENEL Apprentissage d'un langage algorithmique commun aux projets 1ère et 2ème année. TP: 
1- Algèbre linéaire de base (algorithmique puis Matlab), 
2- résolution de systèmes linéaires par méthode itérative de Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation (algorithmique puis Matlab)
3- résolution d'équations non linéaire (algorithmique puis Matlab).

 

Semestre 6

Discipline Enseignants Contenu sommaire Contenu détaillé
 
7 - Analyse Numérique II 
(45h-5ects)
C. BASDEVANT

Schémas de différences finies et de volumes finis pour les équations aux dérivées partielles. ? Savoir : 
Construire, analyser et mettre en œuvre la discrétisation d'une EDP

1) Introduction et classification des EDP.
Propriétés fondamentales des EDP elliptiques, hyperboliques, paraboliques.
2) Equation de la chaleur - étude théorique (propriétés, principe du maximum, majoration d'énergie).
3) Schéma d'Euler explicite, erreur de troncature, notions de consistance, stabilité et convergence.
Analyse de Von Neumann. Schéma de Richardson, schéma implicite d'Euler, Theta-schémas.
Equation de la chaleur dans un ouvert borné : principe du maximum, positivité des schémas.
4) Approximation des problèmes elliptiques. Principe du maximum. Discrétisation, principe du maximum discret.
5) Equation des ondes en dimension 1 : schéma explicite, analyse de causalité, de Von Neumann, analyse par l'énergie.
6) Equations hyperboliques, lois de conservation scalaire, caractéristiques. Schémas pour l'équation de transport. Schémas d'Euler centré, Upwind, Lax, Lax-Wendroff, schéma saute-mouton.
7) Introduction aux équations hyperboliques non-linéaires, équation de Burgers.

8 - Projets Numériques Encadrés (déterministes)
(42h- 2ects)
D. NICOLAS Le but des projets est, dans un premier temps, d'implémenter les méthodes numériques vues en cours de MACS 1. Puis, dans une deuxième étape, d'utiliser ces algorithmes pour résoudre un problème modèle physique, et interpréter les résultats numériques obtenus (sont-ils précis, proches de la physique ?).
On utilise le langage de programmation Matlab (ou Scilab). Les étudiants devront, à la fin des projets, être capable à partir d'un problème complexe, de le décomposer en une suite de sous-problèmes simples (modules) qui seront implémentés et validés de façon indépendante dans la mesure du possible. Les modules seront ensuite regroupés pour résoudre le problème initial. Ils devront être capable de définir des tests pertinents pour valider leurs codes (retrouver les résultats théoriques vus en cours...).
Sujets (description)

- Erreurs d'arrondis, d'annulation, instabilité numérique.
- Equations non linéaires : méthode de Dichotomie, Newton et ses variantes, méthodes de point fixe.
- Systèmes linéaires : méthodes directes (LU, Cholesky), itératives (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR), méthodes de Krylov (gradient conjugué, GMRES).
- Problèmes aux valeurs propres : Jacobi, puissance, QR.
- Interpolation : Lagrange, Hermite, splines.
- Approximation : moindres carrés.
- Différentiation : différences finies.
- Quadrature : Newton Cotes, Gauss et méthodes adaptives.
- Méthodes numériques pour les équations différentielles ordinaires (Euler, Runge-Kutta, multi-pas, consistance, stabilité et convergence).
- Méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles elliptiques en 1d (différences finies, volumes finis avec des conditions aux limites de type Dirichlet/Neumann/Robin).
- Méthodes numériques pour les problèmes hyperboliques et paraboliques en 1d, schémas implicites et explicites.
- Décomposition de domaine, méthodes multigrilles.

Prérequis :
-Comprendre les méthodes numériques vues en cours de Macs 1.
- Avoir des notions d'algorithmique incluant la programmation avec MATLAB.
9 - Projets Numériques Encadrés (probabilistes)
(24h- 1ect)
M.WOUTS Simulation de variables aléatoires, convergence de variables de Monte Carlo. Simulation par inversion, simulation par la méthode du rejet, applications aux variables discrètes et continues, simulation de lois gaussiennes, techniques spécifiques à certaines lois, visualisation graphique de convergence d'estimateurs ; calculs d'intégrales, applications en statistique : intervalle de confiance et réduction de variance.
10 - Mécanique I
(105h- 7ects)
G. FRANCFORT
R. ABDELMOULA
Introduction à la mécanique des milieux continus, avec un accent sur le comportement solide. Milieux curvilignes plans, élasticité linéarisée tridimensionnelle.
Formulations classique et résolution analytique.
Dans une première partie de cours, on introduit la notion de milieu favorable dans le cadre le plus simple possible, celui de milieux curvilignes plans : là les seuls paramètres de déformation sont l'étirement et le changement de courbure en chaque point, alors que les seuls paramètres d'effort sont les forces et moment en chaque point. On construit une mécanique générale dans ce cadre que l'on spécialise très vite au cas linéaire.

Puis, en s'appuyant sur les objets précédemment introduits, on passe au cas tri-dimensionnel en introduisant comme paramètre de déformation le tenseur de Green-Lagrange, et comme paramètre d'effort le tenseur Cauchy. On spécialise immédiatement au cas de l'élasticité linéarisée, et on s'attarde sur les propriétés tensorielles des objets obtenus.

Ensuite on formule un problème typique d'élasticité linéaire en passant en revue les conditions aux limites possibles et en insistant sur leur consistance. On résout alors analytiquement un certain nombre d'exemples classiques : traction, torsion... ce qui nécessite d'apprivoiser un calcul différentiel élémentaire en coordonnées autres que Cartésiennes.
11 - Physique
(30h- 2ects)
M. LABRUNE Manipuler le paramètre d'ordre 'Aimantation'. Calculer dans des cas simples la distribution de l'aimantation et son évolution sous champ appliqué. Electromagnétisme des milieux continus essentiellement tourné vers les matériaux magnétiques.

1) Introduction du paramètre Aimantation, magnétostatique, dynamique : perméabilité. 

2) Etude des milieux magnétiques : dia et paramagnétiques , modèle de Langevin et approche du champ moyen pour l'introduction d'un milieu magnétiquement ordonnable 

3) Ferromagnétisme technique (au sens de L. Néel): domaine de Weiss, paroi de Bloch, cycle d'hystérésis.

4) Applications techniques, notamment matériaux fonctionnels pour l'informatique ( tête de lecture inductive ou non inductive, disques durs magnétiques).

Démonstration à l'aide du logiciel OOMMF du calcul de distribution d'aimantation.
12 - Probabilités
(48h- 3ects)
E. NUALART
M. WOUTS
Comprendre et maitriser le formalisme de la théorie des probabilités. Savoir manipuler les variables aléatoires et calculer leurs lois dans des cas élémentaires. Eléments de théorie de la mesure et de l'intégration
Formalisme probabiliste
Variables aléatoires
Indépendance
Convergence de variables aléatoires.
13 - Statistiques
(57h- 3ects)
E. NUALART Statistique inférentielle Convergence de variables aléatoires
Convergence en loi,
Théorèmes limites
Vecteurs gaussiens
Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance
Tests statistiques.
14 - Initiation à la finance
(9h- 1ects)
D. HENRIET    

 

Semestre 7

Discipline Enseignants Contenu sommaire Contenu détaillé
 
15 - Analyse Numérique III
Eléments finis 
I. TERRASSE
Y. NOUMIR
Pouvoir écrire la résolution numérique d'une EDP avec conditions initiales aux limites aves les éléments finis.
Résoudre le problème dans les espaces fonctionnels convenables avec le TH de trace.
Existence et unicité de la solution faible.
Minimisation d'une fonctionnelle en dimension infinie : le cas général, (Equation d'Euler, multiplicateurs de Lagrange, contraintes (égalité) régulières, contraintes admissibles, le cas quadratique. Cas de la dimension finie.
Programme convexe : le théorème de Kuhn et Tucker avec ou sans contraintes. Stricte convexité. Relation avec les problèmes autoadjoints.
Problème dual, méthode du lagrangien. Point selle.
Algorithmes de minimisation : les algorithmes de relaxation, du gradient (à pas fixe, à pas optimal), du gradient conjugué, du gradient réduit. Lemme de Kantorovich
Méthode de pénalisation ; algorithme d'Uzawa.
16 - Optimisation
(120h - 8ects)
O. LAFITTE
E.AUDUSSE
Ecrire les équations d'Euler et les égalités avec multiplicateurs de Lagrange, et montrer la convergence et le taux de convergence d'un algorithme de minimisation. Minimisation d'une fonctionnelle en dimension infinie : le cas général, (Equation d'Euler, multiplicateurs de Lagrange, contraintes (égalité) régulières, contraintes admissibles, le cas quadratique. Cas de la dimension finie.
Programme convexe : le théorème de Kuhn et Tucker avec ou sans contraintes. Stricte convexité. Relation avec les problèmes autoadjoints.
Problème dual, méthode du lagrangien. Point selle.
Algorithmes de minimisation : les algorithmes de relaxation, du gradient (à pas fixe, à pas optimal), du gradient conjugué, du gradient réduit. Lemme de Kantorovich
Méthode de pénalisation ; algorithme d'Uzawa.
 
17 - Mécanique II
(42h - 2 ects)
R. ABDELMOULA Acquérir les bases de la mécanique des fluides 
en statique et en dynamique dans les cas des fluides parfaits et incompressibles.
1) La statique des fluides : la formulation et la résolution dans quelques cas simples pour des fluides compressibles et des fluides incompressibles. Poussée d'Archimède.

2) Cinématique des fluides :
-Description d'un système en mouvement :
Description lagrangienne
Description eulérienne
- Trajectoires, lignes de courant.
- Dérivée particulaire 
Application : Intégrales de volume, flux à travers une surface, circulation d'un vecteur le long d'une courbe.
- Equation d'Euler.

3) La dynamique des fluides parfaits incompressibles 
- Les écoulements irrotationnels avec ou sans circulation.
- Les théorèmes de Bernoulli
- les ondes de surface 
- Les vibrations.
18 - Probabilités II
(66h - 5 ects )
Y. HU
M. WOUTS
Savoir manier les modèles discrets classiques Chaînes de Markov :
Propriété de Markov temps d'entré et de retour, classification des états probabilités d'absorption, chaînes récurrentes irréductibles , mesure et probabilité invariante, théorèmes limites
Espérance conditionnelles
Calcul et applications
Martingales en temps discret
Filtration sur et sous martingales, temps d'arrêt , transformées de martingales
Théorèmes limites 
Application des martingales à la finance, modèle de Cox Ross, Rubinstein
Surmartingale enveloppe de Snell, application aux options américaines
19 - Projets Numériques Encadrés (Eléments finis)
(49,5h- 3ects)
19 - Projets Numériques Encadrés (Eléments finis)
(49,5h- 3ects)
Maitriser des outils de programmation sous UNIX.
Valider des codes.
Gérer des projets individuels et collectifs.
Implémenter la méthode des éléments finis P1 (d=1 ou 2)
1-Projet individuel sur la résolution d'une EDP elliptique par la méthode des éléments finis
P1 1D avec conditions mixtes (Dirichlet/Neumann/Robin).
Implémentation avec Matlab puis passage au langage C avec utilisation de PETSC.

2- Projet individuel sur la résolution d'une EDP elliptique par la méthode des éléments finis
P1 2D avec conditions mixtes (Dirichlet/ Neumann/Robin).
Implémentation en langage C avec utilisation de PETSC.
Modification de librairies graphiques permettant l'appel du moteur Matlab pour les représentations graphiques.

3- Outils informatiques : MAKE, GDB, CVS, PETSC, SSH (et plus généralement UNIX), 
Interfaçage Matlab en langage C, La TeX
20 - Projets Numériques Encadrés (Probabilités)
(27h- 2ects)
N. OUDJANE 9 séances de 3h00.
Rappels de probabilité et statistiques - Introduction au Bootstrap - Estimation de densité par noyaux - les développements sont réalisés sous Matlab.
A. Rappels de probabilités et statistiques : 2x3h00
Objectif : comprendre que la loi des grands nombres ne fournit pas qu'une estimation de la moyenne mais aussi une estimation de toute la distribution.

1) Loi des grands nombres : estimation de la moyenne et de l'écart type empirique.
2) Convergence des fonctions de répartition empiriques.
3) Théorème Central limite et intervalle de confiance

B. Bootstrap : 4x3h00
Objectif : estimer la précision d'un estimateur statistique dans le cadre général d'un estimateur ad-hoc.
1. Principe du bootstrap
2. Estimation de la variance d'une estimateur : moyenne et médiane.
3. Estimation du biais d'un estimateur : les variances empiriques.
C. Estimation fonctionnelle et régression : 3x3h00
Objectif : 
- sensibilisation aux méthodes à noyaux très utiles pour l'estimation fonctionnelle.
- Estimation de densité par noyaux :
Ÿ Histogramme
Ÿ Choix du noyau
Ÿ Choix de la fenêtre
21 - Informatique : Langage C avancé
(27h- 1ects)
S. KOKH Langage C avancé et outils de programmation Unix. Langage C avancé :
Fonctions, structures, pointeurs, allocation dynamique, librairies, interfaçage C/ fortran, C/C++...
Outils de programmation Unix :
Gcc, make, gdd, cvs, LaTex, ...)
22 - Informatique : Calcul parallèle
(49,5h - 2ects)
P. D'ANFRAY
X. JUVIGNY
Calcul Parallèle : paralléliser une méthode numérique et la programmer à l'aide de la bibliothèque MPI Calcul Parallèle : Notions sur l'architecture des calculateurs
-pipeline
-hierarchie memoire (caches)
-calculateur vectoriel
-multi-processeurs à mémoire partagée et distribuée

Modèles de programmation
-tâches communicantes
-programmation par échange de messages
-la bibliothèque MPI

Si possible
-compléments sur les modèles d'applications distribuées
(corba, grilles,..)
23 - Initiation à la finance
(12h- 1ects)
V. BENDIYAN Cours d'introduction sur le fonctionnement des marchés financiers : connaître les notions de base, les définitions et produits financiers existants sur les marchés avec un TD applicatif. Cours 1 :
I- Définition d'un marché financier
II- Les acteurs économiques
III- Les titres de dettes
IV- Les marchés financiers
V- Métiers de la salle des marchés
VI- Stratégie en salle des marchés
VII- Les taux interbancaires
VIII- Le rôle de la banque centrale européenne
IX- Titrisation
X- Crise du subprime

Cours 2 :
I- Outils mathématiques :
1) Taux d'intérêt simples/composés
2) Base de calcul
3) Actualisation/ Capitalisation
II- Les obligations
III- Les swaps

 

Semestre 8

Discipline Enseignants Contenu sommaire Contenu détaillé
 
24 - Analyse Appliquée I
Théorie générale
Espaces de Sobolev
(108h- 6ects)
JM.DELORT
M. DIMASSI
F. CARO
Définition de la distribution, de l'ordre, convergence au sens des distributions, espace de fonctions test, définition des divers produits de convolution (dans L1, convolution de distributions/fonction test, distribution et distribution a support compact), transformée de Fourier, distributions tempérées, espaces de Sobolev Hk, traces, formule de Green Exemple introductif
Rappels et espace C_0^inf
Théorème de Beppo-Levi, lemme de Fatou, convergence dominée,
Théorème de Fubini, dérivation sous le signe de somme 
- support d'une fonction, fonction à support compact, notation 
multi-indicielle 
Convolution dans L^1(R^d) 
Fonctions C_0^inf : définitions, exemples canoniques, suites et convergence dans C_0^inf (pseudo-topologie) 
Distributions
Définition, mesure de Dirac, approximation de l'identité, dérivée, ordre, support, restriction, opérations élémentaires
Exemples de Distributions 
Produit de Convolution et Distributions
Transformée de Fourier
Espaces de Sobolev
Analyse Appliquée II
(111h- 6ects)
     
25 - Introduction aux systèmes hyperboliques (30h - coef 7) F. DUBOIS Loi de conservation scalaire
Système de Saint-Venant
Problème de Riemann
Advection scalaire
Méthode des caractéristiques
Loi de conservation non linéaire
Explosion en temps fini
Formulation faible
Condition d'entropie mathématique
Introduction aux volumes finis
Equations de Saint Venant
Ondes de détente
Ondes de choc
Problème de Riemann
26 - Schémas volumes finis pour les équations elliptiques 
(21h - coef 5)
P. OMNES Il s'agit de présenter les techniques fondamentales pour la discrétisation d'équations elliptiques par la méthode des volumes finis centrés sur les cellules. Une étude complète (discrétisation, existence, unicité, propriété de la solution du schéma numérique et estimations d'erreur pour la convergence vers la solution du problème continu) est proposée en une dimension d'espace.
En deux dimensions d'espace, nous nous focalisons sur la principale difficulté de ce type de schéma, à savoir la construction d'une approximation du flux de diffusion au travers des interfaces entre les volumes de contrôle voisins en fonction des inconnues du problème.
Le cas de coefficients de diffusion anisotropes et discontinus est abordé, ainsi que l'extension des schémas présentés à une équation parabolique et à une équation de convection diffusion.
27 - Méthodes mathématiques pour les applications ingénieur 
(15h - coef 2)
E. DUCEAU Démonstration de la façon de modéliser un problème industriel Le cours se présente en 10 exemples, chacun illustrant un exemple de modélisation qui conduit à l'utilisation de méthodes mathématiques vues par ailleurs (probabilité pour le management d'incertitude, erreur de modèles et erreur de discrétisation, recalage de modèles par méthodes inverses, problèmes couplés, problèmes multi-échelles, approximations asymptotiques).
28 - Analyse appliquée /présentation d'articles (15h - coef 2) RAUCH 
 LAFITTE
I- Indroduce the solutions of the second order wave equation with velocity one.

II- Illustrate by example the three most important tools in the study of partial differential equations:
1) the Fourier transform
2) the energy method
3) asymptotic analysis

III- Explain the physical theory of geometric optics from a wave theory governed by a partial differential equation.
Lecture 1: Present some basic facts about (D'Alembert's) wave equation. Including the method of characteristics, plane waves, solution by Fourier transform, the energy identity in Fourier and in x, finite speed of propagation, spherical waves for d=3

Lecture 2: Use the Fourier transform to derive short wavelength asymptotic solutions. Introduce the boundary value problems pertinent for reflection and solve using the method of images. Interpret in terms of reflection coefficient.

Lecture 3: Find accurate approximate solutions of the reflection problem. Introduce transmission problems relevant to the laws of refraction. Construct infinitely accurate asymptotic solutions in the short wavelength limit to explain the law of refraction.
29 - Méthodes multi-échelles mathématiques 
(15h - coef 4)
J. LIANDRAT Ce cours portera sur quelques méthodes d'approximation et en particulier sur l'approximation multi échelle. On présentera leurs applications pour la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles ou la représentation/compression des images.
Objectifs : Plan du cours:
1) Approximation linéaire, représentation, bases
2) Approximation Multi échelle
3) Approximations multi résolutions et ondelettes
4) Schémas de subdivision
5) Approximation non linéaire
6) Applications
Bibliographie: I. Daubechies " Ten lectures n wavelets " SIAM 1992
G. Farin et al. " Handbook of computer aided geometric design ", North Holland 2002
J. Liandrat " Ondelettes et applications ", polycopié .
30 - Littérature Anglaise 
(6h - coef 2)
S.K.LAFON    
31 - Mécanique III 
(60h - coef 15)
I. IONESCU Résoudre un problème de chargement limite pour 1 paramètre de charge 
Mettre en place une approche numérique du calcul des fréquences et vecteurs propres pour un système discret. 
Calculer la réponse dynamique dans la base de modes propres.
1 Analyse limite : chargements limites, approches par l'intérieur et l'extérieur 
2 Propagation d'ondes dans un milieu continu. Ondes transmise et réfractée. Ondes de surface.
3 Vibrations : modes et fréquences propres. Base modale 
4 Vibrations : Quotient de Rayleigh, aspects numériques 
5 Vibrations : réponse dynamique sur base modale.
32 - Milieux Poreux 
(15h - coef 3.5 )
M. MASSON Introduction à la modélisation des écoulements polyphastiques en milieux poreux, à leur discrétisation par des schémas volume fini.
Programmation de ces schémas dans des prototypes sous scilab pour des cas d'application à la production pétrolière.
Loi de Darcy pour les écoulements diphasiques.

Schéma volume fini (VF) pour la diffusion en milieux hétérogènes sur maillages orthogonaux.

Schémas VF monotones pour les lois de conservation hyperboliques scalaires, CFL.
Schémas VF implicites en pression et explicites en saturation pour les modèles diphasiques incompressibles.

Mise en œuvre des schémas VF sous scilab pour des cas d'application à la production pétrolière en maillages cartésiens 1D et 2D. La moitié du cours environ y sera consacré.
33 - Introduction Boltzman 
(15h - coef 1.5)
S. DELLACHERIE Ce cours présentera les grandes lignes de la théorie cinétique des gaz de Ludwig Boltzmann (1844-1906) publiée en 1872. Le cours proposé tentera de présenter les bases essentielles de la théorie cinétique des gaz proposée par Ludwig Boltzmann à la fin du 19ème siècle. Cette théorie a été proposée pour décrire le comportement statistique des molécules d'un gaz en atmosphère raréfiée. Au cours du 20ème siècle, elle a également trouvé des champs d'application en transport des particules (ions, neutrons, photons et électrons) avec pour thème d'application la physique des plasmas, le génie nucléaire, l'astrophysique, l'électronique etc. Cette théorie a été à l'origine de nombreuses controverses scientifiques et épistémologiques (menant au suicide de Boltzmann) et fait encore l'objet de recherches mathématiques et philosophiques actives.
Après quelques rappels de mécanique du point, nous définirons dans une première partie du cours les notions de gaz dilué et de section efficace. Puis, nous introduirons l'hypothèse de micro-réversibilité. Enfin, nous définirons le libre parcours moyen, le nombre de Knudsen et les notions de gaz raréfié et de gaz dense.
Dans une deuxième partie, nous dériverons l'équation cinétique classique de Boltzmann dans sa forme classique. Pour cela, nous rappellerons l'approche qualitative de Boltzmann. Puis nous proposerons une approche mathématique (hiérarchie BBGKY).
Dans une troisième partie, nous présenterons les propriétés mathématiques de l'équation de Boltzmann : théorème H (notion d'entropie et d'équilibre thermodynamique), unicité de l'état d'équilibre thermodynamique (preuves de Cercignani et de Perthame), convergence formelle vers les systèmes d'Euler et de Navier-Strokes (développements de Hilbert et de Chapman-Enskog).
Dans une quatrième partie, quelques aspects liés à la résolution numérique de l'équation classique de Boltzmann seront abordés (méthode de Monte Carlo).
Enfin, dans une cinquième partie, nous présenterons quelques extensions de la théorie cinétique classique de Boltzmann à la physique des plasmas (fusion nucléaire et interaction ion-électron).
Informatique 
(84h - 6ects)
     
34 - Atelier Logiciel 
(24h - coef 5)
N. OUDJANE    
35 - Projets encadrés 
(60h - coef 13)
J. RYAN
P. OMNES
Maîtriser des outils de programmation sous UNIX.
Valider des codes
Gérer des projets individuel et collectif.
Implémenter la méthode des éléments finis P1 (d=1 ou 2)
1- Projet individuel sur la résolution d'une EDP elliptique par la méthode des éléments finis P1 1D avec conditions mixtes (Dirichlet/Neumann/Robin). Implémentation avec Matlab puis passage au langage C avec utilisation de PETSC.
2- Projet individuel sur la résolution d'une EDP elliptique par la méthode des éléments finis P1 2D avec conditions mixtes (Dirichlet/Neumann/Robin). Implémentation en langage C avec utilisation de PETSC. Modification de librairies graphiques permettant l'appel du moteur Matlab pour les représentations graphiques.
3- Projet collectif (en 2 groupes concurrents) sur la résolution d'EDP parabolique ou hyberbolique utilisant des éléments finis P1 en espace (d=2). Implémentation Langage C.. 
4- Projet individuel sur la résolution d'une EDP elliptique avec conditions de Dirichlet basée sur la formule de Itô et les EDO stochastiques. 
5- Outils informatique : MAKE, GDB, CVS, PETSC, SSH (et plus généralement UNIX), Interfaçage Matlab en langage C, LaTeX
  1- Projet individuel sur la résolution d'une EDP elliptique par une méthode de volumes finis 1D avec conditions mixtes (Dirichlet/Neumann/Robin). Implémentation avec Matlab
  2- Projet collectif (en 2 groupes concurrents) sur la résolution d'une EDP elliptique par une méthode de volumes finis 2D avec conditions mixtes (Dirichlet/Neumann/Robin). Implémentation en langage C++ avec utilisation de PETSC.
  3- Projet individuel sur la résolution d'EDP parabolique ou hyperbolique utilisant une méthode de volume finis (dimension 2 en espace). Implémentation Langage C++. Application à la mécanique des fluides

 

Semestre 9

Discipline Enseignants Contenu sommaire Contenu détaillé
 
36 - Contrôle Optimal et Optimisation combinatoire 
(39h - 3 ects)
C. BASDEVANT Les méthodes modernes du contrôle optimal.
Résoudre un problème de contrôle optimal.
Le langage et les bases de l'automatique.
Optimisation : de la dimension finie à la dimension infinie.
Le principe du minimum de Pontryaguine.
L'optimisation dynamique de Richard Bellman et l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman.
Introduction au contrôle des équations aux dérivées partielles.
37 - Optimisation combinatoire L. LETOCART Savoir modéliser et utiliser des logiciels de modélisation et d'optimisation. Connaître et savoir appliquer les principales méthodes de résolution de problèmes d'optimisation combinatoire. Modélisation :
Résolution approchée :
- heuristiques
- méta-heuristiques
Relaxations :
- programmation linéaire (algorithmes primal et dual du simplexe)
- relaxation lagrancienne
- relaxation agrégée
Algorithmes de réduction
Résolution exacte :
- recherche arborescente
- programmation dynamique
- approche polyédrale
Logiciels AMPL et CPLEX.
38 - Mécanique Numérique 
(39h - 3 ects)
R.IONESCU
J.RYAN
Le cours Mécanique Numérique est destiné à compléter les cours de Mécanique de 1ère et 2ème année avec des notions plus pointus sur la modélisation et la simulation numérique.
I) L'algorithme "Returning-Map" en élasto-plasticité
- Rappels d'élasto-plasticité (modèle mécanique, formulation variationnelle)
-Présentation de l'algorithme (le cas sans écrouissage) :discrétisation temporelle, formulation variationnelle, discrétisation éléments finis
-Problèmes spécifiques : analyse du pas de temps, raffinage du maillage, etc
-Résolution numérique en FreeFem++
-Modèle Elasto-Plastique avec écrouissage
-L'algorithme "Returning-Map" pour les matériaux élasto-plastique avec écrouissage (discrétisation temporelle, formulation variationnelle, discrétisation éléments finis, résolution numérique en FreeFem++)
II) Résolution des grands systèmes linéaires issus de la mécanique.

- Présentation des méthodes itératives de Krylov (Lanczos, CG, GMMRES, BiCSTAB, ...)
- Action de ces méthodes sur les différentes fréquences de l'erreur.
- Le multigrille - Résolution de problèmes localement raffinés en espace : multigrille local
- FETI un solveur structure Itératif-Direct pour la résolution par décomposition de domaines en espace
- Introduction à la décomposition de domaine en temps.
39 - Calcul Stochastique et Applications à la finance 
(39h - 3 ects)
A. KEBAIER
M. BEN ALAYA
Maitriser les outils de bases en calcul stochastique. Manipuler des modèles financiers utilisés dans la pratique.
Faire la couverture de portefeuille et faire du pricing d'options finance.
1- Rappels sur le conditionnement, sur les vecteurs gaussiens.
2- Mouvement brownien, martingales et bruit blanc.
3- Intégrale stochastique et calcul d'Itô : formule d'Itô, de Girsanov et représentation des martingales browniennes.
4- Equations différentielles stochastiques. Description du modèle de Black-Scholes.
5- Evaluation et couverture d'une option européenne.
6- Propriété de Markov et générateur infinitésimal d'une diffusion.
7- Options américaines dans le modèle de Black-Scholes.
40 - Méthodes probabilistes en Ingénierie 
(39h - 3ects)
N. OUDJANE
J. WANG
Appliquer les méthodologies sur des problèmes concrets -Réaliser des projets d'applications sur ordinateur avec Matlab
1/ Simulation de variables aléatoires et de champs aléatoires.
2/ Méthodes de Monte-Carlo.
3/ Méthode de Monte-Carlo pour les chaînes de Markov.
4/ Recuit simulé - une méthode probabiliste d'optimisation.
5/ Algorithme EM - Expectation et Maximisation.
6/ Analyse en composantes principales (ACP).
41 - Modélisation des incertitudes 
(39h - 3ects)
F. MANGEANT
JP. MARTINEZ
A. KEBAIER
Objectifs du cours :
Le cours de modélisation des incertitudes dans l'industrie est destiné à sensibiliser les étudiants de la MACS 3 à cette problématique au travers du rappel des principales méthodes utilisées aujourd'hui dans l'industrie. Le cadre général de travail s'appuie sur les modèles statistiques et les méthodes de simulation probabilistes.
La simulation numérique fait désormais partie de la panoplie de conception des acteurs de nombreux secteurs industriels (aéronautique, nucléaire, pétrolier, énergie, automobile...). Les outils de modélisation numérique se sont développés depuis plusieurs années à partir des résultats et des méthodes de l'analyse numérique classique. Les résultats découlant de ces outils sont aujourd'hui principalement des résultats déterministes. En fait, les données d'entrée de ces modèles sont souvent entachées d'incertitudes (méconnaissance, variabilité d'un processus de fabrication...). 
De fait, d'autres voies complémentaires sont explorées pour favoriser la mise en place d'autres outils numériques d'aide à la décision depuis plusieurs années. Ces outils font appel à des techniques de modélisation fondées sur la théorie des probabilités et des statistiques.
42 - Calcul Scientifique 
(15h - 1,5 ects)
D.CALHOUM This is a 15 hour short course is an introduction to some of the basic concepts in applied numerical
analysis and scientific computing. The course will involve written homework assignments as well as short programming projects. The final project will be a cumulation of experience you have gained in the course.
Numbers in parenthesis refer to 1.5 hour blocks.
* (1-2) Numerical linear algebra. Direct methods for solving linear systems, including LU Decomposition and the Thomas algorithm for solving tridiagonal systems.
* (3-5). Introduction to numerical methods for non-linear equations, including numerical interpolation, root finding techniques and numerical integration and difierentiation.
* (6-8) Ordinary difierential equations. Accuracy and numerical stability of linear multi-step methods and multi-stage (Runge-Kutta) methods for single ODEs and systems of ODEs.
* (9-10) Introduction to solving PDEs, including line-relaxation methods for linear elliptic and parabolic equations, and upwinding schemes for scalar advection equations. Emphasis is on finite difierence methods on uniform Cartesian grids.
Also included will be discussion of available software resources for finding out about what is available on the web, including LAPACK, FISHPack, Clawpack, LSODE and so on.

Computing projects
Programming projects may be required in lieu of a final exam and will be based on material learned in class.

Programming requirements
The students will do weekly smaller programming projects which will require programming in one of several standard programming languages, including Matlab, Python, Fortran, C, C++ and others.
43 - Logiciel Fluide 
(15h - 1,5 ects)

 

Au choix 43- ou 44 -

J. BRAC Fédérer diverses connaissances déjà acquises et les compléter afin de pouvoir formuler et résoudre un problème de mécanique des fluides :
- Utilisation du logiciel Fluent
- Lecture d'un article
Le cours se compose de 2 volets :
+ un volet théorique :
- compréhension de l'équation de Navier Stokes
- équation NS et variables adimensionnées
- discussion des régimes d'écoulement laminaire/turbulent, linéaire/non linéaire
- échelles de la turbulence : + grande échelle, Kolmogorov, Taylor
- qu'est-ce qu'un problème de mécanique des fluides ?
- qu'est-ce qu'un problème de mécaflu bien posé ?
- discrétisation de l'espace, des équations, très bref aperçu de schéma numérique et de la méthode des volumes finis-maillage voronoi.
+ un volet opérationnel avec exercices
Mailleur Gambit
- définition de l'espace : objets géométriques et différents types de construction géométrique
- maillage, type de mailles, conformité, extrusion...
Solveur Fluent :
- régime d'écoulement laminaire/ turbulent
- problèmes stationnaires/instationnaires RANS/LES
- notion de thermique : conduction, convexion, couplage avec écoulement (si possible).
Enfin, lecture d'une publication par chaque élève (hors cours).
44 - Calcul en Bourse - Modélisation 
(15h - 1,5 ects)

 

Au choix 43- ou 44 -

 

N. REY Connaître les marchés de capitaux et les différents actifs qui sont négociés sur ces marchés ; maitriser les notions de taux d'intérêt, de valeur, de risque, qui sont indispensables en finance.
A la fin de ce cours l'étudiant doit connaître les différents actifs financiers, il doit notamment être capable de calculer leur prix, leur rendement, leur risque.
I- Introduction :
Présentation des marchés des capitaux et des actifs financiers.

II- Les instruments monétaires :
1- Les taux d'intérêt, les courbes de taux d'intérêt, les notions de valeur actuelle et de valeur acquise.
2- Les prêts et les emprunts
3- Les titres de créances négociables (définition, calcul de valeur).

III- Les valeurs mobilières :
1- Les actions (définition, modèle d'évaluation). Portefeuille d'actions.
2- Les obligations (définition, méthode d'émission, méthode de remboursement, taux de rendement actuariel, mesures de risque de taux : sensibilité, duration). Portefeuille obligataire (rendement/risque)
3- Les OPCVM (définition, valorisation)

IV- Les instruments dérivés
1- Les risques financiers
2- Les instruments dérivés de transformation du risque : F.R.A, SWAP (définition, principes d'utilisation)
3- Les instruments dérivés optionnels : OPTION (définition, principes d'utilisation)
4- Les instruments dérivés fermes : FUTURE (définition, principes d'utilisation)

 

2 cours au choix + 2 en auditeur libre
4 ects en tout

Discipline Enseignants Contenu sommaire Contenu détaillé
 
45 - Cryptographie
(15h - coef 4)
R. DUBOIS L'optique du module est de présenter la cryptographie d'un point de vue global.
La sécurité d'un système repose sur la chaîne de traitement complète d'un protocole de communication : compression- > chiffrement- >correction au sein d'un équipement qui lui aussi peut se révéler vulnérable. A l'issue du module, une culture générale des problématiques liées à la sécurité sera acquise.
Séance 1 :
- La cryptographie dans l'histoire
- Introduction
- La cryptographie pourquoi ?
- La cryptographie Moderne 
- La cryptographie symétrique
Séance 2 : 
- La cryptographie asymétrique
- Problèmes difficiles, logarithme discret, factorisation
Séance 3 :
- Introduction aux corps finis
- Application dans l'AES
- Notions de non linéarité
Séance 4 :
- Applications des statistiques à la cryptographie
- Rappels, distributions, tests d'hypothèses 
- Problème d'indistingabilité
- Cryptanalyse linéaire et différentielle
- Algorithmes de compression
Séance 5 :
- Introduction aux codes correcteurs
- Attaques physiques d'un composant : SPA, DPA
46-47 Modélisation pour le traitement d'images 
(30h- coef 8)
F. DIBOS Modélisation déterministe :
Lignes de niveaux, courbure d'une image.
Minimisation d'une fonctionnelle d'énergie, EPD associée. Applications à la restauration, à la détermination du flot optique, à la segmentation (modèle de Mumford et Shah).
Optimisation de formes : contours actifs (snakes), modèle de Chan et Vese.
Modélisation stochastique :
Champs de Markov.
Modélisation et estimation bayesienne (MAP, MPM, ...).
Présentation de l'algorithme de la Belief Propagation et application à la désoccultation d'images et à la détermination de profondeurs.
Statistiques à contario et présentation de l'algorithme LSD (Line Segments Detector).
48- 49 - Eléments d'ingénierie financière 
(30h- coef 8)
N. OUDJANE
A. KEBAIER
  Ce cours présente les principales techniques statistiques, probabilistes et numériques utilisées en ingénierie financière.
1/ Notion de mesure de risque d'un portefeuille. Etudes des méthodes statistiques utilisées pour le calcul des indicateurs de risque (estimation de quantile, intervalle de confiance, théorie des tests etc.)
2/ Notion de prime d'option. Etude des trois principales approches adoptées pour le calcul d'option : 
- Les méthodes EDP avec présentation du lien entre espérance et EDP par la formule de Feynman-Kac
- Les méthodes par arbre avec présentation du lien entre le modèle de Black-Scholes et le modèle Cox-Ross-Rubinstein
- Les méthodes de Monte Carlo avec présentation de l'algorithme de Longstaff-Schwarz pour le calcul d'options américaines.
50 - Séries temporelles 
(15h - coef 4)
J. ANAS Manipulations de séries temporelles discrètes pour la finance. Dans le domaine de la finance, plusieurs approches sont utilisées pour modéliser les actifs financiers. Il y a l'approche en temps continu (Black et Scholes) et l'approche en temps discret des modèles de volatilité stochastiques.

Dans ce cours, nous abordons le problème d'un point de vue du temps discret.
Après une présentation des processus linéaires, nous présentons un certain nombre d'extensions de ces modèles bien classiques. 
Les modèles les plus connus sont les processus de type ARCH ou les modèles de volatilité stochastique. Les modèles à seuil et les modèles à changement de régime markoviens seront également introduits. 
Tous ces modèles sont utilisés en finance, en économie mais aussi en astrophysique et dans tous les domaines où des comportements de variance non constante sont repérés dans l'évolution temporelle de données.
Le programme détaillé est le suivant
Rappels statistiques - processus stochastique - stationnarité - ergodicité -bruit blanc faible (BBF) et strict (BBS) et gaussien.
Processus ARMA : définition - estimation - identification - estimation - validation - prévision. Processus ARIMA. Applications (finance, ozone, température globale etc...).
Processus non linéaires : à seuil et à changements de régime markovien.
51 - Théorie des risques de Crédit 
(15h - coef 4)
A. KEBAIER
   
52 - Modélisation électromagnétique de la cellule biologique
(15h-coef 4)
M. POIGNARD   I. Rappels sur les équations de Maxwell et leurs approximations2. Particularités des systèmes biologiques3. Modélisation électromagnétique des cellules4. Introduction aux développements asymptotiques.
53 - Etude magnétique des influx neuronaux (selon Evans)
(15h-coef 4)
O. LAFITTE   Ce système est étudié théoriquement et numériquement : on montre l'existence d'une solution pour toute donnée initiale. On montre l'existence d'une solution de type onde de choc et on étudie sa stabilité en introduisant une fonction d'Evans.
54 - Techniques pour la conception de formes (optimum design)
(15h- coef 4)
M. ROGE Connaître les méthodes permettant d'automatiser certaines parties du processus de conception de formes (avions, lanceurs spatiaux...) par simulation numérique des écoulements aérodynamiques. Cette approche mathématique permet de réduire les temps de cycle de conception d'un produit et de trouver des solutions meilleures que le processus classique. La notion de robustesse de cette solution aux incertitudes sur les paramètres du modèle peut être intégrée à la formulation. A la fin du cours l'étudiant devrait savoir s'orienter (choix des algorithmes..) et organiser ses calculs en fonction du type de problème à résoudre.
1) Les méthodes de modélisation pour la simulation des écoulements compressibles (notions).
2) L'optimisation de formes. Différentiation automatique. CAO.
3) Robustesse. Prise en compte des incertitudes.
4) Inclusion dans un processus d'optimisation multidisciplinaire. Surfaces de réponses.
5) Résolution d'un problème concret.
55 - Méthodes Numériques en propagation d'ondes
(15h-coef 4)
E. DUCEAU
  On choisit de se focaliser sur l'électromagnétisme qui présente les difficultés liées à un systèmes d'équations tout en restant pédagogiquement simple à expliquer
1/ Cadres fonctionnels pour le système de Maxwell et l'équation du second ordre. 
2/ Approximation par différences finies analyse de stabilité et dispersion. 
3/ Approximation par éléments finis : conservation de l'énergie, stabilité. 
4/ Conditions aux limites transparents et absorbantes pour les problèmes d'ondes en milieu non borné. 
5/ Notions sur les formulations par potentiel retardé et approximations asymptotiques ; exemples industriels
56- Méthodes numériques appliqués à l'aérodynamique
(15h- coef 4)
JP. ROSENBLUM   1) Motivations physiques et industrielles de la conception numérique:
L'objectif est d'optimiser les formes. Différents critères et moyens sont passés en revue pour les avions de transport, les avions militaires, les navettes spatiales, les voitures de course, les TGV et l'étude d'une valve cardiaque. Le calcul (soufflerie numérique) est ensuite comparé aux essais en soufflerie. Les différents niveaux d'équations et méthodes numériques employées sont récapitulés.

2) Méthode des singularités:
Après présentation de singularités élémentaires (source, tourbillon, doublet), on décrit la méthode de calcul, par distribution de singularités, de l'écoulement de fluide parfait incompressible autour d'un profil d'aile ou de véhicule. Les fondements mathématiques de la méthode montrent qu'elle est limitée aux opérateurs linéaires. Différentes applications sont ensuite abordées: extension au 3D et au compressible, effet de sol, ...

3) Méthode des différences finies appliquée aux écoulements transsoniques:
Pour les écoulements transsoniques, où l'opérateur à résoudre est non linéaire, on peut avoir recours à une méthode de type différences finies. Le problème type que l'on étudie est la simulation de l'écoulement autour d'un profil dans une veine de soufflerie. Après discrétisation centrée et résolution par méthode itérative avec relaxation, il apparaît une divergence de la méthode dans les zones supersoniques. Du fait du changement de nature elliptique/hyperbolique de l'équation, une discrétisation décentrée doit être localement appliquée. Les résultats de la méthode de différences finies montrent un bon accord avec l'expérience, mais ne respectent pas la conservation de la masse à la traversée du choc.

4) Méthode des volumes finis appliquée aux écoulements transsoniques:
En vue de remédier à ce défaut de conservativité, on met en œuvre la méthode des volumes finis, où la discrétisation, déduite de bilans de flux sur le pourtour de cellules de contrôle associées au maillage, permet de vérifier les principes de conservation même à la traversée de discontinuités. La méthode des volumes finis s'avère équivalente à celles des différences finies, sauf au niveau des chocs, où elle introduit des termes correctifs. Ensuite, les méthodes de couplage entre le calcul en volumes finis et des calculs de couche limite sont abordées, de façon à prendre en compte l'influence des effets visqueux sur les répartitions de pression.
5) Génération et adaptation des maillages structurés:
Les techniques de génération des maillages structurés pour les calculs en différences finies et en volumes finis sont de trois types: méthode algébrique (génération du maillage par interpolation entre les frontières), méthode hyperbolique (génération de couches à partir de la surface de l'avion ou du véhicule par résolution d'un système hyperbolique), méthode elliptique (résolution d'un système de Poisson par différences finies pour régulariser un maillage prédicteur et effectuer des resserrements locaux). Cette dernière technique est employée pour l'adaptation de maillage en fonction des gradients locaux de la solution. 
57 - Fronts réactifs subsoniques 
15h-coef 4)
M. MASSE   1/ Les relations de Rankine-Hugoniot
Différents régimes de propagation, ondes de réaction diffusion.
2/ Flamme de prémélange
Les équations de la combustion, structure de la flamme laminaire
3/Front d'ablation
Contexte, structure.
4/Flamme thermonucléaire
Conditions d'allumage
5/Analyse de stabilité linéaire
Modes normaux, modèles discontinus
58 - Ecoulements de fluides singuliers : Caractéristiques générales et méthodes numériques
(15h- coef 4)
F. BENKHALDOUN   Etude de la solution exacte d'un problème singulier.
-> Schéma fondamental de Godunov et méthodes de volumes finis.
-> Solveurs de Riemann approchés. 
-> Méthodes récentes de traitement des écoulements singuliers :
* schémas équilibres pour les problèmes avec termes source, 
* schémas de flux pour les écoulements diphasiques.

 

Dernière mise à jour le 27 Février 2013

 
       
   

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