Programme Scientifique - rencontre du GDR

Christian AUSONI

Calculs de la K-théorie algébrique de ku.

Soit ku le spectre connectif de la K-théorie topologique complexe. Par un théorème de Baas, Dundas, Richter et Rognes, l'espace K(ku) de la K-théorie algébrique de ku représente les classes d'équivalence de 2-fibrés vectoriels virtuels. Dans cet exposé, je présenterai d'abord un calcul avec coefficients fini qui prouve que K(ku) possède une forme supérieure (au sens chromatique) de périodicité de Bott. Ensuite, je décrirai le type d'homotopie rationnel de K(ku).

Emily BURGUNDER

Une version symétrique du complexe de graphes de Kontsevich et l'homologie de Leibniz

Le théorème de Kontsevich lie l'homologie de Lie des champs de vecteurs symplectiques sur une variété formelle commutative avec une homologie de graphes. On prouve que lhomologie de Leibniz de ces champs de vecteurs peuvent se calculer à partir dun nouveau complexe de graphes dit complexe de graphes symétriques. L'isomorphisme entre ces deux homologies s'avère être un isomorphisme de bigèbres Zinbiel-associative. Ce théorème s'étend aux champs de vecteurs sur des variétés liées à d'autres opérades notamment associative et Lie.

Christophe CAZANAVE

Schémas d'Atiyah-Hitchin

Soient n>0 un entier et R_n(S^1) l'espace des applications algébriques pointées de degré n de P^1(C) dans lui-même. Segal a démontré que l'inclusion de R_n(S^1) dans Omega^2_nS^2=Omega^2S^3 est une équivalence d'homotopie lorsque n tend vers l'infini. Nous généralisons ce résultat en construisant pour tout espace Y un espace R_n(Y) qui "approxime" Omega^2 Sigma^2 Y. Nous envisageons un résultat analogue en homotopie motivique.

Björn DUNDAS

2-vector bundles

Abstract: If you cover a space by open sets, a continuous function can be given by defining the function on each open set and demanding that the values agree at intersection points. A vector bundle can be defined by defining transition isomorphisms on intersections and demanding that they agree on triple intersections. A two-vector bundle is a natural extrapolation of these ideas, where the isomorphisms occur at triple intersections and the cocycle condition on quadruple intersections. In fact, two-vector bundles is what you get if you - when defining vector bundles - replace the ring of complex numbers by the category of finite dimensional complex vector spaces with sum and tensor as operations. Otherwise said, they are to vector bundles what gerbes are to line bundles.
The strange fact is that this very naïve setup has homotopy theoretical content. The chromatic picture gives a hierarchy of cohomology theories according to how deep structure of stable homotopy theory the cohomology theory detects. Chromatic filtration zero, one and infinity have nice geometric interpretations through functions, vector bundles and bordisms, and the geometric origin is important for the analysis of key problems. Such geometric interpretations have been missing in higher finite filtrations.
Elliptic cohomology and topological modular are examples at chromatic filtration two, and Segal conjectured that there ought to be a geometric interpretation of elliptic cohomology through quantum field theories.
Recently it was shown that two-vector bundles give rise to a cohomology theory which is represented by the algebraic K-theory of topological K-theory $ku$. By results of Ausoni and Rognes $K(ku)$ is of (a connected version of) chromatic filtration two. Hence we have a naturally defined geometric theory of the desired sort.
The connection to quantum field theories and the set-up of Stolz and Teichner is, however, still mysterious. There was a hope that an ``integration of determinants through loops'' construction would give a functor from two-vector bundles to quantum field theories, but this is unfortunately not the case.
Whereas commutative rings support determinants, this is not (in the most naïve sense) true for commutative ring spectra. In fact, neither the sphere spectrum nor topological K-theory support determinants. The latter is important for us since it rules out the conjectured integral functor to quantum field theories. However the reason for its failure is very interesting: it stems from an observation that Rognes that Ausoni's calculations of $K(ku)$ implies that the group of gerbes on the three dimensional sphere do not split off as a direct summand of the group of ``virtual'' two-vector bundles. This leaves one speculating about the geometry of two-vector bundles, even over very simple spaces. Rationally, this problem vanishes, and Ausoni and Rognes has pushed through the program in this case: giving a virtual two-vector bundle on $X$ is rationally the same as giving its virtual ``dimesion bundle'' and an ``anomality bundle'' on the free loop space of $X$. Two-vector bundles is a theory in its infancy, and much is still left to explore. In particular the geometric and analytic aspects are so far largely terra incognita.
In my talks I will try to explain some of these ideas and results.

Vincent FRANJOU

Cohomologie à coefficients fonctoriels

Cet exposé présentera l'influence des cohomologies de foncteurs à l'aide d'avancées récentes dans la compréhension de la cohomologie des groupes avec coefficients : résultats de Djament et Vespa pour les groupes orthogonaux, théorème de Touzé et van der Kallen pour les groupes algébriques (voir l'exposé dans ce congrès), et des perspectives ainsi ouvertes.

Grégory GINOT

(Co)homologie à la Hochschild et topologie des surfaces à la Chas-Sullivan

(Travail en collaboration avec Tradler et Zeinalian). L'idée est d'expliquer les cohomologies de Hochschild basées sur un espace topologique à la Pirashvili et d'appliquer cela pour donner un modéle algébrique du produit à la Chas-Sullivan pour les surfaces H(Map(S_g,X))\otimes H(Map(S_h,X)) --> H(Map(S_{g+h},X)) (ou S_i désigne une surface de genre i).

Eric GOUBAULT

Topologie algébrique dirigée

Je décrirai dans cet exposé certains des principes sous-jacents de notre prototype d'analyseur statique ALCOOL (travail commun avec Emmanuel Haucourt, Michel Hirschowitz et Sanjeevi Krishnan). ALCOOL prend en entrée un programme écrit dans dans un langage intermédiaire traduisant l'essentiel des primitives de synchronisation d'un programme parallèle, et calcule un certain nombre de propriétés concernant les problèmes de coordination eventuels. L'analyseur repose sur des notions de "topologie algébrique dirigée", qui permettent de caractériser des rétracts utiles de l'espace d'état. En topologie algébrique dirigée, les homotopies se doivent de respecter un "flot temporel". Ceci change notablement les invariants algébriques d'intérêt. En particulier, on passera une bonne partie de l'exposé à décrire la "catégorie de composantes" qui permet de donner un sens dans ce cadre à l'équivalent du pi_0 et pi_1.

Nasko KARAMANOV

Vers une description de la sphère K(2)-localisée

(Travail en collaboration avec H-W. Henn et M. Mahowald) Dans ce travail on calcule les groupes d'homotopie du spectre de Moore V(0) pour le premier p=3, localisé en la deuxième K-théorie de Morava K(2). On présente les suites spectrales utilisées dans ce calcul ainsi qu'une méthode pour déterminer les différentielles. On présente aussi une adaptation pour calculer les groupes d'homotopie de la sphère, localisée en K(2).

Jean-François LE BORGNE

L'homologie des espaces d'immersions du cercle dans une sphère.

mots clés : espaces d'immersions et de lacets, théorie de Morse, théorie topologique des cordes. Version courte : Le but de cet exposé est d'expliquer comment calculer l'homologie singulière entière de l'espace des immersions du cercle dans une sphère S^n, n >3. On calcule cette homologie en utilisant une filtration par la fonctionnelle d'énergie et une structure d'algèbre induite par le "loop" produit de Chas-Sullivan, structure d'algèbre que l'on détermine complètement. Version longue : le calcul de l'homologie singulière entière des espaces de noeuds d'une sphère S^n est encore inaccessible. Un premier pas dans cette direction est de déterminer l'homologie des noeuds singuliers c'est-à-dire de l'espace des immersions. Cet espace est filtré par la fonctionnelle d'énergie et on calcule la suite spectrale associée à cette filtration. Grâce au théorème de Hirsch-Smale, ce calcul se ramène à celui de la suite spectrale de Morse pour l'homologie entière de l'espace des lacets libres sur le fibré unitaire tangent US^n. En utilisant les travaux récents de Hingston et Goresky sur le "loop" produit de Chas-Sullivan en théorie topologique des cordes et la théorie de Morse, on enrichit ces suites spectrales avec une structure dalgèbre ce qui permet de mener le calcul à son terme.

Joan MILLÈS

Cohomologie d'André-Quillen des algèbres sur une opérades

Hinich, Goerss et Hopkins ont développé une théorie de cohomologie associée à des algèbres (simpliciales) sur une opérade (simpliciale) en suivant les idées de Quillen et à l'aide des catégories de modèles. Grâce à la dualité de Koszul des opérades, on explicite ces théories dans le contexte différentiel gradué. On retrouve les théories connues comme la cohomologie de Hochschild pour les algèbres associatives ou la cohomologie de Chevalley et Eilenberg pour les algèbres de Lie et on définit de nouvelles cohomologies comme celle des algèbres à homotopie près. On étudie les propriétés générales de telles cohomologies et nous donnerons un critère effectif pour déterminer si une théorie cohomologique est un foncteur dérivé Ext. Grâce a celui-ci, nous démontrons que cest toujours le cas pour les algèbres à homotopie près.

Niko NAUMANN

Stable homotopy and arithmetic

We'd like to present an overview of a rather recent development in stable homotopy theory which connects the subject unexpectedly with rather deep arithmetic problems centering around Shimura varieties.

Hai NGUYEN DANG HO

Résolution injective d'un module instable sur l'algèbre de Steenrod

On construit une résolution injective dans la catégorie des modules instables sur l'algèbre de Steenrod modulo 2, de la cohomologie de certains spectres obtenus à partir de l'espace de Thom du fibré, associé à la représentation régulière réduite du 2-groupe abélien élémentaire V, au dessus de l'espace classifiant BV.

Nicolas TABAREAU

Algèbre libre d'une T-théorie enrichie

Un des points clés de la sémantique catégorique de Lawvere est que toute théorie algébrique (monoïde, algèbre de Lie) induit une construction libre (monoïde libre, algèbre de Lie libre) calculée par extension de Kan. Malheureusement, ce principe ne marche plus lorsqu'on considère des variantes linéaires des théories algébriques, comme les PROs, les PROPs ou les PROBs. Nous allons étudier la notion de T-théorie algébrique enrichie, pour une pseudomonade T -- une légère généralisation des doctrines équationnelles -- afin de décrire différents types de "théories T-algébriques" et opérades enrichies. Ensuite nous formulons deux conditions (la première combinatoire, la seconde algébrique) qui assure que le modèle libre d'une théorie T-algébrique existe et est calculé par une extension de Kan enrichie. Ces conditions sont axiomatisées dans le cadre des équipements en distributeurs, c'est à dire une bicatégorie dont certains morphismes ont des adjoints à droite (l'exemple prototypique étant la bicatégorie des distributeurs de Bénabou). Nous montrerons en fin d'exposé comment notre approche permet d'appréhender autrement le travail de Bruno Vallette sur les monoïdes libres (et sa récente reformulation par Steve Lack). Enfin nous montrerons comment appliquer notre théorie pour calculer des comonoïdes commutatifs (ie. des modalités exponentielles) libres dans des modèles de logique linéaire.

Antoine TOUZÉ

Classes universelles pour les groupes algébriques et engendrement fini des algèbres de cohomologie.

Dans cet exposé, nous présentons le résultat suivant, qui confirme une conjecture de Van der Kallen: Th (Van der Kallen, Touzé 2008): Soit k un corps et G un groupe algébrique réductif agissant sur une k-algèbre commutative de type fini A. Alors lalgèbre de cohomologie H^*(G,A) est de type fini.
Ce résultat était auparavant connu: a)pour la sous-algèbre H^0(G,A)=A^G des invariants, grâce aux travaux de Nagata (1967) et Haboush (1975). b)pour quelques familles de groupes algébriques réductifs G, notamment: -les groupes finis (Venkov 1959, et Evens 1961) -les "schémas en groupes finis" (Friedlander-Suslin 1997)
Un des points clés de la démonstration du théorème est l'existence de certaines classes universelles dans la cohomologie du groupe algébrique GL_n à coefficients dans l'algèbre à puissances divisées de la représentaion adjointe "twistée" (Touzé, 2008). Nous expliquerons comment ces classes universelles interviennent dans la démonstration de l'engendrement fini des algèbres de cohomologie, et donnerons une idée de leur construction.

Bruno VALLETTE

Algèbres de Batalin-Vilkovisky à homotopie près

La notion d'algèbre de Batalin-Vilkovisky joue un role important en physique mathématique (algebres vertex), en topologie des cordes (opérations en homologie) et en topologie algébrique (espaces de lacets itérés, conjecture de Deligne cyclique). Dans chacun des cas, une notion relâchée à homotopie près s'avèrerait très utile. Grâce à une théorie de dualité de Koszul généralisée, je donnerai la définition des algèbres de Batalin-Vilkovisky à homotopie près et démontrerai un théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt pour l'opérade associée. J'étudierai ensuite le théorie de déformation ainsi que la théorie homotopique de telles algèbres. Ceci permettra de démontrer une version forte de la conjecture de Lian-Zuckerman.

Friedrich WAGEMANN

Déformations associatives de l'algèbre de Hopf de Connes-Moscovici

L'algèbre de Hopf de Connes-Moscovici, \mathcal H, a été inventé par Connes et Moscovici pour décrire les symétries transversales de feuilletages, et joue un rôle pour définir des classes caractéristiques de ceux-ci.
Dans notre travail en commun avec Alice Fialowski (Budapest), nous calculons l'espace des déformations infinitésimales HH2(\mathcal H) en se servant de la cohomologie d'algèbres de Lie. En effet, en tant qu'algèbre associative, \mathcal H est l'enveloppante d'une algèbre de Lie h. h possède comme idéal une algèbre de Lie m_0 dont la cohomologie a été le sujet de plusieurs articles de Fialowski, Millionshchikov et d'autres, ce qui ouvre la voie à un traitement par des suites spectrales.
Nous montrons que HH2(\mathcal H) est de dimension 1, ce qui établit que le starproduit de Connes-Moscovici, défini à l'aide de crochets de Rankin-Cohen, est unique, à équivalence près.