Mes thèmes de recherche:
- Systèmes hyperboliques [Modélisation, Energie, Hyperbolicité, Produits non conservatifs] : Système de Saint-Venant avec termes sources (topographie, frottement, Coriolis...) ; Equations primitives et Système de Saint-Venant à plusieurs vitesses ; Système de Saint-Venant Exner pour le transport sédimentaire.
- Volumes finis et méthodes numériques : Propriétés de stabilité non-linéaire (schémas cinétiques), Schémas équilibres (reconstruction hydrostatique), Schémas IMEX (Implicit-Explicite), Schémas à deux pas de temps, Second ordre sur maillages non structurés.
- Mécanique des fluides : Ecoulements à surface libre en eaux peu profondes (système de Saint-Venant), Equations de Navier-Stokes et Modèles de Saint-Venant à plusieurs vitesses, Ecoulements sur domaines en rotations (applications à l'océanographie), Transport sédimentaire.
Quelques exemples de travaux :
Nous renvoyons à la page Publications pour plus de détails sur les articles cités.Le solveur Saint-Venant le plus utlisé ici est basé sur une interprétation cinétique du système homogène (stabilité non linéaire) couplée à la prise en compte des termes sources via une reconstruction hydrostatique aux interfaces (well-balancing).
Des schémas basés sur les solveurs de relaxation et sur les solveurs de Riemann approchés ont également été mis en oeuvre.
La dérivation de schémas équilibres pour les écoulements en rotation (équilibre géostrophique) fait appel d'une part à la reconstruction hydrostatique déjà évoquée et d'autre part à des méthodes numériques développées pour les écoulements à Bas Mach.
L'extension au modèle à plusieurs vitesses est réalisée par la mise en oeuvre d'un schéma IMEX : utilisation du solveur Saint-Venant explicite décrit ci-dessus sur chaque couche, puis prise en compte des échanges verticaux par la résolution d'un système linéaire par colonne.
Le couplage avec une équation de transport est réalisé via l'ajout d'un solveur transport utilisant les flux de masse de la partie hydrodynamique (stabilité), mais possédant son propre pas de temps (précision et rapidité).
Dans le cadre de la résolution du système de Saint-Venant Exner, le couplage avec un phénomène de transport sédimentaire est effectué via l'écriture d'un solveur de Riemann approché basé sur la minimisation d'une énergie de déformation.
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Système de Saint-Venant multicouche (in ABPS [JCP, 2011])
Modèle à densité variable : Recirculation induite par du vent en surface en présence d'un gradient de température dans l'écoulement.
Les résultats montrent une bonne adéquation avec le comportement qualitatif de la solution (persistance de l'interface et présence d'une double recirculation malgré le faible écart de densité entre les zones chaudes et froides).
La comparaison avec une solution asymptotique permet de renforcer ces conclusions et d'illustrer la convergence quand le nombre de vitesses introduites augmente.
Présentation schématique de la situation (en haut).
Champs de température et de vitesses (en bas à gauche).
Coupe verticale du champ de vitesse en milieu de bassin et comparaison avec une solution asymptotique (en bas à droite).
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Problème de Riemann pour le modèle de Saint-Venant à deux vitesses (in
AAGP [SIMA, 2018])
L'analyse de l'hyperbolicité des modèles de Saint-Venant à plusieurs vitesses n'est possible, sans hypothèse supplémentaire, que dans le cas du modèle à deux vitesses. L'étude du problème de Riemann associé fait apparaitre des phénomènes de résonance entre ondes linéairement dégénérées et de coalescence d'ondes entre des discontinuités de contact et des ondes de choc.
Différentes solutions pour le problème de Riemann du modèle à deux vitesses
(ondes de choc en trait plein, discontinuités de contact en trait pointillé, onde de détente en grisé).
Ondes simples (en haut), Résonance entre deux discontinuités de contact (au milieu), Coalescence entre un choc et une discontinuité de contact (en bas).
- Rupture du barrage de Malpasset (France) (in AB [JCP, 2005]) Ce cas test est très classique. Il permet de vérifier le comportement des méthodes numériques lors de la mise en oeuvre sur des applications réalistes.
Surface libre aux temps t=0s, 1000s et 2500s.
Bathymétrie et géométrie complexes (relevées sur le terrain).
Présence de zones sèches et de zones au repos (la mer, en bas à droite).
Calcul Volumes Finis d'ordre 2.
- Remplissage et vidange d'un réservoir (in ABBKP [SISC; 2004]) Cette application permet de tester le comportement des schémas lors de la propagation d'un front entre une zone sèche et une zone mouillée sur une topographie réaliste.
Surface libre aux temps 0s, 200s, 2000s et 4000s.
Bathymétrie non triviale et présence de zones sèches.
Calcul Volumes Finis d'ordre 2.
- Comparaisons de différents schémas numériques pour le système de Saint-Venant avec terme source de topographie (in ACU [CMS, 2016]) Ressaut hydraulique : Ecoulement stationnaire sur un fond avec bosse.
Nous comparons ici les solutions obtenues avec des méthodes volumes finis construites sur le flux HLL et complétées par différentes manières de prendre en compte les termes de topographie sur une application où la solution exacte présente une discontinuité stationnaire.
En haut : Solutions approchées calculées avec différents schémas numériques (surface libre à gauche, débit à droite)
En bas : Courbes d'erreur pour différents schémas numériques (surface libre à gauche, débit à droite).
- Comparaisons de différents schémas numériques pour le système de Saint-Venant avec terme source de topographie (in ACU [CMS, 2016]) Test de Thacker : Surface libre affine oscillante sur fond parabolique.
Nous comparons ici les solutions obtenues avec des méthodes volumes finis construites sur le flux HLL et complétées par différentes manières de prendre en compte les termes de topographie sur une application comprenant des transitions entre zones sèches et mouillées.
En haut : Solutions approchées calculées avec différents schémas numériques (surface libre à gauche, débit à droite)
En bas : Courbes d'erreur pour différents schémas numériques (surface libre à gauche, débit à droite).
- Système de Saint-Venant avec force de Coriolis et équilibre géostrophique (in AHOP [JCP, 2018]) Préservation d'un vortex stationnaire (cas linéarisé : équations des ondes).
La préservation numérique de l'équilibre géostrophique est un problème difficile. On illustre ici le fait que les méthodes classiques (C-C), ainsi que certaines méthodes adaptées à la préservation de l'équilibre géostrophique en une dimension d'espace (AT-C), ne donnent pas de résultats satisfaisants pour les équilibres bidimensionnels dont la préservation nécessite donc l'écriture et l'analyse de nouveaux schémas.
Conditions initiales (à gauche) et solutions obtenues avec différents schémas numériques (à droite).
- Système de Saint-Venant avec force de Coriolis et équilibre géostrophique (in AHOP [JCP, 2018]) Chute d'une colonne d'eau et ajustement géostrophique.
Cette application montre le comportement en temps long des solutions calculéees par différents schémas numériques de type volumes finis. Après émission de différents types d'ondes, la solution devrait converger vers un équilibre géostrophique, ce qui n'est possible que si ce type d'équilibre appartient au noyau du schéma numérique (schéma AT-DP).
Solutions calculées par différents schémas numériques.
En temps court (figure de gauche), les méthodes, toutes d'ordre 1, donnent des résultats similaires, mais en temps long (figure de droite), le comportement est dicté par les états stationnaires du schéma numérique.
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Système de Saint-Venant et transport de sédiments :
Développement d'un schéma stable faiblement couplé (in ACU
[IJNMF, 2018])
L'écoulement est modélisé par le système de Saint-Venant et l'évolution du fond par l'équation d'Exner.
Une littérature abondante a été consacrée à ce modèle dans les dernières années, concluant à la nécessité d'une résolution fortement couplée pour assurer des propriétés de stabilité.
Dans un premier temps, en s'inscrivant dans cette optique, un schéma numérique basé sur un solveur de Riemann approché avec de bonnes propriétés de stabilité linéaires a été construit.
Dans un deuxième temps, une réinterprétation de la méthode a permis de construire, à partir d'un schéma basé sur une méthode de splitting utilisée dans un code industriel, et avec un minimum de modifications, un schéma stable et faiblement couplé.
Rupture de barrage (hauteur d'eau nulle à droite) sur un fond déformable et initialement plat.
En haut : Solutions calculées par différents schémas numériques fortement couplés
En bas : Un schéma par splitting instable et sa modification stable
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Système de Saint-Venant et transport de polluant :
Développement d'un schéma volumes finis à deux pas de temps (in AB
[M2AN, 2003])
Dans cette application, la concentration en polluant n'a pas d'impact sur l'hydrodynamique. L'hydrodynamique peut donc être calculée seule dans un premier temps.
Les résultats (ordre 1 vs. ordre 2) diffèrent grandement, notamment par la présence d'une recirculation en aval de l'épi (qui capture une partie du polluant) dans le calcul d'ordre 2.
Seuls les résultats avec la méthode d'ordre 2 sont présentés ici.
Dans le premier cas, la concentration en polluant est calculée par une méthode classique où le polluant est mis à jour à chaque pas de temps.
Dans le deuxième cas, elle est calculée par une méthode adaptée qui n'effectue la mise à jour que quand cela est nécessaire pour préserver les propriétés de stabilité (principe du maximum).
La deuxième méthode est moins coûteuse (moins de mises à jour) et plus précise (moins de diffusion numérique).
Vitesse et concentration du polluant au temps t=3600s.
Figure de gauche : schéma à deux pas de temps (320 pas de temps effectués)
Figure de droite : schéma classique (45637 pas de temps effectués)
Calcul Volumes Finis d'ordre 2.
