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Donnez les sous-groupes commutatifs de GLn(C) d'exposant r. En déduire que
GLn(C) @ GLm(C) si et seulement si n=m.
- Soit G un sous-groupe commutatif de GLn(C) d'exposant r. Pour tout g Î G, on
a donc gr=Id i.e. Xr-1 est un polynôme annulateur scindé à racines simples de g de sorte que g est
diagonalisable dans une base (e1,¼,en). Pour tout g¢ Î G, g et g¢ commutent et sont
diagonalisables, on en déduit donc qu'ils sont simultanément diagonalisables. Ainsi la matrice de tout g Î G dans la base (e1,¼,en), est diagonale de la forme diag(x1,¼,xn) où xi est une
racine r-ième de l'unité. On en déduit donc que G @ (Z/r Z)n.
- Si les deux groupes GLn(C) et GLm(C) sont isomorphes, leurs sous-groupes commutatifs d'exposant r
se correspondent soit (Z/rZ)n @ (Z/rZ)m et donc n=m par cardinalité.
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Comment savoir si une matrice est diagonalisable à valeurs propres distinctes (sur C et sur R)
- Une matrice de Mn(K) est diagonalisable à valeurs propres distinctes si et seulement si son polynôme
minimal est de degré n et est scindé à racines simples. Sur C, il suffit alors de tester si le polynôme
caractéristique c est à racines simples. Pour cela il suffit de vérifier qu'un pgcd de c et c¢est égal à 1.
- Sur R, il faut en plus tester si c est scindé. Pour cela on dispose des suites de Sturm qui nous
donnent le nombre de racines réelles de c.
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Soient A et B simultanément diagonalisables; existe-t-il C ainsi que des polynômes PA,PB tels
que A=PA(C) et B=PB(C)?
- Si on prend A=In alors P(A)=P(1) In de sorte que si B est diagonalisable sans être
scalaire, il ne peut exister un tel P.
- Le problème dans la question précédente venait des racines multiples. Soit P la matrice de passage de la
base canonique à la base de diagonalisation commune de A et B: PAP-1=diag(a1,¼,an) et
PBP-1=diag(b1,¼,bn). Prenons alors C tel que PCP-1=diag(c1,¼,cn) avec les ci
distincts deux à deux, par exemple ci=i. On choisit alors PA (resp. PB) tel que pour tout i,
PA(ci)=ai (resp. PB(ci)=bi): c'est possible en utilisant par exemple les polynômes d'interpolation
de Lagrange. On a donc bien A=PA(C) et B=PB(C).
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Les matrices suivantes sont-elles des carrés dans M2(R):
- Soit A la première matrice. Supposons qu'il
existe B réelle telle que A=B2. Le polynôme (X2+1)(X2+4) est alors un polynôme annulateur de B de
sorte que son polynôme minimal, qui est de degré 1 ou 2, doit être X2+1 ou X2+4 (qui sont
irréductibles sur R). Mais alors on aurait A+Id
=0 ou A+4Id
=0 ce qui n'est pas.
- Soit A la seconde matrice. Supposons qu'il existe B tel que
A=B2. Le polynôme (X2+1)2 est alors un polynôme annulateur de B de sorte que son polynôme minimal de
B est X2+1 et donc A+Id
=0 ce qui n'est pas.
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Soit A non diagonalisable, trouvez les polynômes P tel que P(A) soit diagonalisable
(traitez le cas de C puis de R).
- Sur C: on note ma(X)=Õl (X-l)rl le polynôme minimal de a.
Pour toute valeur propre l, on se place sur le sous-espace caractéristique associé E(l).
Si P(a) est diagonalisable alors sa restriction à E(l) est P(l) Id. Or on a
P(a)-P(l) Id
=(a-lId) Ql (a); pour que ce dernier soit nul il faut que
Ql(a)(E(l)) Ì El où El est le sous-espace propre. Ainsi il faut que
(X-l)rl-1 divise Ql(X) ce qui est équivalent, pour rl > 1 à
P¢(l)=P"(l)=¼ = P(rl-1)(l)=0 |
|
- Réciproquement si cette dernière condition est vérifiée pour tout valeur propre l alors P(a) est
diagonalisable.
- Sur R: on se place dans C de sorte qu'il faut que la condition précédente soit vérifiée pour toute
valeur propre l. En outre il faut s'assurer que les valeurs propres P(l) sont réelles.
Réciproquement si ces deux conditions sont vérifiées alors la matrice de a dans la base canonique est
semblable sur C à une matrice diagonale réelle. Il est bien connu alors qu'elle y est semblable sur
R.
- Soit r:G C GLn(R) un morphisme de groupes avec G commutatif; les r(g) sont-ils
diagonalisables? (regarder les matrices de rotation)
- Décrire le commutant d'un endomorphisme diagonalisable (on trouve Õi GLri où les ri sont
les dimensions des sous-espaces propres).
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Donner les invariants de similitude d'un endomorphisme diagonalisable.
On écrit le polynôme caractéristique de a, c(X)=Õl (X-l)rl.
Celui-ci étant supposé diagonalisable, son polynôme minimal est m(X)=Õl (X-l). On
rappelle que les invariants de similitude sont des polynômes
avec m = mr et c = Õi mi. On en déduit ainsi que tous les invariants de similitudes sont sans
multiplicité, que r=maxl (rl) et que
mi(X)= |
Õ
l / rl ³ r-i+1
|
(X-l) |
|
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Décrivez l'adhérence de l'orbite d'un bloc de Jordan.
On va montrer que cette adhérence est l'ensemble des matrices nilpotentes. Rappelons que
d'après la décomposition de Jordan, tout matrice nilpotente est semblable à une matrice diagonale par blocs,
avec sur la diagonale des blocs de Jordan de taille distinctes J(n1,¼,nr): = diag(Jn1,¼,Jnr) avec åi ni=n. On remarque alors que Jn est semblable à
où Ei,j est la
matrice de taille i ×j dont tous les coefficients sont nuls sauf celui du coin en bas à gauche qui
vaut 1, et où e > 0. En faisant tendre e vers zéro on en déduit que J(n1,¼,nr)
est dans l'adhérence de l'orbite de Jn.
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Montrez que si un ouvert de Mn(C) contient les matrices diagonales et est stable par similitude,
alors il est égal à Mn(C) tout entier.
Soit F le fermé complémentaire; s'il était non vide il contiendrait une matrice M=S+N, sa décomposition
de Dunford, et contiendrait aussi sa partie semi-simple S, laquelle est dans l'adhérence de la classe de
similitude de M, d'où la contradiction.
- Montrer que toute matrice semi-simple est semblable à une matrice normale.
- Décrivez C[u] dans le cas où u est diagonalisable (on trouve Cn)
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La matrice
est-elle
diagonalisable? Donner ses valeurs propres.
La matrice A est symétrique réelle donc diagonalisable. Par ailleurs son rang
est clairement égal à 2 de sorte que 0 est valeur propre à l'ordre n-2; reste alors à trouver deux
autres valeurs propres l1 et l2. La trace nous donne l1+l2=2 tandis que la
trace de A2 donne l12+l22=2n+n-2 ce qui donne l1 et l2.
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Montrer que A de GLn(C) est diagonalisable si et seulement si il existe k tel que Ak l'est.
Le sens direct est évident. Dans l'autre sens, on raisonne dans chacun des espaces caractéristiques de sorte que
l'on se ramène à une unique valeur propre l. On écrit A sous la forme l(In+N) avec N nilpotent.
On a alors (In+N)k=In+kN+¼. Or on remarque que kN+¼ est nilpotent et semblable à N
(utiliser Jordan), d'où le résultat.
- Montrez que la classe de similitude de A est fermée si et seulement si A est diagonalisable.
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(1) Sur R ou C, montrez que
(i) l'intérieur de l'ensemble D des matrices diagonalisables est l'ensemble D1
des matrices avec n valeurs propres distinctes;
(ii) l'adhérence de D est l'ensemble T des matrices trigonalisables.
(2) Sur C, montrez la connexité de D et D1.
- (1) (i) Soit A une matrice possédant n valeurs propres distinctes de sorte que son polynôme caractéristique est scindé à racines simples. D'après la continuité du polynôme caractéristique et de celle des racines d'un polynôme,
on en déduit que pour tout A¢ proche de A, le polynôme caractéristique de A¢ possède, sur C, n racines distinctes. Si A et A¢ sont réelles, alors leurs racines le sont aussi: pour A c'est vrai par hypothèse,
pour A¢, ses racines sont complexes conjuguées et proches de celles de cA, on conclut en remarquant que
ces dernières sont simples.
- Ainsi D1 est ouvert, en outre toute matrice diagonalisable est limite de matrices de D1: en effet
pour tout a1,¼,an et pour tout e > 0, il existe e1,¼,en tels que
0 < ei < e et les ai+ei sont distincts deux à deux. Ainsi pour A=P diag(a1,¼,an)P-1, la boule de centre A et de rayon e contient
A¢=Pdiag(a1+e1,¼,an+en) Î D1.
- On en déduit alors que l'adhérence de D1 contient D et donc que D est l'intérieur de D.
- (ii) Soit (Ak)k Î \mathbb N une suite d'éléments de D qui converge vers A. D'après la continuité du
polynôme caractéristique, ck converge vers c. Les ck étant scindé, on en déduit comme ci-dessus
que c est scindé: ses racines complexes sont limites des racines de ck, si celles-ci sont toutes réelles, leurs limites aussi. On rappelle alors que A est trigonalisable.
- Réciproquement si A est trigonalisable PAP-1=T, soit alors
e1,¼,en petits tels que les ti,i+ei sont tous distincts. La matrice
T+diag(e1,¼,en) est alors diagonalisables car elle a n valeurs propres distinctes.
Ainsi A est dans l'adhérence de D.
- (2) Pour D: on a une application surjective GLn(C) ×(C×)n sur l'ensemble des matrices diagonalisables: on envoie (P,(a1,¼,an)) sur P diag(a1,¼,an) P-1. L'ensemble
GLn(C) ×(C×)n étant connexe, il en est de même de l'ensemble des matrices diagonalisables.
- On rappelle que GLn(C) est connexe: soient P1,P2 deux matrices inversibles. On considère le polynôme det(P1z+(1-z)P2). Le complémentaire de l'ensemble (fini) des zéros de ce polynôme est connexe; on considère alors un chemin qui relie 0 à 1 dans ce complémentaire, ce qui fournit un chemin de P1 à P2 dans GLn(C).
- Pour D1: on remarque que D1 est le
complémentaire des zéros du polynôme en n2 variable définit comme le discriminant du polynôme caractéristique.