Remarque d'ordre général: il conviendra en préambule de donner le contexte: un C-espace
vectoriel muni d'un produit hermitien.
Dans un premier paragraphe, donnez les définitions élémentaires de rigueur: définition de l'adjoint,
d'un endomorphisme hermitien (les opérateurs hermitiens jouent un rôle important en mécanique quantique. Ils
représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur
et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés), anti-hermitien, unitaire, normal et l'interprétation
matricielle.
De la réduction des endomorphismes normaux (via les sous-espaces stables) on en déduit la réduction des
hermitiens et des unitaires.
en application:
deux matrices réelles unitairement semblables sont orthogonalement semblables: en application on pourra
mentionner
la réduction des matrices orthogonales à partir de celle des matrices unitaires;
que SO(n) est connexe par arcs ;
la réduction des endomorphismes normaux sur un espace euclidien;
pour u hermitienne de valeurs propres l1 £ ¼ £ ln alors
lk=
inf F Î Ek
sup
0 ¹ x Î F
(u(x),x)
||x||2
=
sup F Î En-k+1
inf
0 ¹ x Î F
(u(x),x)
||x||2
réduction simultanée: pour A hermitienne définie positive et B hermitienne, il existe P inversible
telle que P*AP=In et P*BP soit diagonale
les décompositions classiques avec des applications topologiques:
l'exponentielle réalise un homéomorphisme (resp. une surjection) des hermitiennes (resp. anti-hermitiennes)
sur les hermitiennes définies positives (resp. sur SU(n)); l'ensemble des endomorphismes hermitiens (resp.
hermitiens définis positifs) est homéomorphe à Rn2; tout endomorphisme unitaire s'écrit sous la forme
exp(iH) avec H hermitien;
décomposition QR: pour tout A Î GLn(C), il existe un unique couple (Q,R) avec Q unitaire et R
triangulaire supérieure à éléments diagonaux dans R*+ tel que A=QR.
décomposition polaire (il faut le voir comme une généralisation de l'écriture z=|z|ei q d'un
nombre complexe); GLn(C) (resp. SLn(C)) est homéomorphe à U(n) ×Rn2 (resp. SU(n) ×Rn2-1); U(n) est un sous-groupe compact maximal
décomposition d'Iwasawa;
décomposition de Cartan.
Dans un autre paragraphe on étudiera le groupe unitaire en mettant en avant les points suivants:
le centre est l'ensemble des lIn où l est une racine de l'unité;
U(n) est homéomorphe à SU(n) ×S1;
U(n) et SU(n) sont connexes par arcs;
U(n) est un sous-groupe compact maximal et tout sous-groupe compact maximal est conjugué à U(n);
SU(n) est simple pour n > 1;
SU(2) et les quaternions: simplement connexe, revêtement de SO(3);
toute orbite sous le groupe unitaire contient une matrice triangulaire, celles qui contiennent des
matrices diagonales sont les orbites des matrices normales
U(n) est l'ensemble des points extrémaux de la boule unité B={ a Î End(Cn): |a| £ 1 };
Les matrices de Householder qui sont hermitiennes et unitaires (cf. M-T p.186) avec en application:
ce sont exactement les matrices de U(n) qui sont hermitiennes de signature (n-1,1);
toute matrice de SU(n) est un produit pair de matrices de Householder;
le sous-groupe de U(n) engendré par les matrices hermitiennes de U(n) est le sous-groupe
de U(n) constitué des matrices de déterminant ±1;
étant donnée une matrice symétrique A, il existe une matrice P produit de (n-2) matrices
de Householder, telle que \scriptspace tPAP soit tridiagonale (Ciarlet p.120). En appliquant alors la méthode
de Givens, on obtient des valeurs approchées des valeurs propres: les polynômes caractéristiques des mineures
principaux forment une suite de Sturm ce qui permet de localiser les racines aussi précisément que l'on veut
par exemple par dichotomie (Ciarlet p.123).
d'autres thèmes possibles, plus ou moins difficiles:
les déterminants de Gram
Hausdorffien d'un opérateur: pour A une matrice à coefficients complexe, on note H(A) l'image
de la sphère unité de l'espace hermitien Cn par l'application x ® (A(x),x). On a alors les
résultats suivants: (M-T p.326, M p.97)
si A est normale, H(A) est l'enveloppe convexe de ses valeurs propres;
H(A) est une partie convexe compacte du plan;
en dimension 2, H(A) est une ellipse (pleine éventuellement dégénérée) dont les foyers sont les
valeurs propres de A;
toute matrice A est unitairement semblable à une matrice ayant des coefficients diagonaux identiques.
théorème de Horn: les vecteurs constitués des diagonales des matrices hermitiennes d'une même orbite
sous l'action de U(n) décrivent exactement l'enveloppe convexe des vecteurs de coordonnées (ls(1),¼,ls(n)) où l1 £ ¼ £ ln sont les valeurs propres attachées à l'orbite
et s décrit les permutations de l'ensemble { 1, ¼, n }.
Développements
U(n) est l'ensemble des points extrémaux de la boule unité B={ a Î End(Cn): |a| £ 1 };
théorème de Liapounov (M p.99)
réduction des endomorphismes normaux
la décomposition polaire est un homéomorphisme
tout sous-groupe compact de GLn(C) est contenu dans un conjugué de U(n)
l'exponentielle réalise un homéomorphisme des hermitiennes sur les hermitiennes définies positives
décomposition de Cartan
décomposition d'Iwasawa
matrices de Householder et réduction à une forme tridiagonale
Haussdorfien...
Questions
Montrez que deux matrices normales A et B sont semblables si et seulement si TrAk=TrBk.
(le théorème de Specht est une vaste généralisation: les fonctions A ® Tr(m(A,A*)) où m
est un mot quelconque (de degré £ 2n2 d'après un théorème de Pearcy), séparent les orbites sous l'action
de la conjugaison de U(n)).
(Tauvel p.417) Montrez que u est diagonalisable de spectre réel si et seulement si u est le produit
de deux endomorphismes hermitiens, l'un au moins d'entre eux étant défini positif
Supposons que u est diagonalisable de spectre réel: soit (e1,¼,en) une base orthonormée et soit
(x1,¼,xn) une base formée de vecteurs propres de u de valeurs propres réelles
l1,¼,ln. On définit f et g par f(xi)=ei et g(ei)=liei de sorte que
u=f-1°g °f. Soit alors f=qr la décomposition polaire de f avec q unitaire et r hermitienne
définie positive. On obtient ainsi en posant l=r °l °r-1=q* °g °q qui est hermitienne,
alors u=r-1 °l °r=(r-1 °l °r-1) °r2 avec donc r-1 °l °r-1
et r2 hermitiennes.
Réciproquement si u=v °w avec w (resp. v) hermitienne (resp. hermitienne définie positive). Notons
l=v1/2 qui est hermitienne définie positive, on a u=l °(l °w °l) °l-1. Comme
l °w °l est hermitienne, elle est diagonalisable à spectre réel et il en est donc de même de u
qui lui est semblable.
(Tauvel p.418) Pour n ³ 2 et A hermitienne non nulle de taille n, montrez que A est définie positive
ou négative si et seulement si pour toute matrice B hermitienne, AB est diagonalisable.
Le sens direct découle de l'exercice précédent. Supposons donc que pour toute matrice hermitienne B, AB
est diagonalisable. Soit P unitaire telle que A=PDP* avec D diagonale réelle. Comme AB=P(DP*BP)P-1,
on voit que AB est diagonalisable si et seulement si DP*BP l'est. Par ailleurs comme P*BP
est hermitienne, on peut supposer A=D.
On se ramène aisément en dimension 2 avec A=diag(x2,-y2) avec x,y réels. Soient alors
B=(
y2
xy
xy
x2
) et B¢=(
0
1
1
0
). Si y ¹ 0, on a AB ¹ 0 et (AB)2=0. Si y=0 alors AB¢ ¹ 0
et (AB¢)2=0. Ainsi AB (resp. AB¢) est nilpotente non nulle et donc non diagonalisable.
(M-T p.219 ou M p.92)
Soient l1,¼,ln les valeurs propres d'une matrice complexe A=(ai,j).
Montrez que A est normale si et seulement si åi,j |ai,j|2=åi |li|2.
(remarquez que Tr(AA*)=åi,j |ai,j|2 est U(n)-invariante)
Rappelons que Tr(AA*)=åi,j |ai,j|2 est U(n)-invariante de sorte que si A est normale
elle est alors unitairement semblable à la matrice diagonale des li d'où le sens direct. Réciproquement
toute matrice complexe est unitairement semblable à une matrice triangulaire T de diagonale formée des li.
L'égalité implique alors que les termes qui ne sont pas sur la diagonale sont nulle, i.e. que T est diagonale.
Montrer que A est normale si et seulement si Tr(AA*)2=TrA2A*2.
(notez que la matrice hermitienne H=AA*-A*A est nulle si et seulement si TrH2=0)
D'après la question précédente, la matrice hermitienne H=AA*-A*A est nulle si et seulement si TrH2=0. Ainsi
A est normale si et seulement si la trace de (AA*)2-A(A*)2A-A*A2A*+(A*A)2 est nulle. Or rappelons
que TrAB=TrBA de sorte que Tr(A*A)2=Tr(AA*)2 et TrA*A2A*=TrA(A*)2A=TrA2A*2,
d'où le résultat.
A est normale si et seulement si A* est un polynôme en A
La réciproque étant évidente, montrons le sens direct. Soit (e1,¼,en) une base orthonormée
de vecteurs propres pour A: Aei=liei. De même on a A*ei=[`(li)] ei. On construit
alors un polynôme interpolateur de Lagrange P tel que P(li)=[`(li)] de sorte que A*=P(A).
Si A est normale, montrez que l'orbite de A est homéomorphe à U(n)/U(k1) ×¼×U(kr).
Il suffit de remarquer que le centralisateur de A est isomorphe à U(k1) ×¼×U(kr) où les
ki sont les dimensions des sous-espaces propres.
Montrez que deux matrices sont unitairement équivalentes si et seulement si elles ont même valeurs singulières.
Le sens direct découle de PAP*=B, PA*P*=B* soit PAA*P*=BB*.
Réciproquement, la décomposition polaire donne A=HAUA, B=HBUB avec HA,HB hermitiennes
définies positives, et UA,UB unitaires. On a donc AA*=HAHA* et BB*=HBHB*. Les matrices
HA,HB sont diagonalisables de sorte que si AA* et BB* ont même valeurs propres alors les valeurs
propres de HA sont égales à celles de HB au signe près, soit HA=PADPA* et HB=PBDD¢PB* avec
D¢=diag(e1,¼,en) où les ei sont égaux à ±1 de sorte que D¢ est unitaire.
On a donc D=PB*UB*BPBD¢ et A=UAPAPB*UB*BPBD¢PA* d'où le résultat.
Les matrices de Householder sont exactement les matrices de U(n) qui sont hermitiennes de signature
(n-1,1).
Rappelons qu'une matrice de Householder associée au vecteur colonne v Î Cn-{ 0 } est
H(v)=I-2 [(vv*)/(v*v)]. La matrice vv* est hermitienne de rang 1; ses valeurs propres sont 0
à l'ordre n-1 et Tr(vv*)=v*v. Ainsi les valeurs propres de H(v) qui est clairement hermitienne et unitaire
sont 1 à l'ordre n-1 et -1 à l'ordre 1.
Réciproquement si H est une matrice hermitienne unitaire, ses valeurs propres sont réelles de module 1; vu
l'hypothèse sur la signature et le fait que H est diagonalisable dans une base orthonormée H=UDU*
avec D=diag(-1,1,¼,1), c'est à dire H=UH(e1)U-1=H(U(e1)).