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(a) Montrer que si ker A2=ker A, alors il existe un pseudo-inverse X, i.e. tel que
AX=XA, AXA=A et XAX=X.
(b) A quelle condition sur les invariants de similitude de A a-t-on dim
(ker A2)=2dim (ker A)?
- (a) On décompose l'espace en sous-espace caractéristique pour A. Sur les espaces
caractéristiques associés aux valeurs propres non nulles, on pose X=A-1. Sur l'espace caractéristique
associé à la valeur propre 0, l'hypothèse implique que A y est nulle, on prend donc X quelconque.
- (b) Cela correspond à dire que les deux première colonnes du tableau de Young associé à A sont de même
longueur ce qui est équivalent à demander qu'il n'y ait aucun bloc de Jordan de taille 1.
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La matrice de Jordan de taille maximale est-elle un carré dans Mn(R)? Cas général?
On raisonne par analyse et synthèse. Soit donc X nilpotent que l'on écrit sous forme de
Jordan. La décomposition de Jordan de Jk2 comporte
deux blocs Jë[(k)/2] û et Jé[(k)/2] ù.
On en déduit alors que le tableau de Young associé à X2 vérifie l'une des conditions équivalentes
suivantes:
- il ne contient pas deux colonnes consécutives de même longueur impaire;
- si on groupe les lignes deux par deux en partant du haut (en partant de la convention que l'on a une
dernière ligne de longueur nulle dans le cas où le noyau est de dimension impaire), alors les lignes d'une
même paire diffèrent d'au plus une case.
La synthèse est alors évidente.
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On considère la suite des dimensions des noyaux emboîtés. Décrivez l'ensemble des suites obtenues.
- Notons pour k ³ 0, ak:=dim (ker ak).
Il s'agit d'une suite croissante majorée par la
dimension de l'espace n. On a a0=0 et si a1=0 alors pour tout k, ak=0. Plus généralement soit
r le premier indice tel que ar=ar+1. Soit alors x Î ker ar+2 de sorte que a(x) Î ker ar+1=ker ar et
donc ar+1(x)=0 soit x Î ker ar+1 et donc ar+1=ar et par récurrence
ar=ar+k pour tout k ³ 0.
- On introduit la suite dk:=ak-ak-1 pour tout k ³ 1. Remarquons que cette suite est décroissante:
en effet a induit un endomorphisme injectif de ker ak/ker ak-1 dans ker ak-1/ker ak-2.
- Réciproquement soit (ak)k ³ 0 une suite croissante majorée par n telle que la suite des
différences dk est décroissante. On considère alors la matrice nilpotente A sous forme de Jordan dont le
nombre de blocs de Jordan de taille r est égal à dr-dr+1. On vérifie alors aisément que ak=
dim (ker Ak).
- Par ailleurs, une manière graphique de représenter les classes de similitude de matrices nilpotentes, est
d'introduire le diagramme de Young dont les colonnes sont les di pour i=1,¼,r. Les blocs de Jordan
se lisent alors sur les lignes.
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Calculer la dimension du commutant d'un endomorphisme nilpotent.
- Il s'agit de déterminer le nombre de degré de liberté dans le choix d'un opérateur M qui
commute avec A. On raisonne dans une base de Jordanisation de A. On rappelle que l'on a
ker A C ker A2 C ¼C ker Ar=ker Ar+1 |
|
- On considère une base en,¼,en-dr+1 de ker Ar - ker Ar-1 de cardinal la longueur dr de
la dernière colonne du tableau de Young associé à A. L'image de cette base est totalement libre ce qui
donne dr n degré de liberté; en contrepartie l'image des uk de ces vecteurs sont fixés. Soit alors
r1 maximal tel que dr1 ¹ dr; on obtient alors dr1 dim ker Ar1 nouveau degrés de
liberté. On procède ainsi de suite jusqu'à épuiser tout l'espace.
- On vérifie alors aisément qu'on obtient un nombre de degré de liberté égal à la somme des carrés des
longueurs des colonnes du tableau de Young.
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Montrer qu'un sous-R-espace vectoriel du cône nilpotent est de dimension inférieur à (n(n-1))/2 et que ce maximum est atteint.
- On considère la forme quadratique q définie sur l'espace des matrices qui à X associe Tr
X2. De manière évidente le cône isotrope est constitué de vecteurs isotropes de sorte que l'espace
vectoriel en question sera totalement isotrope.
- Par ailleurs, si X ¹ 0 est symétrique (resp. antisymétrique) alors q(X) > 0 (resp. q(X) < 0) de
sorte que la signature de q est ((n(n+1))/2,(n(n-1))/2). Ainsi un sous-espace totalement
isotrope est de dimension inférieure ou égale à (n(n-1))/2.
- L'égalité est clairement atteinte pour les matrices strictement triangulaires supérieures.
- L'adhérence de l'orbite d'un bloc de Jordan de taille maximale est l'ensemble des nilpotents.
- Donner les sous-espaces stables sous l'action d'un endomorphisme dont la matrice dans la base canonique
est un bloc de Jordan de taille maximal.
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Quels sont les endomorphismes nilpotents u qui ne possèdent qu'un nombre fini de sous-espaces stables?
On se place évidemment sur un corps infini. Il faut déjà que le noyau soit de dimension 1 sinon, il y aurait
une infinité de droite dans le noyau, qui sont bien évidemment stables. Le noyau étant de dimension 1, on
en déduit que l'endomorphisme est cyclique (il est dans la classe de similitude de Jn). L'espace
muni de la structure de K[X]-module induite par u, est alors isomorphe à K[X]/(Xn) et les sous-espaces
stables sont en bijection avec les diviseurs de Xn, ce qui correspond au noyau ker uk.
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Quels sont les endomorphismes nilpotents u tels que tout sous-espace stable est de la forme ker P(u)
ou ImP(u) pour P un polynôme.
On peut déjà remarquer que les ker P(u) et ImP(u) décrivent un ensemble fini de sous-espaces: en effet
si P est premier avec le polynôme minimal de u (ici Xr), alors ker P(u)=(0) et ImP(u)=E. Comme
dans la question précédente, il faut que le noyau soit de dimension 1, et alors l'espace étant cyclique, les
sous-espaces stables seront les ker uk=Im un-k.
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(a) Montrer que le sous-espace vectoriel engendré par le cône nilpotent est l'hyperplan des matrices
de trace nulle.
(b) Montrer que le sous-espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes de rang 1 est le même
hyperplan.
(c) En déduire que le sous-espace vectoriel engendré par les matrices d'une classe de similitude quelconque
de matrices nilpotentes est l'hyperplan des matrices de trace nulle.
- Dans les trois cas, l'inclusion est immédiate. On va montrer directement (b). Comme d'habitude
cela repose sur un petit calcul en dimension 2, à savoir:
est semblable à
en considérant la nouvelle base e1+e2 et e1-e2.
- Soit alors A une matrice de trace nulle; en ajoutant une combinaison linéaire de matrice nilpotente de rang
1, on se ramène à A diagonale diag(a1,¼,ab) avec åi ai=0 que l'on écrit sous la forme
|
diag
| (a1,-a1,0,¼,0) + |
diag
| (0,a2+a1,a3,¼,an). |
|
- D'après le calcul précédent la première matrice est semblable à une combinaison linéaire de matrice
nilpotentes de rang 1; la deuxième aussi par hypothèse de récurrence.
- (c) L'orbite d'une classe de similitude quelconque contient dans son adhérence la classe de similitude des
matrices nilpotentes de rang 1. On conclut alors d'après (b).
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Soit M=S+N la décomposition de Dunford de M en semi-simple plus nilpotent. Montrez que S est dans
l'adhérence de la classe de similitude de M.
Cela découle simplement du fait que 0 est dans l'adhérence de la classe de similitude de N.
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Montrer que tout hyperplan H de M(n, C) contient au moins n2-n-1 matrices nilpotentes
linéairement indépendantes.
On se ramène au cas où H a pour équation tr(TX)=0 avec T triangulaire et on considère les
intersections de H avec les sous-espaces des matrices nilpotentes triangulaires supérieures ou inférieures.
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Soit u un endomorphisme nilpotent; pour tout i ³ 0, on note K0i le noyau de ui soit d0i sa
dimension. On suppose que la suite (d0i) est égale à (4,7,9,10,10, ¼). Déterminer alors les
invariants de similitudes de u.
- On note V=Kn l'espace vectoriel en question, que l'on munit de la structure
de A=K[X]-module définie par la matrice à étudier; on notera ar(X) | ¼| a1(X), ses invariants de
similitude. Le polynôme minimal est alors a1(X) et le polynôme caractéristique est le produit des
invariants de similitude. On note r l'indice i tel que K0i-1 ¹ K0i = K0j pour tout j ³ i. L'entier r est la multiplicité de 0 dans a1(X) tandis que sa dimension est la multiplicité de 0
dans le produit des ai. On note di=dimK0i - dimK0i-1; partant de la forme de Jordan il
est aisé de voir que d0i est égal au nombre de ak divisible par Xi. On remarque ainsi que le
nombre r d'invariants de similitude est égal au maximum des dimensions des sous-espaces propres.
- Ainsi le nombre d'invariants de similitude est égal à la dimension du noyau soit donc 4 invariants de
similitude a1,a2,a3,a4. Le polynôme minimal s'écrit sous la forme Xa1 avec a1=r0 où r0
est l'indice i tel que K0i-1 ¹ K0i=K0i+k pour tout k ³ 0, soit donc ici a1(X)=X4.
De même on écrit les ai(X) sous la forme ai(X)=Xai pour 2 £ i £ 4 avec ai ³ ai+1 et åi=14 ai=10.
- On introduit comme ci-avant d0i=dimK0i - dimK0i-1; d0i est le nombre d'invariants de
similitude divisibles par Xi. De d04=1 on déduit a2 £ 3; en outre d03=2 impose a2 ³ 3 soit a2=3 et a3 £ 2. Enfin d02=3 donne a3=2 et a4=1.