Remarque d'ordre général: il faut à mon avis se concentrer sur les aspects effectifs, algorithmiques. Par exemple il me semble mal à propos de disserter sur les transvections et proposer en développement la simplicité de PSL_n(K) pour n ³ 3. Pour ouvrir le sujet, on peut introduire des opérations moins élémentaires, par exemple les matrices de Householder.

• Commencez par définir les opérations élémentaires usuelles:
  • L_i ® L_i+lL_j (resp. C_i ® C_i+lC_j) est obtenu par multiplication à gauche (resp. à droite) par T_i,j(l);
  • L_i ® lL_i (resp. C_i ® lC_i) est obtenu par multiplication à gauche (resp. à droite) par D_i(l);
  • L_i « L_j (resp. C_i « C_j) est obtenue par multiplication à gauche (resp. à droite) par P_i,j=I-E_i,i-E_j,j+E_i,j+E_j,i.
• pour i ¹ j, les matrices T_i,j(l) (resp. D_i(l)) sont des matrices de transvections (resp. dilatations) élémentaires relativement à la base canonique. De manière générale les matrices de transvections (resp. dilatations) sont les matrices semblables aux matrices de transvections (resp. dilatations) élémentaires relativement à la base canonique. Une transvection (resp. dilatation) est une application linéaire u telle qu'il existe un hyperplan H tel que u_|H=Id_H et Im(u-Id) Ì H (resp. u ¹ Id diagonalisable).
• Sur un corps K:
  • SL_n(K) est engendrée par les transvections élémentaires relativement à la base canonique: en particulier on notera que les matrices de permutation ne sont pas utiles puisqu'elles s'obtiennent à partir des matrices de transvections. Ainsi si vous introduisez les matrices de permutation et vous ferez bien, il vous faut donc les faire entrer en jeu, par exemple:
    • pour M Î M_p,n(K) de rang r > 0, alors il existe Q Î SL_n(K) (qui est donc produit des T_i,j(l) et s Î \mathfrak S_n tels que QMP_s=(

      I¢r	A
      0	0

      ) où P_s est la matrice de permutation associée à s et I_r¢=I_r si r < p et I¢_r=diag(1,¼,1,a) (la matrice de permutation sert à permuter les colonnes quand on moment de pivoter sur cette colonne celle-ci est combinaison linéaire des précédentes). Si on ne s'autorise pas à pivoter les colonnes on obtient une matrice échelonnée cf. plus loin
    • décomposition de Bruhat: T(n,C) \GL(n,C) / T(n,C) @ \mathfrak S_n où T(n,C) désigne l'ensemble des matrices triangulaires supérieures. On interprète ce résultat en termes de drapeaux: l'ensemble des classes de paires de drapeaux complets sous l'action de GL(n,C), est en bijection avec \mathfrak S_n.
  • soit M un élément de GL_n(K), alors M D_n(detM^-1) est un produit de transvections élémentaires (moins de n²) relativement à la base canonique
  • méthode du pivot de Gauss:
    • le calcul du rang, des déterminants;
    • résolution d'un système linéaire AX=B: on construit M tel que MA soit échelonnée ce qui donne des équations que doit vérifier B puis on résoud le système triangulaire avec un certain nombre de degré de liberté (théorème de Rouché-Fontené) (2n³/3+o(n³) opérations élémentaires) (il faut absolument maîtriser parfaitement la question);
    • pour le calcul de l'inverse, on utilise la méthode de Gauss-Jordan: on construit M tel que MA soit diagonale;
    • décomposition LU: on se demande, dans la méthode du pivot, si pour pivoter on a besoin d'échanger des lignes (en général oui surtout pour minimiser les erreurs d'arrondis): la condition pour que ce ne soit pas nécessaire est que detM^(k) soit inversible pour tout 1 £ k £ n où M^(k) désigne le mineur principal d'ordre k: la factorisation est alors unique si on impose à la diagonale de L d'être égale à 1. Pour la résolution des systèmes linéaires: on résoud LY=B puis UX=Y (on notera que le calcul de L est particulièrement simple à partir de matrices T_i,j cf. Ciarlet p.83). On pourra mentionner le cas particulièrement simple des matrices tridiagonales (Ciarlet p.85) (qui nécessite 8n-6 opérations) ou plus généralement des matrices bandes, dont la décomposition LU est encore de la même forme (notion de structure de données statique)
    • Soit B une matrice de M_m,n(R) et c Î R^m; on cherche u tel que la norme euclidienne de Bu-c soit minimale (méthode des moindres carrés). On introduit la fonctionnelle
      

      2J(v): = || Bv-c||2-||c||2=(\scriptspace t B B v,v)-2(\scriptspace t B c,v)

      que l'on cherche à minimiser. La matrice symétrique \scriptspace ^t B B étant positive, la fonction J est convexe de sorte que l'ensemble des solutions coïncide avec celui de l'équation
      

      J¢(u)=\scriptspace t B B u-\scriptspace t B c=0

      On est ainsi naturellement amené à résoudre des équations AX=B avec A est symétrique définie positive où on applique la décomposition de Cholesky: A=B \scriptspace ^t B avec B triangulaire inférieure (attention à priori B ne s'obtient pas par la méthode LU). Pour trouver B, on doit résoudre un système triangulaire en les coefficients de la matrice A. Si on impose aux coefficients diagonaux de B d'être strictement positifs alors on a même unicité. Résoudre le système demande alors n³/3+o(n³) opérations élémentaires.
    • le calcul du polynôme minimal;
    • toute matrice est algorithmiquement semblable à une matrice de Hessenberg: dans la méthode QR si A est de Hessenberg alors tous les A_k aussi ce qui raccourcit les temps de calcul.
  • sur un anneau principal:
    • à la liste des opérations élémentaires on peut y adjoindre l'action des matrices (

      u	-b
      v	a

      ) de SL₂(A), et de leur transposée, où ua+vb=1 est une relation de Bezout que l'on obtient, sur un anneau euclidien, algorithmiquement
    • on peut décrire les classes d'équivalence: en application on pourra mentionner les invariants de similitude, le théorème de la base adaptée, la classification des groupes abéliens de type fini
    • pour A=Z ou K[X], soit M un élément de GL_n(A), alors M D_n(detM^-1) est un produit de transvections élémentaires relativement à la base canonique
    • réduction à la forme d'Hermite: soit A Î M_n,k(Z) de rang n £ k, alors il existe U Î SL_n(Z) telle que AU=[0 M] avec M triangulaire supérieure avec 0 £ m_i,j < m_i,i pour i < j < n. La matrice M obtenue est unique et le procédé est algorithmique. (Fresnel p83)
    • résolution d'un système d'équations diophantiennes.
  • Si on rajoute à la liste des opérations élémentaires les matrices de Householder, on pourra citer:
    • la factorisation QR où Q est unitaire et R triangulaire supérieure. Si on impose aux coefficients diagonaux de R d'être positifs ou nuls et si A est inversible, alors la factorisation A=QR est unique. (sur R, Q est orthogonale). Pour les construire on peut aussi utiliser le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, mais il est à éviter car il engendre des erreurs d'arrondis.
    • étant donnée une matrice symétrique A, il existe une matrice P produit de (n-2) matrices de Householder, telle que \scriptspace ^t P A P soit tridiagonale (Ciarlet p.120). En appliquant alors la méthode de Givens, on obtient des valeurs approchées des valeurs propres: les polynômes caractéristiques des mineures principaux forment une suite de Sturm ce qui permet de localiser les racines aussi précisément que l'on veut par exemple par dichotomie (Ciarlet p.123).
    • Méthode QR de localisation des racines: A inversible à valeurs propres toutes de modules distinctes telle qu'il existe une matrice de passage à une base de diagonalisation admettant une décomposition LU, on construit alors une suite A_k définie par récurrence A_k=Q_kR_k=R_k-1Q_k-1. Alors A_k converge vers la matrice diagonale des valeurs propres de A rangées par ordre décroissant de leur module.
  • En application on pourra éventuellement mentionner au fil du plan sans que ce soit central:
    • si on autorise toutes les transvections et pas seulement les T_i,j(l) alors pour 1_E ¹ f Î SL(E) qui n'est pas une affinité (resp. une affinité) alors f est produit de r (resp. r+1) transvections avec r=n-dim_K ker(f-1_V) et que ce nombre est minimal.
    • connexité de SL_n(K), GL_n(C) et de GL_n(R)⁺;
    • en dimension supérieure ou égale à 3, les transvections sont toutes conjuguées; on en déduit la simplicité de SL_n(K). En dimension 2, pour (e₁,e₂) une base on note t_l la transvection définie par t_l(x₁e₁+x₂e₂)=(x₁e₁+x₂e₂)+lx₂e₁; toute transvection est conjuguée à un t_l et t_l,t_m sont conjuguées si et seulement si [(l)/(m)] Î (K^×)².

• décomposition de Bruhat
• SL_n(K) est engendré par les transvections élémentaires relativement à la base canonique
• facteurs invariants
• SL_n(A), pour A=Z ou K[X], est engendré par les transvections élémentaires relativement à la base canonique (Fresnel p60)
• méthode de Gauss, Gauss-Jordan: factorisation LU
• factorisation QR et méthode QR de localisation des racines en passant par les matrices de Hessenberg

• Comment reconnaître la matrice d'une transvection u ¹ Id (resp. dilatation)? L'ensemble des transvections est-il un groupe? Quels sont les invariants de similitude d'une transvection?

  Le sous-espace propre est un hyperplan et u n'est pas diagonalisable (resp. est diagonalisable), ses invariants de similitude sont X-1,¼,X-1,(X-1)² (resp. X-1,¼,X-1,(X-1)(X-l)).

• (Fresnel p.103) Soit H un hyperplan d'un espace vectoriel de dimension finie V; on note G_H={ u Î GL(V)/ u_|H=Id_H }:
  • Montrez que tout élément de G_H est soit une transvection soit une dilatation.
  • Montrez que l'ensemble T_H des transvections de G_H constitue un sous-groupe distingué de G_H et que le déterminant induit un isomorphisme G_H/T_H @ K^× et donnez la structure de G_H.
  • Montrez que les dilatations de base hyperplane quelconque engendrent GL(V) alors que clairement les matrices de dilatations élémentaires relativement à la base canonique n'engendrent pas GL(V).
  • Pour U un sous-groupe de K^×, soit G_U:=det^-1(U). Montrez que G_U est engendré par les dilatations de base hyperplane quelconque de rapport m Î U.
  • On suppose carK ¹ 2; montrez que G _{{ 1,-1 }} est engendré par les involutions w telles que dim_K ker(w+1_V)=1.
  • (1) (i) implique (ii): on choisit une base de H que l'on complète en une base de E; la matrice de u dans cette base est alors triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale.
  • (ii) implique (iii): soit v Î E n'appartenant pas à H de sorte que si (e₁,¼,e_n-1) est une base de H, la matrice de u dans la base (e₁,¼,e_n-1,v) est triangulaire supérieure avec ses n-1-premiers termes diagonaux égaux à 1. Si le déterminant est égal à 1, on a alors u(v)-v Î H et u(e_i)-e_i Î H pour tout 1 £ i £ n-1 et donc le résultat par linéarité.
  • (iii) implique (iv): dans la base définie précédemment si Im(u-Id) Ì H alors, les coefficients diagonaux de la matrice de u sont tous égaux à 1. Si u était diagonalisable il serait égal à l'identité ce qui n'est pas par hypothèse.
  • (iv) implique (i): l'espace propre associée à la valeur propre 1 est de dimension supérieure ou égale à 1 car u Î G_H; u étant différent de l'identité cette dimension est exactement n-1 et comme elle est non diagonalisable 1 est son unique valeur propre. Soit alors e_n un élément de ker(u-Id)² n'appartenant pas à ker(u-Id) et soit 0 ¹ e_n-1=u(e_n)-e_n Î ker(u-Id)=:H. On complète e_n-1 en une base e₁,¼,e_n-1 de H de sorte que la matrice de u dans la base (e₁,¼,e_n) est égale à T_n-1,n.
  • (2) (i) implique (ii): c'est clair
  • (ii) implique (iii): H est inclu dans le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. Comme detu ¹ 1, on en déduit que la dernière valeur propre est différente de 1, la valeur propre associée vérifie alors la propriété demandée.
  • (iii) implique (iv): soit (e₁,¼,e_n-1) une base de H et soit e_n tel que u(e_n)-e_n \not Î H. On a alors e_n \not Î H de sorte que (e₁,¼,e_n) est une base de V. On en déduit alors que u admet une valeur propre l différente de 1 et que le sous-espace propre associée à la valeur propre 1 (resp. l) est de dimension supérieure ou égale à n-1 (resp. 1), on en déduit donc les égalités et que u est diagonalisable.
  • (iv) implique (i): dans une base de diagonalisation la matrice de u est de la forme D_n(l).
  • (3) un élément u de G_H est soit de déterminant 1 (resp. non diagonalisable) ou de déterminant différent de 1 (resp. diagonalisable) et donc d'après ce qui précède soit une transvection soit une dilatation.
  • (4) Pour t une transvection de base hyperplane H et pour u un automorphisme alors u tu^-1 est une transvection de base hyperplane u(H). Si u appartient à G_H, on a en particulier u(H)=H et donc T_H est distingué dans G_H. D'après (1), le noyau du déterminant est égal à T_H; le résultat découle alors de la surjectivité du déterminant.
  • Par ailleurs T_H est en bijection avec H: pour v un vecteur fixé n'appartenant pas à H, à une transvection t de G_H, on lui associe t(v)-v. Par ailleurs l'ensemble des dilatations telles que u(v)=lv constitue un relèvement de detG_H/T_H @ K^× de sorte que G_H est le produit semi-direct H \rtimes_Y K^× où Y:K^× ® GL(H) définie par Y(l)=l^-1 Id.
  • (5) Remarquons que si t (resp. u) est une transvection (resp. dilatation de rapport m) de G_H alors t°u est une dilatation v de rapport m de G_H (le déterminant est égal à m). Ainsi on a t = u^-1 v de sorte que le groupe engendré par les dilatations est GL(V) car pour tout élément g de GL(V), g D_n(detg^-1) est un produit de transposition.
  • (6) C'est la même démonstration que dans (5).
  • (7) Les dilatations de rapport ±1 sont des involutions w telles que ker(w+Id) est de dimension 1. Réciproquement une involution est diagonalisable avec pour valeurs propres ±1. Si ker(w+Id) est de dimension 1 alors ker(w-Id) est de dimension n-1 ce qui en fait une dilatation. On conclut donc via (6).
• (Fresnel p.104) Soit 1_E ¹ f Î SL(E), on sait que f peut s'écrire comme un produit de r transvections. Montrez que r ³ n-dim_K ker(f-1_V). (utilisez que ker(uv-1) contient l'intersection de ker(u-1) et ker(v-1))
• Proposer un algorithme pour obtenir des équations cartésiennes de l'image d'une matrice.
• (Fresnel p.127) Soit A une matrice de M_n(K). On introduit la matrice N de M_n²,n+1(K) où pour 1 £ k £ n+1, son k-ième vecteur colonne est constitué des éléments de la matrice A^k-1 pris dans un ordre prescrit une fois pour toutes. Montrez qu'il existe une matrice P de SL_n²(K) telle que PN soit de la forme (

  M1	M2
  0	M3

  ), où M₁ est un élément de M_d,d+1(K) "triangulaire supérieure" dont les termes "diagonaux" sont tous non nuls et donnez un moyen de calculer le polynôme minimal de A.

  L'existence de S découle du pivot de Gauss par opérations sur les lignes. Ainsi les d+1-premières colonnes de N¢=SN sont liées soit \scriptspace ^t ( u₀, ¼, u_d-1, -1,0, ¼, 0 ) un vecteur du noyau de N¢ et donc aussi de N car S est inversible. En notant C_i les colonnes de N, on a donc C_d=u₀C₀+¼+u_d-1C_d-1 et donc A^d-u_d-1A^d-1- ... -u₀ Id =0. Supposons qu'il existe un polynôme annulateur de degré inférieur ou égal à d-1, de sorte que les d-1 première colonnes de N sont liées et donc aussi celles de N¢ ce qui n'est pas, de sorte que X^d-u_d-1X^d-1- ¼-u₀ est bien le polynôme minimal de A.