cu est irréductible si et seulement si V n'a pas de sous-espace stable par u
Si V a un sous-espace stable W par u, en complétant une base de W en une base de V, la matrice de u y est diagonale par bloc et son polynôme caractéristique est divisible par celui de u|W. Réciproquement si cu est de la forme PQ avec P et Q premier entre eux le lemme des noyaux décompose l'espace en une somme directe de kerP(u) et de kerQ(u). Si cu=Pr avec P irréductible, on a alors E=kerP i.e. pu=P. Si on prend x quelconque non nul, l'espace vectoriel engendre par x,u(x),u2(x),¼ est donc au plus de dimension degP (en fait on a égalité), et par hypothèse est donc égal à l'espace tout entier, i.e. r=1.