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Soit P(X) Î Q[X] et x une racine de P(X) de multiplicité strictement supérieure à (degP)/2; montrez que x Î Q.
On raisonne par récurrence sur le degré de P; le résultat est évident pour P de degré 1, supposons alors le résultat
vrai pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à n et soit P de degré n+1. On note d
=(P ÙP¢) de degré supérieur
ou égal à 1 par hypothèse car d(x)=0. Ainsi d divise P et donc P n'est pas irréductible (degd < degP). Soit
donc P=QR avec degQ et degR sont dans Q[X] de degré inférieurs à n. Par hypothèse on a vP(x)=vQ(x)+vR(x) > (n+1)/2
et donc soit vQ(x) > (degQ)/2 soit vR(x) > (degR)/2 et par hypothèse de récurrence x Î Q.
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Soit P(X)=anXn+¼+a1X+a0 un polynôme à coefficient dans Z. Montrez que si a/b
est une racine rationnelle de P alors b|an et a|a0 puis que pour tout m Î Z, (bm-a)|P(m).
- On écrit en multipliant par bn: anan+¼+a1abb-1 + a0 bn de sorte que b (resp. a)
divise anan (resp. a0bn): on conclut en disant que a et b sont pris premiers entre eux.
- Pour la deuxième partie (bX-a) est un polynôme entier irréductible car de degré 1 et de contenu 1,
qui divise P(X) de sorte qu'il existe Q(X) à coefficients entiers tel que P(X)=(bX-a)Q(X) et donc
(bm-a) divise P(m).
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Soient a,b,g,d les racines complexes de X4-2X3+aX2+bX-1; trouvez a,b pour que l'on ait a+b
=g+d et ab
=- gd et donnez les racines.
On a donc a+b+g+d
=2=2(a+b), abgd
=1=-(ab)2 de sorte que a,b (resp. g,d)
sont les racines de X2-X+i (resp. X2-X-i). En outre on a (b+a)(g+ d)+(ab+g+ d)=-a=1
et ab(g+ d)+ gd(a+ b)=b=0.
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Soient a,b,c des nombres complexes; montrez qu'une condition nécessaire et suffisante pour que les points A,B,C
du plan réel, d'affixes respectives a,b,c, forment un triangle isocèle rectangle en A, est c2+b2-2a(b+c)+2a2=0.
En déduire qu'une CNS pour que les solutions a,b,c de l'équation x3+px+q forment un triangle rectangle isocèle est 27q2-50p3=0.
Une CNS pour que ABC soit rectangle isocèle en A est b-a=±i (c-a), soit
(b-a)2+(c-a)2=0, i.e. b2+c2+2a2=2a(b+c). En outre on a a+b+c=0, abc=-q et ab+ac+bc=p. Le but est alors d'éliminer dans la
CNS a,b,c et de les remplacer par p et q; on a a2+b2+c2=(a+b+c)2-2p=-2p de sorte que la CNS s'écrit
-2p+a2=-2a2 soit 3a2=2p. Or on a a3=-pa+q ¹ 0 de sorte que la CNS s'écrit -3pa+3q=2pa, soit a=[(3q)/(5p)].
Ainsi l'équation 3a2=2p devient 27q2-50p3=0.
- Soit P un polynôme réel totalement décomposé dans R. Montrez que si z Î C alors z est réel
et est une racine multiple de P. (appliquez simplement le théorème de Rolle).
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Trouvez les solutions du système d'équations
Les relations de Newton donnent 2=s12-2s2=s13-3s2 s1+3s3=s14-4s2s12+4s3s1+2s22
soit s2=s12/2 -1 et 3 s3=2 - s13+3 s1 (s12/2 -1) et la dernière équation devient alors
s1 (s13/6 -2 s1 + 8/3)=0. Les racines de X3-12X+16 étant 2 et -4, on obtient alors s1=0,2,-4 et donc
s2=-1,1,7 et s3=2,0,-6. Les triplets (x,y,z) sont alors les racines des polynômes
X3-X-2, X3-2X2+X, X3+4X2+7X+6.
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Soient a1,¼,an des nombres strictement positifs; montrez que (a1 ¼an)1/n £ [(a1+¼+an)/(n)]
et déterminez tous les polynômes à coefficients 1,-1,0 ayant toutes leurs racines réelles.
L'inégalité proposée découle directement de la concavité du logarithme
[(lna1 + ¼+ lnan)/(n)] £ ln[( a1 + ¼+ an)/(n)]. On applique cette inégalité aux carrés des racines de
P(X)=Xn- s1 Xn-1 + ¼+ (-1)n sn, soit (sn2)1/n £ [(s12-2s2)/(n)] £ 3/n,
soit n £ 3. Une inspection cas par cas donne X ±1, X2 ±X -1, X3+X2 -X -1 et X3-X2-X +1.
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Soit P(X)=ad Xd+ ¼+a0 Î C[X] avec ad ¹ 0. Montrez que si a est une racine de P, on a
|a| £ M:= |
sup
0 £ i < d
|
(d |
|ai|
|ad|
|
)[1/(d-i)] |
|
Soit z Î C tel que |z| > M alors, pour 0 £ i < d, on a
|ai| < [(|ad|)/(d)] |z|d-i et donc |ad-1 zd-1+ ¼+a0| < |ad zd| soit P(z) ¹ 0.
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Soient P et Q deux polynômes non constants de C[X] tels que l'ensemble des racines de P
(resp. P-1) soit égal à l'ensemble des racines de Q (resp. Q-1). Montrez que P=Q
Soit R=P-Q, on a degR £ n et on va montrer que R a plus de n+1 racines ce qui impliquera
que R est nul. Par hypothèse R s'annule sur les racines de P et de P-1. Le nombre de racines distinctes de
P est égal à degP - degP ÙP¢. Or comme P et P-1 sont premier entre eux, P ÙP¢ et (P-1)ÙP¢ sont deux diviseurs distincts de P¢ de sorte que degP ÙP¢+ deg(P-1) ÙP¢ £ n-1. Il
en résulte que R s'annule sur plus de 2n-(n-1)=n+1 racines distinctes.
- On considère le polynôme X14-7.13.X2-14.6X-13.6. Que pouvez vous dire du nombre de racines réelles
positives et négatives de ce polynôme en utilisant la règle de Descartes puis celle de Sturm.
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On considère la courbe paramétrée x(t)=t2+t+1, y=[(t2-1)/(t2+1)]. En donner une équation algébrique.
L'équation algébrique est donnée par le résultant
des polynômes à coefficient dans Q[x,y], t2+t+1-x et t2-1-y(t2+1), soit
soit y2x2-2yx2+(y+x)2-2x+3=0.
- Montrez que les racines sont continues en le polynômes.
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Montrez que l'ensemble des matrices complexe à valeurs propres distinctes, est un ouvert connexe
de l'ensemble des matrices.
- Soit A une matrice possédant n valeurs propres distinctes de sorte que son polynôme caractéristique est scindé à racines simples. D'après la continuité du polynôme caractéristique et de celle des racines d'un
polynôme, on en déduit que pour tout A¢ proche de A, le polynôme caractéristique de A¢ possède, sur C, n
racines distinctes. (Si A et A¢ sont réelles, alors leurs racines le sont aussi: pour A c'est vrai par hypothèse, pour A¢, ses racines sont complexes conjuguées et proches de celles de cA, on conclut en remarquant que ces dernières sont simples.)
- On rappelle que GLn(C) est connexe car c'est le complémentaire des zéros du déterminant qui est un
polynôme en n2 variables. Explicitement étant données P1,P2 deux matrices inversibles, on
considère le polynôme det(P1z+(1-z)P2). Le complémentaire de l'ensemble (fini) des zéros de ce polynôme est
connexe; on considère alors un chemin qui relie 0 à 1 dans ce complémentaire, ce qui fournit un chemin de P1
à P2 dans GLn(C).
- En ce qui concerne les matrices à valeurs propres distinctes, c'est le
complémentaire des zéros du polynôme en n2 variable définit comme le discriminant du polynôme caractéristique.
Explicitement on procède comme ci-dessus.
- Calculer le discriminant du polynôme P(X) = X3 + pX + q
(i) En appliquant la définition.
(ii) En calculant la suite de Sturm S(P,P¢).
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Calculer le résultant RY(P,Q) des polynômes PX(Y)=X2-XY+Y2-1 et QX(Y)=2X2+Y2-Y-2 considérés
comme des éléments de R[X][Y], i.e. comme des polynômes en Y à coefficients dans R[X]. Trouver alors
les points d'intersections des ellipses d'équations P=0 et Q=0.
- On considère donc PX(Y) et QX(Y) comme des
polynômes à coefficients dans C[X]. Le résultant est alors donné par le déterminant
Un calcul aisé nous donne alors 3X(X2-1)(X-1).
- Les points d'intersection cherchés ont pour abscisse 0,1 et -1 ce qui donne, en calculant Y, les points
(0,-1), (1,0), (1,1) et (-1,0), soit 4 points réels (pour rappel le théorème de Bezout donne 4
points à priori complexe dans le plan projectif).
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Soient A et B deux polynômes de K[X] où K est un corps. Fabriquez un polynôme dont les racines
sont les sommes d'une racine de A et d'une racine de B (on réfléchira à quels sont les Y solutions du
système A(X)=B(Y-X)=0). Construisez un polynôme à coefficients entiers qui possède Ö2 + 3Ö{7} pour racine.
- (i) Le système en d'équations A(X)=B(Y-X)=0
possède comme solutions les couples (xa,xb+xa) où xa (resp. xb) décrit les solutions de A(X)=0
(resp. B(X)=0). On considère alors les polynômes A(X) et B(Y-X) comme des polynômes à valeurs dans
K[Y] et on introduit leur résultant qui est un polynôme en Y dont les zéros sont d'après ce qui précède,
exactement les sommes des zéros de A avec ceux de B.
- (ii) Appliquons ce qui précède à A(X)=X2-2 et B(X)=X3-7. Le résultant en question est donné par le
déterminant
soit après calcul
Y6-6Y4-14Y3+12Y2-84Y+41.