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Montrez qu'une matrice complexe M est semblable à une matrice réelle si et seulement si elle est
semblable à sa conjuguée.
Notons déjà qu'une matrice M est semblable à une matrice réelle si et seulement si pour toute
racine complexe
l de son polynôme caractéristique réel, l'ensemble des blocs de Jordan relativement à l
sont en bijection avec celui relativement à [`(l)]. Dans le sens direct c'est clair, réciproquement
on notera que (
) où A,B
sont des matrices réelles, est semblable à la matrice réelle
(
). Le résultat découle alors directement
de la description des classes de similitude complexe via les blocs de Jordan.
- Montrez que le rang classifie les classes de congruence des matrices
symétriques complexes.
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Montrez que si un ouvert de Mn(C) contient les matrices diagonales et est stable par similitude, alors il est égal
à Mn(C) tout entier.
Soit F le fermé complémentaire; s'il était non vide il contiendrait une matrice M=S+N, sa décomposition
de Dunford, et contiendrait aussi sa partie semi-simple S, laquelle est dans l'adhérence de la classe de
similitude de M, d'où la contradiction.
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Montrez que sur C (resp. sur R) l'ensemble des matrices de rang r £ n (resp. r < n)
est connexe et son adhérence est l'ensemble des matrices de rang inférieur ou égale à r (resp. vraie aussi
pour r=n)
- Sur C on a une surjection GLn(C)2 sur l'ensemble des matrices de rang r: on envoie
(P,Q) sur P Ir Q où Ir est la matrice diagonale dont les r premiers termes sont égaux à 1, les autres étant nuls. La conclusion découle de la connexité de GLn(C). Sur R, pour r < n, on remarque que PIrQ=P¢IrQ=PIrQ¢=P¢IrQ¢, où P¢ (resp. Q¢) est obtenue à partir de P en multipliant sa dernière ligne (resp. colonne) par -1 de sorte que parmi P,P¢ (resp. Q,Q¢) une exactement appartient à GLn(R)+ qui
est connexe. On rappelle par ailleurs que GLn(R) n'est pas connexe; ses composantes connexes étant
GLn(R)±.
- En ce qui concerne l'adhérence, on note que diag(e1,¼,er,0,¼,0) est équivalente à Ir
puisque de même rang, de sorte que l'adhérence contient l'ensemble des matrices de rang inférieur ou égal à r. Par
ailleurs ce dernier ensemble est fermé puisqu'il correspond à l'annulation de tous les mineures d'ordre r+1.
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Montrez que sur C, toute classe de similitude contient une matrice symétrique et que sur R,
pour qu'une classe de similitude contienne des matrices symétriques, il faut et il suffit qu'elle
contienne une matrice diagonale.
- Sur C, en utilisant la théorie de la réduction, on est ramené au cas d'un bloc de Jordan Jn.
Il s'agit donc de trouver P telle que PJnP-1=\scriptspace t P-1 \scriptspace t Jn \scriptspace t P ou encore
(\scriptspace P P)Jn (\scriptspace t P P)-1=\scriptspace t Jn. Quand P varie, les matrices \scriptspace t PP décrivent
toutes les matrices symétriques inversibles (en effet le rang classifie les classes de congruence des matrices
symétriques complexes). On est ainsi ramené à trouver une matrice symétrique inversible qui conjugue Jn
et sa transposée et on vérifie que la matrice co-unité convient, i.e. celle dont les seuls coefficients non nuls
ceux de la co-diagonale qui valent 1.
- Sur R, les matrices symétriques réelles étant diagonalisables, la condition est nécessaire; la réciproque
est triviale. Ainsi la classe de similitude est fermée et son intersection avec l'ensemble des matrices
symétriques est alors une orbite sous l'action de SO(n) d'où le résultat.
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Montrez que deux matrices réelles unitairement semblables sont orthogonalement semblables.
On a A=UBU-1 et \scriptspace t A=U \scriptspace t B U-1. On rappelle que deux matrices réelles qui sont semblables sur C sont semblables sur C. Il existe donc P Î GLn(R) telle que A=PBP-1 et \scriptspace t A=P \scriptspace t B P-1. Soit P=OS la décomposition polaire de P et A=OSB-1 B-1 o-1. Le résultat découle alors du fait que B et S commutent: en effet on a PBP-1=A=\scriptspace t ( \scriptspace t A)=\scriptspace t P-1 B \scriptspace t P. Ainsi B commute avec \scriptspace t P P donc aussi avec S qui est un polynôme en \scriptspace t PP.
Remarque: Comme application, on pourra en déduire la réduction des isométries, à partir de la diagonalisation des endomorphismes unitaires.
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Montrez que toute orbite sous le groupe unitaire contient une matrice triangulaire, celles qui contiennent des
matrices diagonales sont les orbites des matrices normales
Pour une matrice complexe M, on choisit par le procédé de Gramm-Schmidt, dans un drapeau complet
stable une base adaptée orthonormée ce qui fournit une matrice de passage unitaire P telle que PMP*
soit triangulaire. Si celle-ci est diagonale alors M=P*DP et donc M*=P*D*P commute avec M
car D* et D commutent: ainsi M est normale. Réciproquement si M est normale alors elle est diagonalisable
en base orthonormée.
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Quelles sont les classes de similitudes bornées?
- En conjuguant M par In+lEi,j on obtient
(In+lEi,j) M (In-lEi,j)=M+l(Ei,jM-MEi,j)+l2 Ei,jMEi,j |
|
- L'orbite étant bornée, il faut en particulier que Ei,jMEi,j=mi,j Ei,j soit nul et donc que M
soit diagonale ainsi que toutes les matrices de son orbite. Or les matrices diagonales d'une même classe de
similitude sont en nombre fini (sur la diagonale, on trouve les valeurs propres) de sorte que l'orbite est finie,
comme elle est connexe, elle est alors réduite à un point.
- Si on ne veut pas évoquer la connexité, on regarde pour T triangulaire inférieure ou supérieure, TDT-1=D
de sorte que D commute avec toutes les triangulaires et donc avec leurs sommes et donc D est dans le centre
ce qui donne D scalaire.
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Montrez que si une classe de similitude de Mn(C) n'est constituée que de matrices normales,
elle est alors réduite à un seul élément. Même question si on suppose que la classe de similitude ne contient
qu'un nombre fini de matrices normales.
- Deux matrices normales sont semblables si et seulement si
elles ont même polynôme caractéristique, elle sont alors unitairement semblables de sorte que la classe
de similitude est bornée, on applique alors l'exercice précédent.
- De la connexité de U(n) on en déduit que l'ensemble des matrices normales dans une classe de conjugaison est
connexe de sorte que s'il est fini il est réduit à un unique élément qui commute avec U(n) et qui
est donc scalaire.
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Montrez que deux matrices sont unitairement
équivalentes si et seulement si elles ont les mêmes valeurs singulières
Le sens direct découle de PAP*=B, PA*P*=B* soit PAA*P*=BB*.
Réciproquement, la décomposition polaire donne A=HAUA, B=HBUB avec HA,HB hermitiennes
définies positives, et UA,UB unitaires. On a donc AA*=HAHA* et BB*=HBHB*. Les matrices
HA,HB sont diagonalisables de sorte que si AA* et BB* ont même valeurs propres alors les valeurs
propres de HA sont égales à celles de HB au signe près, soit HA=PADPA* et HB=PB DD¢PB* avec
D¢=diag(e1,¼,en) où les ei sont égaux à ±1 de sorte que D¢ est unitaire.
On a donc D=PB*UB*BPB D¢ et A=UAPAPB*UB*BPB D¢PA* d'où le résultat.
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Soit M=S+N la décomposition de Dunford de M en semi-simple plus nilpotent. Montrez que S est dans
l'adhérence de la classe de similitude de M.
Cela découle simplement du fait que 0 est dans l'adhérence de la classe de similitude de N.
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Montrez que sur un corps algébriquement clos, deux matrices A et B sont semblables si et seulement si, pour
tout l Î K et pour tout k ³ 0, on a rg(A-lI)k=rg(B- lI)k.
A partir de la forme de Jordan, on rappelle que pour k ³ 1,
dk(A):=dimker(A-lI)k - dimker(A-l)k-1 est égal au nombre de bloc Jordan pour la
valeur propre l qui sont de taille plus grande que k. D'après le théorème du rang, pour tout k ³ 1, on a dk(A)=dk(B) de sorte que A et B ont les mêmes réduites de Jordan et sont donc
semblables.