Pascal BOYERMaître de conférence à l'université Pierre et Marie Curie Paris 6.Chercheur à l'Institut de Mathématiques de Jussieu , Projet Formes automorphes . | Institut de Mathématiques de Jussieu
UMR 7539 175, rue du Chevaleret 75013 Paris |
Sous-espaces stables d'un endomorphisme d'un |
espace vectoriel de dimension finie. Applications |
Remarque d'ordre général: il ne s'agit pas de faire la leçon Réduction des endomorphismes, il faut donc éviter de donner tout ce que vous savez sur le sujet. La leçon et tous les résultats que vous donnerez doivent l'être sous l'optique des sous-espaces stables. Dans l'idéal, il faut partir de la problématique: les sous-espaces stables quels sont-ils? Comment les trouver tous? Quels sont les endomorphismes dont l'ensemble des sous-espaces stables vérifie telle propriétés?... A mon avis, il faut dès le début préciser les notions que l'on suppose connues (rapport endomorphismes-matrices, notions de valeurs propres, polynôme caractéristique, polynôme minimal, espaces caractéristiques et plus généralement admettre toute la théorie de la réduction générale) afin de se concentrer sur le sujet. C'est donc a vous de bien préciser les choses.
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Si V a un sous-espace stable W par u, en complétant une base de W en une base de V, la matrice de u y est diagonale par bloc et son polynôme caractéristique est divisible par celui de u|W. Réciproquement si cu est de la forme PQ avec P et Q premier entre eux le lemme des noyaux décompose l'espace en une somme directe de kerP(u) et de kerQ(u). Si cu=Pr avec P irréductible, on a alors E=kerP i.e. pu=P. Si on prend x quelconque non nul, l'espace vectoriel engendre par x,u(x),u2(x),¼ est donc au plus de dimension degP (en fait on a égalité), et par hypothèse est donc égal à l'espace tout entier, i.e. r=1.
On se place évidemment sur un corps infini. Il faut déjà que les sous-espaces propres soient de dimension 1 sinon, il y aurait une infinité de droite dans un de ces sous-espaces propres, qui sont bien évidemment stables. Les sous-espaces propres étant de dimension 1, on en déduit que l'endomorphisme est cyclique (c'est vrai sur chaque sous-espace caractéristique, on applique ensuite le théorème chinois). L'espace muni de la structure de K[X]-module induite par u, est alors isomorphe à K[X]/(P(X)) et les sous-espaces stables sont en bijection avec les diviseurs de P.
On peut déjà remarquer que les kerP(u) et ImP(u) décrivent un ensemble fini de sous-espaces: en effet si P est premier avec le polynôme minimal de u alors kerP(u)=(0) et ImP(u)=E. Comme dans la question précédente, il faut que les sous-espaces propres soient de dimension 1, et alors l'espace étant cyclique, les sous-espaces stables seront les kerQ(X)=Im[(P(X))/(Q(X))].
Pensez au sous-groupe d'un groupe cyclique.
On identifie les supplémentaires de F dans E avec les sections s de la surjection canonique p:E ® E/F. L'espace affine des supplémentaires de F dans E est alors l'ensemble des solutions de l'équation linéaire avec second membre p°s=IdE/F. La direction de cet espace affine est donc l'ensemble des s tel que p°s=0 soit donc l'ensemble des s¢:E/F ® F.
Un tel supplémentaire sera alors stable si et seulement si s °[`(u)]-u °s=0. La direction est alors l'intersection des deux espaces vectoriels: p°s=0 et s °[`(u)]-u °s=0, soit le sous-espace de homK(E/F,F) des s tels que s °[`(u)]-u|F °s=0.
L'identité, les retournements et les réflexions sont diagonalisables; on connaît alors la "liste" de leurs sous-espaces stables. En particulier on ne peut pas distinguer les retournements des réflexions. En ce qui concerne une rotation générique, elle est semi-simple et ne possède qu'une seule droite propre et donc aussi un seul plan propre (comme elle est semi-simple un plan propre possède un supplémentaire stable qui est donc l'unique droite propre et qui est en plus orthogonal au plan stable).
Soit E un sous-espace stable et soit i tel que Vi Ì E \nsubseteqq Vi+1. Supposons que E ¹ Vi et soit x Î (Vi+1 \Vi) ÇE et soit y Î Vi+1 \(Vi ÈE). Il existe alors g Î PW tel que g|Vi=Id et g(x)=y. Or comme E est stable, on a y Î E d'où la contradiction.