Caractères à valeurs dans le centre de Bernstein.
J. reine angew. Math. 508 ; 61-83 (1999). pdf dvi
On étudie l'action du centre de Bernstein Z sur une représentation
projective de type fini, disons P, d'un groupe p-adique
G. On sait qu'en réduisant P modulo un caractère de Z, on
obtient une représentation de longueur finie. On
commence par décrire l'image de cette réduction dans le groupe de Grothendieck
correspondant, au moins pour un caractère
générique. Sous une hypothèse de régularité de
Z, on décrit cette image pour tout caractère au moyen
d'une "trace à valeurs dans Z". Dans le cas du module
universel de Serre, on en déduit une compatibilité
entre l'isomorphisme de Satake et la description par
Bernstein du centre de l'algèbre de Hecke-Iwahori.
Cette compatibilité est souvent utilisée par
les gens qui travaillent sur la mauvaise reduction des
variétés de Shimura en
niveau Iwahori (voir par exemple Haines, Manuscripta
Math. 101 (2000), no. 2, 167--174, qui cite
aussi une preuve (probablement plus générale et
satisfaisante) de Lusztig de cette compatibilité).
Il devrait y avoir un "analogue" (satisfaisant certaines
propriétés précisées dans le texte) du module universel pour chaque
bloc de Bernstein. On le vérifie pour GL(n) au moyen
des types de Bushnell-Kutzko.
Par ailleurs, lorsque Z n'est pas régulier, on peut encore
utiliser des
techniques Cohen-Macaulay comme dans Bernstein, Braverman,
Gaitsgory, The Cohen-Macaulay property of the
category of $(\germ g,K)$-modules. Selecta
Math. (N.S.) 3 (1997), no. 3, 303--314.
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On the K0 of a p-adic group. Invent. Math. 140 (1)
; 171-226 (2000). pdf dvi
Cet article fait du précédent la partie émérgée d'un
iceberg. On étudie en détail trois linéarisations de
la catégorie des représentations lisses : les
groupes de Grothendieck K_0, resp. R, des objets de type
fini, resp. de longueur finie, et le HH_0 (cohomologie
de Hochschild encore appelé "cocentre"). Le
résultat principal est une description du K_0 en
termes de séries discrètes de sous-groupes de Levi
qui a un joli comportement vis-à-vis de l'induction
parabolique. On obtient une description similaire pour
le HH_0 et l'application Rang de Hattori prend une forme
agréable. Nous suivons une très belle idée de
Bernstein, qui est de comparer deux filtrations
naturelles sur ces objets, l'une de nature combinatoire
liée à l'induction parabolique, et l'autre de nature
topologique liée à la variété
des caractères infinitésimaux. La filtration combinatoire se retrouve aussi dans
divers objets usuels de la théorie, comme le groupe R,
les classes de conjugaison semi-simples, et toutes les
relations entre ces objets s'avèrent compatibles à
ces filtrations.
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Une preuve courte du principe de Selberg abstrait pour un
groupe p-adique.
Proc. Amer. Math. Soc. 129 (4) ; 1213-1217 (2001) pdf dvi
Le principe de Selberg "abstrait" pour un groupe p-adique est l'annulation
des intégrales orbitales en des éléments
non-compacts de la "trace" d'une représentation
lisse projective de type fini. Il y a au moins 3
preuves de ce principe (!). La première
chronologiquement est dûe à
Blanc et Brylinski dans Cyclic homology and the
Selberg principle. J. Funct. Anal. 109 (1992),
no. 2, 289--330, la plus conceptuelle
est dûe à Peter Schneider dans The cyclic
homology of $p$-adic reductive
groups. J. Reine Angew. Math. 475 (1996),
39--54, et nous prétendons
que celle-ci est la plus courte...
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Quelques propriétés des idempotents centraux
des groupes p-adiques.
J. reine angew. Math. 504 ; 69-103 (2004). pdf dvi
Pour un groupe fini G, on sait décrire depuis longtemps les
idempotents centraux primitifs de son algèbre de
groupe C[G] : ils sont en bijection
avec les représentations irréductibles et on a une
formule explicite en termes du caractère de ces
représentations.
Pour un groupe p-adique G, Bernstein a donné une description spectrale
des idempotents centraux primitifs de l'algèbre de
Hecke de G (complétée). Par ailleurs, le théorème
de Plancherel-Harish Chandra permet d'en donner
des formules (en terme de distributions
invariantes), mais elles recèlent encore
des termes mysterieux, les fonctions mu de Harish Chandra, gênant les
applications. On démontre ici une nouvelle formule
pour ces idempotents, en partant de l'étude
K-théorique des deux
articles précédents.
En guise d'application, on se propose de chercher les dénominateurs qui
apparaissent dans ces formules ; pour un groupe
fini, il est bien connu que ces dénominateurs
divisent l'ordre du groupe.
Nous montrons que l'assertion correspondante pour un groupe p-adique
est équivalente au problème classique de
K-théorie qui consiste à montrer que la
K-théorie des sous-groupes compacts de G engendre
celle de G (apres éventuellement localisation
raisonnable des scalaires). Nous montrons cette
propriété pour GL(N) en utilisant les
types de Bushnell-Kutzko et leurs développements
par Schneider-Zink.
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Types et inductions pour les représentations modulaires de groupes p-adiques.
Ann. Scient. Éc. Norm. Sup, 32 (1) ; 1-38 (1999). pdf dvi
Pour les représentations lisses à coefficients complexes
d'un groupe p-adique G, Bushnell et Kutzko ont formalisé
dans Smooth representations of reductive $p$-adic
groups: structure theory via types. Proc. London
Math. Soc. (3) 77 (1998) une notion de type pour un
bloc de
Bernstein. Il s'agit en gros d'une paire (J,t) formée d'un
sous-groupe compact ouvert et d'une de ses représentations
irréductibles et dont l'induite à supports compacts est un
progénérateur du bloc de Bernstein en question. Ils ont de
plus introduit la notion de paire couvrante qui permet de
construire un type (J,t) pour un bloc paraboliquement induit
depuis un Levi M a partir d'un type (J(M),t(M)) du bloc
de M correspondant. Une conséquence (formelle) parmi
d'autres est l'existence
d'un isomorphisme entre l'induite à supports compacts du
type (J,t) et l'induite parabolique de l'induite à
supports compacts du type (J(M),t(M)).
Pour les représentations modulo l (différent de p), la notion de
bloc de Bernstein n'existe en general plus, mais la
notion de paire couvrante fait toujours sens. On s'est
attache dans cet article à trouver des conditions
suffisantes pour garder l'existence d'un isomorphisme entre
les deux induites comme ci-dessus. Une des motivations
était le sentiment que ce devait être un ingrédient essentiel vers
la résolution de questions importantes de finitude
des représentations modulaires. Ceci est confirmé par le huitième article
ci-dessous.
Signalons que certains résultats de cet article ont été
améliorés et largement simplifiés par Corinne Blondel
dans Quelques propriétés des paires couvrantes,
pdf .
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Nu-tempered representations of p-adic groups I : l-adic case.
Duke Math. J. 126 (3) ; 397-469 (2005).
pdf dvi
Dans cet article et le suivant on étudie des représentations
lisses à coefficients dans un corps muni d'une
norme non-archimédienne . Remarquons que
dans le cas particulier d'un corps l-adique ou
p-adique, de
telles représentations apparaissent naturellement
dans la cohomologie d'espaces
adequates. On s'intéresse alors au comportement
asymptotique des coefficients des admissibles ; comme
dans le cas complexe, on a des tempérées
et des discrètes et un théorème du
quotient de Langlands. Cependant,
la théorie est vraiment différente
selon que |p| vaut 1 ou non.
Dans ce papier, on étudie le cas |p|=1. Les applications principales
concernent les représentations modulaires (à
coefficients de caractéristique positive) et
notamment les questions de réductibilité de
l'induction parabolique. On prouve
l'irréductibilité générique pour les
familles d'induites et on introduit un analogue de
la fonction mu de Harish Chandra qui permet de
détecter, en corang 1, les induites paraboliques
qui possèdent un sous-quotient cuspidal. On
prouve aussi quelques propriétés de
relèvement des représentations de la
caractéristique positive à la
caractéristique nulle.
Il y a aussi un paragraphe d'intéret indépendant sur le
formalisme des opérateurs d'entrelacement
lorsqu'on travaille sur un anneau de coefficients.
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Représentations lisses p-tempérées des groupes p-adiques. (2006, 21 pages). pdf dvi
Ce papier fait suite au précédent en étudiant le cas |p|<1. Ici
les applications concernent les structures
entières. Pour un groupe général, on classifie les
représentations "localement entières" en termes
de leur paramètre de Langlands p-adique. Pour les groupes classiques, on les classifie par leur support
cuspidal : une irréductible est localement entière si et seulement si son support cuspidal est dans un certain
affinoide explicite du spectre de Bernstein. On conjecture que ces
représentations sont entières, i.e. admettent un
réseau G-stable.
Par ailleurs, on définit une algèbre de Schwartz-Harish Chandra p-adique pour laquelle on
montre dans quelques cas particuliers l'existence d'une formule de Plancherel.
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Finitude pour les représentations lisses des groupes p-adiques.
(2006, 44 pages).
pdf dvi
On s'intéresse à des questions fondamentales de finitude pour la catégorie des
représentations lisses d'un groupe p-adique à
valeurs dans un anneau commutatif R où p est
inversible. Le but principal est de prouver la
noetheriannité des algèbres de Hecke lorsque R
est noetherien. Pour cela on montre d'abord, en
utilisant le papier a Duke qu'il suffit d'établir la seconde
adjonction de Bernstein récursivement pour tous
les paraboliques de tous les Levis de G. Puis on
introduit un nouvel outil baptisé induction
parahorique, qui relie les représentation du
fixateur d'un point de l'immeuble d'un Levi avec
les représentations de son fixateur dans G. Cet
outil, couplé avec la théorie des types
semi-simples de Stevens permet de prouver la
seconde adjonction pour les groupes classiques.
Cela devrait aussi fonctionner dans un contexte "modéré" en
utilisant les constructions de Yu, et, dans le cas
général, fournit quelques cas particuliers :
séries principales, niveau 0.
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Integral structures in Bernstein's center. À reprendre. dvi
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Espaces symétriques de Drinfeld et correspondance de Langlands locale.
Ann. Scient. Éc. Norm. Sup, 39 (1) ; 1-74 (2006) pdf dvi
On étudie l'action de Galois sur le complexe de cohomologie
équivariant des espaces symétriques de Drinfeld et
on montre comment celui-ci "contient" la
correspondance de Langlands locale pour les
représentations "elliptiques principales", qui par
définition sont les sous-quotients de la
représentation régulière sur la variété des
drapeaux de G. L'utilisation d'un formalisme
dérivé est ici fondamental car l'action de Galois
sur la cohomologie est pauvre (via des caractères)
et l'action de G se fait par des elliptiques très
particulières (par Schneider-Stuhler). Les
principales étapes de la stratégie sont :
1- prouver (observer) que le complexe est
cohomologiquement scindé, 2- calculer tous les Ext
et Cup-produits entre séries principales elliptiques
et en particulier obtenir une description explicite de
l'algèbre des endomorphismes du complexe, 3- prouver
que l'action de l'inertie est unipotente donc donnée
par un endomorphisme nilpotent N, 4- prouver que
l'ordre de nilpotence de N est d (dimension), ce qui
suffit à le déterminer explicitement. Pour prouver
cette estimation, on applique une version de la suite
spectrale de Rapoport-Zink à certains quotients
(non-algébrisables) de l'espace symétrique. Au
cours de notre travail on obtient une nouvelle preuve
de la conjecture monodromie-poids de Deligne pour les
variétés uniformisées par les espaces de
Drinfeld, et on donne aussi un nouveau calcul de la
cohomologie de ces espaces.
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Théorie de Lubin-Tate non-abélienne et représentations elliptiques.
À paraitre à Invent. Math., 54 pages. pdf dvi
On s'intéresse aux tours de Lubin-Tate et Drinfeld, surlesquelles
agissent
GL(d), les inversibles de l'algèbre à
division d'invariant 1/d, et le groupe de Weil.
Dans le cas Lubin-Tate, Harris et Taylor ont prouvé que la
cohomologie réalise à la fois les
correspondances de Langlands et Jacquet-Langlands
pour les supercuspidales .
Récemment, Boyer a calculé toute la cohomologie et montré deux
défauts : d'une part les représentations qui
apparaissent sont d'une forme très particulière,
d'autre part la correspondance de Langlands n'est pas
réalisée dans la cohomologie. Dans ce papier, on
définit et étudie un complexe de cohomologie
dans une catégorie dérivée convenable et on
montre comment il permet de réaliser Langlands et
Jacquet-Langlands pour toutes les représentations
elliptiques . En transférant ceci à
la tour de Drinfeld via les techniques de Faltings
et Fargues, on en déduit la conjecture
monodromie-poids pour les variétés
uniformisées par les revetements des espaces
symétriques de Drinfeld. Ceci achève en
particulier le calcul du facteur L local de
certaines variétés de Shimura en une place de
mauvaise réduction.
Pour étudier le complexe de cohomolgie, on le scinde d'abord selon
l'action de l'algèbre à division, puis on
étudie chaque morceau suivant la m\^eme
stratégie que dans l'article précédent. La
différence essentielle concerne l'étape 4 :
pour estimer l'ordre de nilpotence de la
monodromie, on utilise la description par Boyer de la suite
spectrale de monodromie des cycles évanescents
des variétés de Shimura étudiées par Harris-Taylor.