Compléments et questions de lecteurs

Le fabuleux destin de √2 par Benoît Rittaud éditions Le Pommier, 2006 (451 pages, 29 €, disponible en librairie)

• En musique, l'intervalle fondé sur le rapport √2 porte le nom de "triton". Le "comité de Triton" a été fondé au début du XX^è siècle par le musicien Pierre-Octave Ferroud, qui trouvait cet intervalle intéressant (voir Robert Bernard, Histoire de la musique, Fernand Nathan, 1961). À l'époque médiévale, le triton correspondait à la "quarte augmentée", qui ne correspondait pas exactement à √2 (les intervalles musicaux de l'époque étant toujours rationnels) même s'il en était assez proche. Parce que la quarte augmentée semblait assez dissonante et difficile à insérer dans une œuvre, on l'appelait "Diabolus in musica". À l'instar du nombre d'or, le Diabolus in musica semble être à l'origine de quelques histoires pas toutes dignes de foi : merci d'avance à tout lecteur qui se donnera la peine de m'indiquer des références sérieuses sur le sujet (s'il y a lieu d'en dire quelque chose).

• Deux articles de George Marsaglia, de l'université d'état de Floride, parus dans la revue électronique InterStat s'intéressent à la répartition statistique des chiffres de √2 et d'autres nombres (comme π), en octobre 2005 (#5) et janvier 2006 (#1).

• À la page 337, il est indiqué un développement en fraction continue ascendante de √2 qui contient un signe "–" avant la fraction de dénominateur 6. Ce signe "–" est très pratique, c'est grâce à lui que les quotients partiels ascendants s'expriment sous une forme simple. Simon Plouffe, de l'université du Québec à Montréal, s'est posé la question suivante : que se passe-t-il si l'on ne s'autorise que des signes + ? Eh bien... aucun schéma ne semble émerger des quotients partiels ascendants que l'on obtient. Des multiples variantes que l'on peut imaginer (par exemple écrire √2 comme somme de fractions de la forme 1/q, en prenant à chaque fois la plus petite valeur de q qui laisse la somme inférieure à √2), aucune ne semble donner une quelconque régularité ! C'est d'autant plus dommage que ce genre de considérations fonctionne en revanche assez bien pour π et que c'est ce qui permet (algorithme "BBP", pour "Bailey-Borwein-Plouffe") de connaître la valeur du n-ième chiffre du développement binaire de π sans avoir à calculer les (n–1) précédents.

• Toujours sur les fractions continues au chapitre 19 : les propriétés de la suite 2, 6, 34, 1154... et des suites analogues pour quelques autres nombres quadratiques ont été étudiées par Waclaw Sierpinski en 1911 (voir "Sur quelques algorithmes pour développer les nombres réels en séries" in Œuvres choisies, tome 1, éditions scientifiques de Pologne, 1974).

• Sur la tablette babylonienne YBC 7289 (voir chapitre 1) : Christine Proust, de l'université Paris-7, nous indique que la forme circulaire de la tablette caractérise une tablette d'enseignement, c'est-à-dire qu'il s'agissait bien de l'œuvre d'un apprenti. Cette tablette est par ailleurs tout à fait atypique parmi celles de cette époque qui nous sont parvenues (une autre tablette atypique très célèbre étant la tablette Plimpton 322, qui donne une liste de triplets pytagoriciens).

• Le Centre de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques, à Nivelles (Belgique), a publié en 2004 un ouvrage intitulé Pour une culture mathématique accessible à tous, élaboration d'outils pédagogiques pour développer des compétences citoyennes. Coordonné par Michel Ballieu et Marie-France Guissard, cet ouvrage contient deux chapitres (14 et 20) qui s'intéressent à la notion de nombre irrationnel et plus particulièrement à la racine carrée de 2. Ces chapitres donnent une très bonne présentation alternative de divers aspects de √2 présentés dans notre propre ouvrage : la démonstration géométrique de Chrystal de l'incommensurabilité de la diagonale et du côté, les nombres diagonaux et latéraux de Théon de Smyrne, la formule de Héron, la tablette YBC 7289, la numération babylonienne, l'évaluation indienne de √2, les fractions continues, la méthode de Newton et l'extraction de racines carrées "à l'ancienne".

• Pierre Arnoux, de l'université d'Aix-Marseille-II, propose d'éclairer l'importance de la racine carrée de 2 et du nombre d'or ainsi que les relations qu'ils entretiennent (voir principalement les chapitres 23 et 24) de la façon suivante : comme tous les nombres algébriques, ces deux nombres peuvent chacun se définir comme solution d'une équation polynomiale : x² = 2 pour la première, x²–x = 1 pour le second. On appelle poids d'une équation polynomiale à coefficients entiers la somme des valeurs absolues de ses coefficients : d'une certaine façon, le poids est une mesure de la "grandeur" de cette équation (le poids est une notion utilisée depuis longtemps dans l'étude des équations algébriques). Considérons par exemple l'équation qx = p, où p et q sont des entiers positifs : son poids est donc de p+q et sa solution (unique) est le rationnel p/q. Est ainsi attaché au rationnel p/q la valeur p+q, qui sera d'autant plus petite que le rationnel est "simple" (en un sens un peu vague, lié aux différentes notions de "simplicité" des rationnels évoquées au chapitre 20). Il est facile de voir que les équations de degré 2 dont les solutions ne sont pas des rationnels sont toutes de poids au moins égal à 3. Et il n'y en a que deux qui sont de poids exactement égal à 3 : x² = 2 et x²–x = 1 (en fait, il y en a quelques autres, d'ailleurs faciles à trouver, mais qui se ramènent toutes peu ou prou à ces deux-là). Au sens de la notion de poids, la racine carrée de 2 et le nombre d'or sont donc "les premiers nombres irrationnels", et ils arrivent ex æquo.

• Jean-Marc Lévy-Leblond, de l'université de Nice, fait l'observation suivante sur la question de savoir si la racine carrée de 2 existe ou non (voir pages 71-72) : "Bien sûr que √2 existe… en tant qu'idée (et même idéalité, aurait dit Desanti). Rien là de spécifique aux mathématiques, me semble-t-il : la bonté existe-t-elle ? et la liberté ? (…) Bien sûr, la bonté est une idéalité (encore) plus abstraite que √2. Mais je crois que l'on pourrait trouver des concepts intermédiaires qui établiraient une sorte d'échelle plus ou moins continue : pens[ons] à la vérité ou, plus géométriquement, à la rectilinéarité, etc. Euclide déjà avait bien compris le caractère idéal de la notion de point !"

• Une autre interprétation géométrique de la démonstration de l'irrationalité de √2 des pages 202-203 que mentionne Henri Bareil, de l'Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public. (Nous ignorons le nom du premier auteur de cette version.) Supposons √2 = p/q et considérons un triangle ABC isocèle rectangle en A tel que AB (= AC) = q et BC = p. Soient M et N les points tels que BCMN soit un rectangle de côtés p et q. Soit enfin I (resp. J) l'intersection des droites (MN) et (AB) (resp. (AC)). Un petit raisonnement sur les angles dans le quadrilatère ACMI montre que, dans le triangle AMI, les angles en A et en M sont égaux. On en déduit que IA = IM. De même, par symétrie, ces longueurs sont aussi égales à JA et à JN. On désigne par a cette longueur. Dans le triangle BIN, l'angle en B est un demi-droit et l'angle en N un droit : ce triangle est donc isocèle en N, on a donc BI/BN = √2 = p/q. En écrivant BI = BA+AI = q+a, il vient (q+a)/q = p/q, donc a = p–q, et donc a est une valeur entière. Dans le triangle isocèle rectangle AIJ, les côtés AI et AJ sont donc de longueur entière. Or la longueur IJ, égale à p–2a, l'est elle aussi. Partis d'un triangle isocèle rectangle ABC à côtés entiers, nous en avons construit un nouveau, AIJ, strictement plus petit ce qui, par descente infinie, conduit à une contradiction. L'hypothèse selon laquelle √2 est rationnelle est donc invalidée.

• Une page a été créée sur l'encyclopédie libre Wikipédia sur la racine carrée de 2 (à consulter avec la prudence qui s'impose, en raison du caractère libre de cette encyclopédie).

• Marc Frisch, de l'université Paris-XIII, nous signale à propos de l'utilisation éventuelle de la gamme à tempérament égal chez Jean-Sébastien Bach (page 181) qu'il s'agit là sans doute d'un contresens. Bien que souvent évoquée, la possibilité que la "gamme bien tempérée" que Bach a utilisée ne soit pas la gamme à tempérament égale (celle construite à partir de ¹²√2), mais une autre gamme. Un article de 2006 paru dans une revue spécialisée (dont les références exactes seront mises en ligne dès que possible) a récemment proposé une interprétation d'un frontispice qui pourrait donner une explication plus simple et plus logique de la façon dont Bach construisait sa gamme.

• Éric Touzalin, du collège Henri Becquerel (Avoine, Indre-et-Loire), s'est intéressé aux triplets pythagoriciens de la forme (p, p+1, q), c'est-à-dire à l'ensemble des paires d'entiers p et q tels que p²+(p+1)² =q².  Ces triplets sont, dans l'ordre croissant : 3²+4² = 5², 20²+21² = 29², 119²+120² = 169², 696²+697² = 985², etc. Il est intéressant de remarquer que la suite des q (1, 5, 29, 169, 985,…) est composée d'un dénominateur sur deux des réduites du développement en fraction continue de √2. (Cette suite porte le numéro A001653 dans l'encyclopédie des suites d'entiers, qui recense cette intéressante propriété ainsi que d'autres.)

• Le flocon de neige de Von Koch est l'un des exemples les plus classiques et les plus simples de courbe fractale. Pour la construire, on part d'un triangle équilatéral. Le tiers central de chaque arête du triangle est alors la base d'un nouveau triangle équilatéral (trois fois plus petit que le triangle initial, donc). On répète le procédé sur chacun des douze segments du bord extérieur de la nouvelle figure (le tiers central de chaque segment sert de base à un nouveau triangle équilatéral), et ainsi de suite : la courbe "limite" obtenue est le flocon construit par Niels Von Koch en 1904.
  
  Il existe bien entendu beaucoup de variantes du flocon de Von Koch. Robert Ferréol, du lycée Carnot (Paris) a imaginé la variante suivante. On part d'un carré initial de côté 1, que l'on tourne d'un huitième de tour autour de son centre. Chacune des huit "pointes" ainsi obtenues est considérée comme  le début d'un carré, que l'on tourne à son tour d'un huitième de tour autour de son centre, et ainsi de suite : le résultat est une courbe limite voisine de celle de Von Koch.
  
  En rognant les carrés plutôt qu'en leur adjoignant de nouveaux morceaux, on obtient une version "en croix".
  
  (NB : tous ces dessins sont de Robert Ferréol ; on peut retrouver le flocon de Von Koch sur le site des courbes remarquables dont il est l'auteur (cliquer ici pour accéder directement à la page concernant le flocon).)
  Un simple calcul permet d'obtenir les caractéristiques de base de ces courbes, qui font apparaître la racine carrée de 2. (Les calculs suivants sont donnés sous réserve.) L'aire totale englobée par celle en flocon est de (1+√2)/2, celle englobée par la croix est de (3–√2)/2 (notons que la somme des deux aires est égale à 2, une propriété que l'on peut démontrer par ailleurs en construisant simultanément un flocon et une croix et en remarquant qu'à chaque fois qu'un morceau est ajouté pour faire le flocon, un morceau de même taille est ôté pour faire la croix). Le "dimension de Haussdorff" du flocon et de la croix (c'est-à-dire, en un mot, le facteur d'échelle à appliquer pour que le flocon ou la croix manifeste son caractère autosimilaire), est égale à 4–2√2. Enfin, le diamètre du cercle inscrit dans le flocon est égal à √(4–2√2). Cette valeur se trouve être égale à la racine carrée de la dimension de Haussdorff : coïncidence ?
  

Vous pouvez écrire à l'auteur à l'adresse suivante : rittaud(at)math.univ-paris13.fr
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