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Je suis membre de l'équipe de théorie ergodique et systèmes dynamiques du laboratoire analyse, géométrie et applications (institut Galilée, université Paris-13). Depuis septembre 2007, je suis en délégation CNRS au laboratoire de mathématiques et physique théorique (faculté des sciences et techniques, université de Tours) et fais partie du groupe probabilités et théorie ergodique.

Une suite de Fibonacci aléatoire est une suite dans laquelle la règle classique f(n) = f(n–1)+f(n–2) est remplacée par f(n) = |f(n–1)±f(n–2)|, où le signe ± est fixé aléatoirement pour chaque n selon une loi de Bernoulli de paramètre p. Dans le cas p = 1/2, Divakar Viswanath a montré en 2000 que presque toute suite de Fibonacci aléatoire a une croissance exponentielle de facteur 1,1319…
Une idée consiste alors à représenter l'ensemble des suites de Fibonacci aléatoires sous la forme d'un arbre binaire, dans lequel chaque enfant droit (resp. gauche) est étiqueté par la somme (resp. la différence) de son parent et de son grand parent. En supprimant dans cet arbre tous les sommets (et leurs descendants) qui sont enfants gauches de fils gauches, on obtient un arbre, noté R₃ (voir ci-dessous) qui semble n'avoir jamais été étudié auparavant malgré sa simplicité et sa richesse. Cet arbre m'a notamment permis de déterminer une caractérisation algébrique explicite du facteur de croissance moyen de ces suites et, avec Élise Janvresse et Thierry de la Rue (CNRS, université de Rouen), une caractérisation explicite du facteur de croissance presque sûr la sous forme de l'intégrale du logarithme naturel selon une mesure construite à partir des intervalles de Stern-Brocot et d'un paramètre explicite défini en fonction de p.

Les liens entre suites de Fibonacci aléatoires et fractions continues sont nombreux et présentent un intérêt propre. Nous nous intéressons actuellement à la généralisation donnée par la règle f(n) = |l_kf(n–1)±f(n–2)|, où l_k est la valeur 2cos(π/k) (avec k entier au moins égal à 3). Cette généralisation utilise un arbre R_k qui possède des propriétés combinatoires qui étendent de façon très naturelle celles de R₃. En particulier, des liens profonds existent avec une généralisation des fractions continues proposée par David Rosen en 1954 dans le cadre de la géométrie hyperbolique, les l_k étant les seules valeurs l pour lesquelles le groupe engendré par z —> -1/z et z —> z–l est discret.

Spectre de Markoff

Avec Ryuji Abe, de l'université de Caen, nous étudions les propriétés du « développement en fraction continue » d’éléments de PSL(2, Z) reliés à l'équation de Markoff a²+b²+c² = 3abc (où a, b et c sont des nombres entiers) et à l’une de ses généralisations, dite de Vulakh-Schmidt, qui fait intervenir des matrices de PSL(2, Z[√2]) au travers du groupe de Hecke G₄ (qui correspond d’ailleurs aux fractions continues de Rosen dans le cas k = 4 - cf. ci-dessus). Ce travail est relié à une ancienne conjecture selon laquelle l’équation de Markoff n’a qu’une solution lorsque le plus grand des trois entiers a, b et c est fixé.
Une façon classique de représenter l’ensemble des triplets de Markoff (a, b, c) consiste à construire un arbre binaire complet dont les nœuds sont des triplets de matrices de PSL(2, Z), chaque nœud de l’arbre étant construit à partir de son parent en multipliant deux de ses matrices, selon des règles explicites. L’ensemble des triplets de Markoff s’obtient alors en remplaçant chaque matrice par son coefficient de la seconde ligne et de la première colonne. La généralisation proposée par Vulakh consiste à s’intéresser au système x₁+x₂ = 2y₁y₂, 2x₁x₂ = y₁²+y₂². L’intérêt de cette généralisation est que, alors que l’on déduit des solutions de l’équation de Markoff la partie discrète du spectre de Markoff pour Q, celles du système de Vulakh permettent d’étudier la partie discrète du spectre de Markoff pour Q(i).
Il existe également une structure arborescente pour lister les solutions de ce système d’équation : c’est l’arbre de Vulakh-Schmidt, introduit par Abe et Aitchison dans un article en préparation. Cet arbre est ternaire complet et ses nœuds sont composées de quadruplets de matrices, dont deux sont dans PSL(2, Z) et deux dans PSL(2, Z[√2]). Dans le cadre de Vulakh-Schmidt, nous sommes parvenus à démontrer deux caractéristiques des développements en fraction continue des matrices de PSL(2, Z) qui apparaissent dans cet arbre : pour chacune d’elles, les quotients partiels sont majorés par 3 et forment une suite (finie) palindromique. Ce résultat fait écho au résultat analogue dans le cas classique de Markoff, où les quotients partiels sont au plus égaux à 2 et forment eux aussi des suites palindromiques.
Nous étudions actuellement une caractérisation combinatoire explicite des développements en fractions continues dans le cas Markoff, qui s'étend probablement aussi au cas Vulakh-Schmidt.

Georg Rieger, Takao Komatsu et Edward Burger se sont posés la question de déterminer une fonction pour laquelle l'itération de la méthode de Newton donne un maximum de réduites d'un irrationnel quadratique (appliquer Newton au polynôme minimal de ce quadratique donne, en vertu d'un résultat de Joseph-Alfred Serret, une sous-suite de la suite des réduites et dont la croissance est en 2ⁿ). En prolongeant leurs idées, il est possible d'obtenir un résultat optimal sur ces fonctions ; il est aussi possible de s'intéresser à d'autres méthodes que celle de Newton et d'étudier la liste des réduites obtenues par l'application d'autres algorithme, comme celui de la sécante et celui de la fausse position. On en déduit des sous-suites de réduites indicées par des suites récurrentes. Dans le cas de la méthode de la sécante, par exemple, on peut obtenir pour une classe assez large d'irrationnels quadratiques la sous-suite de réduites donnée par p₀/q₀, p₁/q₁, p₂/q₂, p₄/q₄, p₇/q₇, p₁₂/q₁₂, …, indicée par la suite de Fibonacci décalée d'une unité.

       Un groupe G étant donné, un quasi-morphisme de G est une application f de G dans R telle que l'expression |f(gg')–f(g)-f(g')| est bornée indépendamment des éléments g et g' de G. Un
quasi-morphisme f étant donné, on peut considérer son bord df défini par df(g, g') = f(g)–f(gg')+f(g'). Ce bord est le représentant d'une classe de 2-cohomologie bornée de G, ce qui motive la définition de quasi-morphisme.
        Notons L le groupe libre à deux générateurs a et b. Si G est tel qu'il existe un morphisme surjectif de G sur L, alors on peut trouver une infinité de quasi-morphismes sur G linéairement indépendants. Pour le démontrer, Brooks a considéré, pour tout h, la fonction b_h définie par b_h(g):=n_h(g)–n_h_^–1(g), où pour tout x de G n_x(g) désigne le nombre de fois où l'écriture réduite de en fonction des générateurs a et b se retrouve dans celle de g.
        Avec Jean-Claude Picaud (université de Tours) et Ryuji Abe (université de Caen), nous avons commencé à étudier quelques exemples de représentations lorsque G = SL(2, Z), dans l'idée d'étudier la classe bornée dite classe d'Euler, qui a été étudiée notamment par Jean Barge et Étienne Ghys. Cette classe est représentée par le bord d'un quasi-morphisme R qui s'obtient de façon explicite à partir de générateurs bien choisis. Nous nous posons notamment la question de savoir si à toute représentation r de L dans SL(2, Z) correspond un h pour
lequel la classe born\'ee de d(Ror) est égale à celle de db_h. (La réponse est affirmative dans tous les exemples que nous avons étudiés.) La synthèse de toutes les situations qui peuvent se présenter semble passer par la "décomposition en fraction continue'' des éléments r(a) et r(b) de SL(2, Z).
        Nous cherchons également à caractériser géométriquement le quasi-morphisme R, en tâchant de l'interpréter comme le nombre de tours d'une géodésique fermée sur une surface appropriée.

Parmi les multiples extensions de la théorie classique des fractions continues, on peut considérer le cas où les quotients partiels ne sont pas des entiers mais des éléments de bZ, où b est un réel fixé. Le cas de fractions continues de ce genre où b prend certaines valeurs entre 1 et 2 a été étudié par Rosen, il est aujourd'hui étudié par divers auteurs comme P. Arnoux, T. Schmidt et C. Kraaikamp, essentiellement dans l'idée que, pour b de la forme 2cos(π/n), le groupe engendré par les transformations z —> 1/z et z —> z+b est discret. Rien ne semble en revanche avoir été étudié pour le cas b > 2 : en regardant ce qui se passe pour des b "simples" (typiquement : des b quadratiques, et plus précisément des "nombres d'or", c'est-à-dire dont le développement en fraction continue usuel est du type k+1/(k+1/(k+1/k+…))), on observe des résultats intéressants, comme la possibilité, pour certains b, de disposer d'un analogue du théorème "d'Euclide" selon lequel le développement d'un réel x en fraction continue est fini si, et seulement si, x est rationnel (ce qui donne ainsi un moyen de construire des nombres irrationnels).

Théorie de l'équirépartition modulo 1

Considérons les suites données par des combinaisons linéaires de termes de la forme t·P(n)·cos(nx), où P est un polynôme et t et x deux réels fixés. Ces suites, dites oscillantes, ont été étudiées dans une série d'articles de Berend, Boschernitzan et Kolesnik. À l'aide d'outils comme la discrépance de suites de Kronecker (de la forme (na)_n, avec a réel, ou vecteur de R^d) et un lemme métrique de Koksma sur la distribution presque partout modulo 1 de suites dont les termes sont suffisamment souvent "éloignés" les uns des autres, j'ai démontré que, quel que soit P et quel que soit x, ce type de suite est uniformément répartie modulo 1 pour presque tout réel t (le cosinus pouvant être remplacé par à peu près n'importe quelle fonction périodique disposant d'un minimum de régularité). La démonstration complète nécessite une analyse fine des propriétés diophantiennes du nombre x. Lorsqu'on considère des combinaisons linéaires où le nombre x n'est pas le même dans les différentes expressions t·P(n)·cos(nx), on a affaire à un problème qui nécessite le recours à des approximations diophantiennes multidimensionnelles.
Ces résultats trouvent une application en théorie ergodique au travers de la convergence ponctuelle de moyennes dites "non-conventionnelles" : à partir d'idées initiées par Emmanuel Lesigne, on démontre en effet que l'équidistribution modulo 1 des suites précédentes implique que, quels que soient les transformations linéaires du tore de dimension d notées A₁, A₂,…, A_k, et les fonctions f₁, f₂,..., f_k de L^k, les moyennes "diagonales" des termes de la forme f₁(A₁(x))·f₂(A₂(x))…f_k(A_k(x)) convergent pour presque tout x.

Dans la thèse que j'ai soutenue en 1999 à l'université de Tours sous la direction d'Emmanuel Lesigne est introduite la notion de "disjonction faible" d'un couple de transformations S et T préservant la mesure m d'un même espace probabilisé (X, A, m). D'après le théorème de Birkhoff, pour presque tout point (x, y) de l'espace produit X², la moyenne des valeurs prises par une fonction de L²(X²) sur les premiers itérés de (x, y) sous l'action du couple (T, S) converge vers la norme L² de cette fonction. La disjonction faible est la propriété qu'ont certains couples (S, T) d'être tels que l'ensemble de ces points (x, y) (qui dépend de la fonction considéré) contient un pavé de mesure 1 (un ensemble de la forme A×B, avec A et B de mesure 1). L'étude de la disjonction faible a fait l'objet d'une publication en collaboration avec Thierry De La Rue (CNRS, université de Rouen) et Emmanuel Lesigne (université de Tours).

avec Élise Janvresse et Thierry de la Rue, "How fast do Random Fibonacci sequences grow ?" (Probability Theory and Related Fields, à paraître)

avec Ryuji Abe, "Quasi-palindromy of elements of PSL(2, Z) associated to the Markoff spectrum", WORDS 2007, Proceedings of the 6th International Conference on Words, Marseille, France, September 17-21, 2007.

"Équidistribution presque partout modulo 1 de suites oscillantes perturbées III - cas liouvillien multidimensionnel" (Journal of Number Theory : doi:10.1016/j.jnt.2006.03.009).

"Équidistribution presque partout modulo 1 de suites oscillantes perturbées II - cas liouvillien unidimensionnel", Colloq. Math., 96 (2003), n° 1, 55--73.

avec Emmanuel Lesigne et Thierry de la Rue, "Weak disjointness of measure-preserving dynamical systems", Ergodic Theory Dynam. Systems, 23 (2003), n° 4, 1173--1198.

"Équidistribution presque partout modulo 1 de suites oscillantes perturbées", Bull. Soc. Math. France, 128 (2000), n° 3, 451--471.

"Équidistribution presque partout modulo 1 de suites oscillantes", C. R. Acad. Sci. Paris Série I Math., 327 (1998), n° 4, 339--342.

avec Élise Janvresse et Thierry de la Rue : "On the growth rate of the average of some generalizations of random Fibonacci sequences"

avec Élise Janvresse et Thierry de la Rue : "Almost sure growth rate of some generalizations of random Fibonacci sequences"

"On subsequences of convergents to a quadratic irrational given by some numeric schemes".