\documentstyle{article}
\begin{document}
{\centerline {\bf \huge Curriculum vitae}}
\vskip 2cm

{\bf} Schwartz Lionel

N\'e le 7 Mai 1953 \`a Paris $19$,

59 rue de la Hacquini\`ere, 91440 Bures sur Yvette,
\begin{itemize}
\item 

Tel: 0149403587

\item page web : http://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/

\item courriel : schwartz@math.univ-paris13.fr

\item Adresse Professionnelle:
Universit\'e Paris-Nord,
Institut Galil\'ee, Math\'ematiques,
LAGA, UMR 75 39 du CNRS,
Av. J.-B. Cl\'ement 93430, Villetaneuse
\item
Professeur classe exceptionnelle
\item
Section 25
\end{itemize}



\newcommand{\e}{\epsilon}
\newcommand{\F}{{\mathbb F}_2}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\def\M{{\mathbf M}}
\def\Mc{{\mathcal M}}
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\def\Sc{{\mathcal S}}
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\newcommand\Sq{\mathrm{Sq}}
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\newcommand{\pis}{\pi}
\newcommand{\reg}{\widetilde{reg}}
\newcommand{\Abs}[1]{\vert #1 \vert}
\newcommand{\lr}[1]{\langle #1 \rangle}
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\newcommand\Ht{\widetilde{H}}
\newcommand{\proofof}[1]{{\noindent \it D\'emonstration de  #1 \quad}}
\newcommand{\bqn}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\eqn}{\end{eqnarray*}}
\newcommand\qed{\hfill $\square$ \vspace{2ex}\par}




{\bf  Etudes Universitaires et carri\`ere}

\begin{itemize}
\item 1972-1976 El\`eve \`a l'Ecole Normale Sup\'erieure,
\item 1975 Agr\'egation de Math\'ematiques,
\item 1976 Doctorat de Math\'ematiques (Directeur Max Karoubi),
Universit\'e Paris $7$,
\item 1983 doctorat d'Etat (Directeur Max Karoubi), Universit\'e Paris
$7$ 
\end{itemize}


\begin{itemize}
\item 1976-1982 Attach\'e de recherches au CNRS,
\item 1983-1990 Charg\'e de recherches au CNRS,
\item 1990 \`a ce jour professeur \`a l'Universit\'e Paris-Nord,
\end{itemize}



\vskip 5mm


{\ {\bf  Enseignement}}

Tous niveaux du L1 au M2, concours de recrutement des enseignants (ouverture de l'Agr\'egation de Math\'ematiques \`a Paris 13, restructuration du CAPES).

J'ai obtenu un demi CRCT en 2007-2008 et une d\'eharge (48H) en 2008-2009 du Conseil Scientifique de paris 13 en tant que porteur de projet ANR.

Responsable de la  coop\'eration concernant le master international de math\'ematiques de Hanoi.


\vskip 5mm


{ {\bf  Encadrement doctoral et post-doctoral}}

Depuis 1996.


\begin{itemize}
\item 1996/1997 : stage de DEA de A. Troesh (d'apr�s Friedlader-Suslin) , puis th\`ese soutenue en Novembre 2003. Cette th\`ese a donn\'e lieu \`a 4 publications (CRAS, Fund. Math. Journal of Algebra, Comm. in Alg.). Actuellement professeur en CPGE.
 \item 1998/-2001: stage
post-doctoral de S. Whitehouse, \'etudiante de A. Robison (bourse Marie Curie). Plusieurs articles publi\'es.
(Heidelberg/Strasbourg), bourse TMR. 2 articles publi\'es. MCF \`a Sheffield.

\item 1997/1998 : stage de DEA de F. D\'eglise (d'apr\`es le livre de Bousfield-Kan Homotopy limits, completions and localizations).
 \item 1998/-2001: stage
post-doctoral de D. Meyer, \'etudiante de H.-W. Henn
(Heidelberg/Strasbourg),  (bourse Marie Curie). Plusieurs articles publi\'es. D. Meyer a un poste dans l'administration de l'UE (apr\`es un poste de 7 ans \`a Goettingen).
 \item 2000/2001 stage de DEA
de Jiang Dong Hua, puis th\`ese soutenue en  Mai 2005 (2 articles publi\'es, Annales Inst. Fourier et AGT) . Actuellement ing\'enieur dans une entrprise d'informatique.
 \item 2000/2001 stage
de DEA de Tran Ngoc Nam (sur Milnor-Moore); cotutelle de th\`ese  avec Nguyen H. V.
Hung (Hanoi) \`a partir de 2001, soutenance \`a Hanoi Octobre 2006 (MCF \`a l'UNV Hanoi).
\item stage de DEA (construction g\'en\'erale de l'alg�bre de Steenrod) puis th\`ese de C. Vespa, soutenance en D\'ecembre 2005 (4 articles CRAS, Fund. Math, AGT, JPAA), (MCF Strasbourg).
\item 2005 stage de DEA de (Groupes formels)  (a suivi depuis la fili\`ere d'ing\'enieurs)
\item 2005 stage de DEA (endomorphismes de la cohomologie des espaces d'Eilenberg-Mac Lane) puis th\`ese de Nguyen D. Ho Hai, depuis 2005 (soutenance pr\'evue en 2009-2010)
\item 2008  Stage Master 1 de Qin Botao (connjecture de Suliivan) \`a l'Ecole Polytechnique.
\item  2009 Stage Master 2  M2 (th\'eor�me de HJopkins-Miller) de Geoffrey Horel  \`a l'Ecole Polytechnique.




\end{itemize}

{ {\bf  Conf\'erences invit\'ees }

Depuis 1996.

\begin{itemize}
\item Oxford, Juin 1996, Mini-conf\'erence de th\'eorie de l'homotopie.
\item Barcelone UAB, Novembre 1996, Mini-conf\'erence de topologie alg\'ebrique.
\item Barcelone UAB, Juin 1998, satellite de l'ICM.
\item Universit\'e de Bielefeld, Euroconf\'erence sur les modules de longueur infinie, Septembre 1998.
\item Congr\`es en l'honneur de Max Karoubi, Universit\'e Paris 7, Novembre 1998.
\item Schloss-Ringberg,  Congr\`es sur les foncteurs polynomiaux, Janvier 1999.
\item S\'eminaire, Universit\'e de Tunis Juillet 1999.
\item Colloquium B\^{a}le Janvier 2000.
\item Ecol\'e d'\'et\'e Tunis \'et\'e 2001.
\item conf\'erence du r\'eseau europ\'een Leicester automne 2001.
\item conf\'erence en l'honneur de F. Pham et Hyunh Mui, Dalat Dec. 2004.
\item Workshop de th\'eorie de l'homotopie, Barcelona (UAB) Juin 2007.
\item S\'eminaire Universit\'e de Manchester Avril 2008.

\end{itemize}

\vskip 5mm


{
{\bf Participation \`a l'organisation de colloques : comit\'e scientifique ou d'organisation, , s\'eminaires,
(depuis 1995)}}



\begin{itemize}

\item S\'eminaire sur l'homologie de MacLane \`a l'IHES avec N. Kuhn en 1995.
\item Congr\`es au CIRM Luminy 12/19 Janvier 1997.
\item Co-organisation avec C. Broto et R. Piccinini du "First Euro-Mediteranean Topology  meeting, Universitat Autonoma Barcelona Juillet 2000, Satellite de l'ECM 2000).
\item Journ\'ees Etat de la Recherche  (Socit\'et\'e math\'ematique de France), Nantes  D\'ecembre 2001.
\item Journ\'ees d'Arithm\'etique, G\'eom\'etrie et Topologie  \`a l'occasion du soixanti\`eme anniversaire de Larry Breen, D\'ecembre 2004.
\item Congr\`es de K-th\'eorie et de th\'eorie de l'homotopie (r\'eseau INTAS) Montpellier Janvier 2005.
\item Congr\`es de K-th\'eorie et de th\'eorie de l'homotopie (r\'eseau INTAS) Tbilissi Mai 2007.
\item SECA IV (Congr\`es de th\'eorie des cat\'egories) Barcelona Juin 2007.
\item Congr\`es de th\'eorie de l'homotopie en l'honneur de Jean Lannes Djerba (Octobre 2007).
\item Congr\`es de K-th\'eorie et de th\'eorie de l'homotopie (r\'eseau INTAS) Saint Jacques de Compostelle Septembre 2008.
\item Congr\`es Franco-Tunisien Mars 2009.
\end{itemize}
\vskip 5mm


 {\bf   Contrats }
 \begin{itemize}
\item  
Coordinateur (local) parisien du r\'eseau HCM de th\'eorie de l'homotopie (1995/1997), le coordinateur
central en \'etait R. Piccinini \`a Milan.
\item 
Responsable du PICS CNRS Formath-Vietnam (2006-2008)
\item 
Coordinateur local d'un r\'eseau INTAS  "Caucase" de K-th\'eorie et th\'eorie de l'homotopie (Paris 13, Copenhague, Munster, Tbilissi, Bakou) (2007-2009).


\item 
Responsable de l'ANR blanche HGRT depuis Janvier 2009.
\item
Coordinateur du r\'eseau INTAS  03-5-3251  de K-th\'eorie et th\'eorie de l'homotopie (Paris 13, Montpellier, Louvain la Neuve, Glasgow, Tbilissi, Saint Petersbourg, Novossibirsk) (2004-2007).


\end{itemize}

\vskip 5mm


{ {\bf  Principales responsabilit\'es administratives, scientifiques, dans les soci\'et\'es scientifiques, journaux}}



\begin{itemize}
\item 
Charg\'e de Mission Bureau des Relations Internationales de l'Universit\'e Paris-Nord (mission \'echue le 31/12.2007)
\item 

Directeur du LAGA   du 01/04/99 au 30/09/2004.

\item 
Membre du conseil scientifique de l'Universit\'e (2002 \`a 2006).

\item Membre du bureau de l'Universit\'e (2003-2006)
\item 
Membre du bureau et tr\'esorier de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France, 2006-2008, membre du conseil depuis
2005.
\item 
Responsable de l'action "Mali" Paris13-Bamako depuis sa cr\'eation (2002), financement : essentiellement ambassade de France \`a Bamako.

\item 

Editeur \`a Manuscripta mathematica, JHRS, Acta Math. Vietnam, Advances in Pure and Applied Mathematics.

\item Actuellement je m'investis beaucoup dans les projets de coop�ration avec le Vietnam, entre autres le projet d'USTH � Hanoi, un projet ARCUS, un projet de Laboratoire International Associ�, et bien �videmment en premier lieu le Master international de math�matiques de Hanoi.



\end{itemize}

\vfill\eject

{ {\bf  Publications}}




{\bf Livres et Edition de Proceedings de congr\`es}
\begin{itemize}
\item 
 {\it Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan's
 fixed point set conjecture}, {\bf
 Chicago Lectures in Mathematics Series}, (1994) 226 pages.
\item 
 {\it Cours d'alg\`ebre de licence}, {\bf Dunod} 1998

\item Proceedings of the School and conference in Algebraic Topology  Hanoi 2005. Geom Top. Pub. 2007, Coventry.
\end{itemize}

\vskip 5mm


{ {\bf  Articles}}


[1]  {\it Op\'erations d'Adams en $K$-homologie et applications},
{\bf Bull. Soc. Math. France, 109}, (1981).

[2] {\it Vecteurs propres de l'op\'eration d'Adams dans $K_0({\bf
CP}^\infty/{\bf CP}^k)$},
 {\bf CRAS 296 S\'erie I},  (1983).

[3] {\it Propri\'et\'es de divisibilit\'e des puissances des
classes de cohomologie de dimension $4$ des vari\'et\'es \`a
fibr\'e stablement trivial},{\bf
  CRAS 298 S\'erie I},  (1984).

[4] (avec V. Franjou),{\it
 Hypersufaces et homotopie stable de $U$},{\bf CRAS 299 S\'erie I},  (1984)

[5] (avec N. Ray) {\it Constructions d'\'el\'ements dans
$\pi_*^s(BU(2))$,} {\bf  Bull. Soc. Math. France, 111}, (1983).


[6] {\it $K$-th\'eorie de corps finis et homotopie stable du
classifiant d'un groupe de Lie,} {\bf  J.P.A.A, 34}, (1984).

[7] (avec S. Ochanine) {\it Une remarque sur les g\'en\'erateurs
du cobordisme complexe,} {\bf  Math. Z. 190}, (1983).

[8] (avec J. Lannes) {\it A propos de conjectures de Serre et
Sullivan,} {\bf  Invent. Math. 83}, (1986) 593-603.

[9] (avec A. Baker et N. Ray) {\it Hypersurfaces fram\'ees et
l'\'el\'ement $\beta_1$ de Toda,} {\bf
 Bull. Can. Math. 30}, (1987).


[10] {\it La filtration nilpotente de la cat\'egorie ${\cal U}$
 et la cohomologie des espaces de lacets,} Proc. Louvain la Neuve 1986, {\bf
 Springer Lectures Notes in Math. 1318}, (1988).

[11] (avec A. Baker, F. Clarke et N. Ray) {\it On the Kummer
congruences and the stable homotopy of BU,} {\bf
 Trans. Am. Soc. 316}, (1989).

[12] (avec J. Lannes) {\it  Sur les groupes d'homotopie des
espaces dont la cohomologie modulo 2 est nilpotente,} {\bf
 Israel J. of Math. 66}, (1989) 260-273.

[13] (avec J. Lannes) {\it Sur la structure des A-modules
instables injectifs,} {\bf Topology 28}, (1989) 153-169.

[14] (avec H.-W. Henn) : {\it Indecomposable A-module summands
 in H*V which are unstable algebras,} {\bf  Math. Z. 205}, (1990), 145-158.

[15] (avec V. Franjou): {\it Reduced unstable A-modules and the
modular representation theory of the symmetric groups}, {\bf Ann.
Scient. Ec. Norm. Sup. 23}, (1990), 593-624.

[16] (avec H.-W. Henn et J.Lannes) {\it The categories of unstable
modules and unstable algebra
 over the Steenrod algebra modulo its nilpotent objects},
 {\bf Am. J. of Math. 115}, 5 (1993) 1053-1106.

[17] (avec V. Franjou et J.Lannes) {\it Autour de la cohomologie
de MacLane des corps finis}, {\bf Invent. Math. 115}, (1994)
513-538.

[18] (avec H.-W. Henn et J.Lannes) {\it Localizations of unstable
modules and equivariant mod p cohomology}, {\bf Math. Ann. 301},
(1995) 23-68.

[19] (avec L. Piriou) {\it Extensions de foncteurs simples}, {\bf
K-Theory 15}, 269-291, 1998.

[20] {\it A propos de la conjecture de non-r\'ealisation due \`a
N. Kuhn}, {\bf Invent. Math. 134}, 211-227, (1998).


[21]  {\it La filtration de Krull de la cat\'egorie des modules
instables et la cohomologie des espaces.}, {\bf  A. G. T. 1}
(2001) 519-548.

[22] (avec L. Piriou)  {\it A property of the polynomial
filtration of polynomial functors,} {\bf Georgian Math. Journal 9}
(2002) 785-804

[23] Vincent Franjou, Eric M. Friedlander, Teimuraz Pirashvili, Lionel Schwartz Rational Representations, the Steenrod Algebra and Functor Homology Panoramas et Synth\`eses 16 (2003), xxii+132 pages

[24] (avec G. Gaudens) Un th\'eor\`eme d'annulation en cohomologie de Mac Lane. (French) [A vanishing theorem in Mac Lane cohomology],C. R. Math. Acad. Sci. Paris 341 (2005) n�2

[25] Le groupe de Grothendieck de la cat\'egorie des modules instables, Communications in Algebra, Volume 34, Number 5/2006

[26] R\'esolutions de certains modules instables et fonction de partition de Minc. (avec Nguyen D. H. Hai et Tran Ngoc Nam) CRAS \'erie 1 347 n� 11-12 (2009)




{\bf Remarque :}
 Les notes au  CRAS ont \'et\'e inclues dans la liste
pr\'ec\'edente ou la suivante selon le cas (annonce ou non,
etc...). 
\vskip 5mm

 {\bf  Autres  Publications et pr\'epublications}



[27] {\it Orientabilit\'e du fibr\'e de Hopf complexe dans la
th\'eorie cohomologique associ\'ee \ldots } . {\bf CRAS 289
S\'erie I},  (1979).

[28] {\it Quelques familles d'\'el\'ements dans
 $\pi_*^s({\bf CP}^\infty)$}, {\bf
CRAS 296, S\'erie I,}  (1983).

 [29] (avec N. Ray) {\it Embedding complexes via unstable homotopy
theory}, {\bf Cont. Mathematics, 19}, (1983).


 [30] {\it La conjecture de Sullivan d'apr\`es H. Miller},
S\'eminaire Bourbaki, expos\'e 638, {\bf Ast\'erisque 133-134}.

[31] (Avec H.-W. Henn et J. Lannes), {\it Analytic functors
\ldots}, Proc. Evanston 1988, {\bf Cont. Mathematics 96}, (1989).

[32] {\it Unstable modules over the Steenrod algebra, functors,
and the cohomology of spaces}. Actes de l'Euroconf\'erence
"Modules of infinite length" Bielefeld, Septembre 1998. {\bf
Trends in Mathematics}, 2000 Birkh\"{a}user Verlag.


[33] (avec G. Gaudens){\it L'ind\'ependance lin\'eaire de
caract\`eres et les sous-modules de la cohomologie modulo $2$ des
$2$-groupes ab\'eliens \'el\'ementaires. Pr\'epublication Paris 13
(2002)}}





[34] La fonction de partition de Minc et la cohomotopie de certains spectres de Thom (avec Nguyen D. H. Hai et Tran Ngoc Nam) Pr\'epublication 2009.




[35] La fonction de partition de Minc et la cohomotopie de certains spectres de Thom II, r\'ealisation homotopique (avec Nguyen D. H. Hai) en pr\'eparation.

\vskip 5mm

{ {\bf  Recherche}}

Ci dessous on trouvera un descriptif de mes activit�s de recherche. Des recherches en cours sont �voqu�es en fin des th�mes 2 et 5.


\begin{itemize}

\vskip 15mm

\item {\bf 1. Homotopie stable et vari\'et\'es fram\'ees, cobordisme}

\item Les publications
 [1], [2], [3], [4] ,[5], [6], [8], [27], [28] portent sur des calculs d'homotopie stable utilisant
la th\' eorie cohomologique associ\'ee \`a la $K$-th\'eorie des
corps finis. Celle ci est \'etroitement reli\'ee \`a l'image du
$J$-homomorphisme. Les polyn\^omes num\'eriques fournissent pour
cette analyse un outil alg\'ebrique  appropri\'e. Il  est particuli\`erement utile pour fournir une borne
inf\'erieure assez fine pour l'image de l'homotopie stable d'un
espace dans l'homologie singuli\`ere d'un espace, ceci pour ce qui
concerne la partie sans torsion de cette image. Divers cas sont
\'etudi\'es dans les r\'ef\'erences donn\'ees plus haut : espaces
classifiants particuli\`erement. Sous une hypoth\`ese de
localisation (inversion de certains \'el\'ements dans l'homotopie
stable), et en supposant que le nombre premier $2$ est invers\'e,
la borne \'evoqu\'ee calcule l'image de l'homomorphisme de
Hurewicz. Cette technique a \'et\'e exploit\'ee ult\'erieurement
par M. Crabb et K.H. Knapp dans le cas des espaces projectifs
tronqu\'es (nombres de James) (Am. J. of Math 1988. 110).

Une \'etude des \'el\'ements de torsion a aussi \'et\'e faite dans ce contexte.





Dans ces papiers on donne aussi des
constructions des vari\'et\'es   fram\'ees repr\'esentant
certaines classes d\'etect\'ees alg\'ebriquement par le proc\'ed\'e ci-dessus.


\item Dans [9] (avec A. Baker et N. Ray),  \`a l'aide de
techniques de chirurgie est construite une hypersurface fram\'ee
repr\'esentant  l'\'el\'ement $\beta_1$ de Toda, hypersurface dont
l'existence avait \'et\'e montr\'ee par Ray et Walker. Rappelons
que cet \'el\'ement est le premier de la comoposante $p$-primaire
($p$ premier) de l'homotopie stable des sph\`eres qui ne soit pas
dans l'image du J-homomorphisme.


\item L'article [7] (avec S. Ochanine) reste dans un domaine
voisin. Il   est reli\'e aux id\'ees utilis\'ees dans ce qui
pr\'ec\`ede. On y d\'emontre en particulier, que l'on peut trouver
des g\'en\'erateurs du cobordisme complexe dont le fibr\'e normal
stable est somme de fibr\'es en droites complexes. On trouve en
appendice un corollaire  alg\'ebrique. \vskip 1cm

\item {\bf 2. Structure des modules instables, suite spectrale d'Eilenberg-Moore, homotopie des espaces.}


\item  Les articles [10] et [13] portent sur la structure des
modules instables sur l'alg\`ebre de Steenrod. On y introduit la
filtration nilpotente sur la cat\'egorie des modules instables
[10]; l'article [13] (avec J. Lannes), qui  est en fait
ant\'erieur \`a [10], classifie les injectifs de la cat\'egorie.
Diverses applications topologiques sont donn\'ees, entre autres
une r\'eciproque du th\'eor\`eme de H. Miller qui affirme que
l'espace des applications point\'ees du classifiant $B{\bf Z}/2$
vers un espace fini est contractile :

{\bf Th\'eor\`eme :} {\it Soit $X$ un espace simplement connexe tel que l'espace des applications point\'ees
de ${\bf BZ}/2$ dans $X$ est contractile, alors la cohomologie de $X$
est limite directe de modules finis sur l'alg\`ebre de Steenrod.}

\item J'ai utilis\'e de mani\`ere r\'ecurrente la structure de module instable  sur la
suite spectrale d'Eilenberg-Moore. Par exemple dans [8] et [12]
(avec J. Lannes) son \'etudie  des applications de ces
techniques aux groupes d'homotopie des complexes finis. Il s'agit
de g\'en\'eralisation d'un th\'eor\`eme et d'une conjecture de
J.-P. Serre, conjecture d\'emontr\'ee par  McGibbon et
Neisendorfer. La proposition \`a d\'emontrer \'etait qu'un
complexe fini $1$-connexe dont l'homologie modulo $2$ est
non-triviale a de la $2$-torsion dans une infinit\'e de groupes
d'homotopie. La d\'emonstration que l'on donne de la conjecture de
Serre est plus \'el\'ementaire que celle de  McGibbon et
Neisendorfer en ce qu'elle ne fait pas appel au th\'eor\`eme de
Miller. Elle est bas\'ee sur le th\'eor\`eme suivant :


{\bf Th\'eor\`eme :}  {\it Si la cohomologie modulo $2$ d'un espace est limite directe de modules finis
il en est de m\^eme pour la cohomologie de son espace de la\c {c}ets. }


Voici un autre  r\'esultat~:

{\bf Th\'eor\`eme :} {\it Un espace $1$-connexe qui a un nombre fini
de groupes d'homotopie et dont la cohomologie modulo
$2$ est non-triviale contient n\'ecessairement
une classe non-nilpotente dans sa cohomologie.}

R\'ecemment on a pu raffiner ce th\'eor\`eme.

\item Avec Nguyen D. H. Hai et Tran Ngoc Nam on a pu tr\`es r\'ecemment (voir publication [26]) construire des r\'esolutions injectives minimales pour la cohomologie modulo $2$ de certains spectres de Thom.
Ce r\'esultat est tr\`es riche car il permet, {\it via} les techniques de Lannes-Zarati de faire des calculs de cohomotopie stable du type de ceux de la conjecture de Segal. Ces r\'esultas trouvent leur origine dans des identit\'es combinatoires concernat les fonctions de partition de Minc. En fait ces fonctions de partitions s'interpr\`etent comme \'etant les s\'eries de Poincar\'e  de certains modules de Brown-Giler, et sont reli\'ees aux s\'eries de Poincar\'e des modules de Steiberg de Mitchell et Priddy. Dans une seconde \'etape on r\'ealise topologiquement ces r\'esolutions. 


\item {\bf Th\'eor\`eme}{\it 
Pour tout $n\geq 1$, il
existe une r\'esolution injective minimale dans $\U$ :
$$ 0 \rightarrow  L'_n\rightarrow
L_n\to L_{n-1}\otimes J(1)\to  \cdots\rightarrow
L_1\otimes J(2^{n-1}-1)\rightarrow J(2^n-1)\rightarrow 0.
$$}


Les $J(k)$ sont des modules de Brown-Gitler, les $L_n$ des modules de Steinberg \`a la Mitchell-Priddy, et $L'_n$ d\'esigne la cohomologie du  spectre de Thom de la repr\'esentation r\'eguli\`ere r\'eduite  au dessus de $L(n)$. Les applications topologiques montrent l'existence d'applications stables g\'en\'eralisant le transfert de Singer. 

Cette \'etude n'en est visiblement qu'\`a ses d\'ebuts, elle montre des liens entre diverses structures topologiques dont les identit\'es combinatoires \'evoqu\'ees plus haut (et dues \`a Andrews) ne sont que la partie "apparente".


\vskip 1cm

\item {\bf 3. Modules instables et foncteurs}



\item L'article [16] (avec Henn et Lannes) relie la cat\'egorie de
modules instables sur l'alg\`ebre de Steenrod \`a la cat\'egorie
${\cal F}$
 des foncteurs de la cat\'egorie des espaces
vectoriels de dimension finie sur un corps premier fini
, soit $k$, dans la cat\'egorie des espaces vectoriels
 sur ce corps.
Cette cat\'egorie est ab\'elienne mais non semi-simple.
Puis l'article \'etend
l'analyse aux alg\`ebres instables.

Les deux r\'esultats principaux de cet article sont les suivants :

{\bf Th\'eor\`eme :} {\it Il y a une \'equivalence de cat\'egories entre le quotient ${\cal U/N}il$
de la cat\'egorie des modules instables par sa sous-cat\'egorie des modules nilpotents
et celle des foncteurs analytiques (limite directe de foncteurs polyn\^omiaux)
de la cat\'egorie des espaces
vectoriels de dimension finie sur le corps ${\bf F}_p$, dans la cat\'egorie des espaces vectoriels
 sur ce corps.}

{\bf Th\'eor\`eme :} {\it Il y a une \'equivalence de cat\'egories entre le quotient
de la cat\'egorie des alg\`ebres instables sur l'alg\`ebre de Steenrod par sa sous-cat\'egorie des objets nilpotents
et celle des foncteurs contravariants
de la cat\'egorie des espaces
vectoriels $V$ de dimension finie sur le corps ${\bf F}_p$, dans la cat\'egorie des ensembles
munis d'une action  du mono\"{i}de ${\rm End}(V)$.}


Ces r\'esultats permettent de retrouver et d'\'etendre  la th\'eorie d'Adams-Wilkerson
de classification des alg\`ebres instables et des alg\`ebres d'invariants \`a des cas plus g\'en\'eraux.


\item Dans [15] commun avec Vincent Franjou on a \'etudi\'e les objets simples de la cat\'egorie ${\cal U/N}il$ en proc\'edant \`a partir du strict point 
de vue des modules instables et donn\'e diverses applications, dont le calcul de la connectivit\'e des facteurs stables du classifiant d'un $2$-groupe ab\'elien \'el\'ementaire. Cet article met en \'evidence les liens 
entre la cat\'egorie des modules instables et celles des repr\'esentations modulaires des groupes sym\'etriques :



{\bf Th\'eor\`eme :} {\it La cat\'egorie ${\cal U/N}il$ admet une fitration naturelle croissante par des sous-cat\'egories ${\cal V}_n$ tels que la cat\'egorie  quotient 
${\cal V}_n/{\cal V}_{n-1}$ soit \'equivalente \`a celle des ${\mathbf F}_2[GL_n({\mathbf F}_2)]$-modules.}

Ce r\'esultat peut �tre \'etabli dans le monde des foncteurs ett traduit. Ici on l'\'etablit directement.












\item Le livre aux University of Chicago Press
 d\'ecrit les travaux  des ann\'ees $80$
et du d\'ebut des ann\'ees $90$ sur la th\'eorie des modules
 instables et  la conjecture des points fixes de Sullivan.
Il contient comme mat\'eriel original non publi\'e ailleurs
(ou de fa\c con partielle)  une analyse
d\'etaill\'ee de la filtration nilpotente de la
cat\'egorie des modules instables et une analyse rapide de la filtration de Gabriel-Krull.
Il contient \'egalement une pr\'esentation originale
des liens entre la cat\'egorie ${\cal F}$ et celle des modules
instables sur l'alg\`ebre de Steenrod.

\vskip 1cm
\item {\bf 4. Homologie des foncteurs, structure des foncteurs, modules instables.}




\item  L'article [17] (avec Franjou et Lannes) donne un calcul
rapide des groupes ${\rm Ext}_{\cal F}^i(I,I)$, o\`u $I$ est le
foncteur inclusion de la cat\'egorie des espaces vectoriels de
dimension finie sur dans la cat\'egorie des espaces vectoriels sur
$k$. Ce calcul a \'et\'e fait d'abord par Breen. Il  \'equivaut
\`a celui de la cohomologie de MacLane du corps $k$, et donc de la
$K$-th\'eorie stable.

{\bf Th\'eor\`eme : } {\it Les groupes ci-dessus sont \'egaux \`a $k$ si $i$ est pair, \`a $\{0\}$ sinon.}

 La sous-cat\'egorie des foncteurs polyn\^omiaux  dans ${\cal F}$ est
filtr\'ee par le degr\'e.
 La notion
   de degr\'e d'un foncteur est d\'efinie comme suit :
$F$ est dit de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$ si,  notant $\Delta$ l'endofoncteur
  de la cat\'egorie ${\cal F}$ d\'etermin\'e par
$$\Delta(F)(V)={\rm ker}(F(V \oplus
  k ) \rightarrow F(V))
\quad ,
$$
on a  $\Delta^{n+1}(F)=0$.

On
  d\'efinit aussi la notion de plus grand
  sous-foncteur  de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$
  d'un foncteur $F$ quelconque, on le note $t_n(F)$.

On note ${\cal F}_n$ la sous-cat\'egorie pleine des foncteurs de degr\'e
inf\'erieur o\`u \'egal \`a $n$. La $n$-\`eme cat\'egorie quotient
${\cal F}_n/{\cal F}_{n+1}$
est \'equivalente \`a celle des modules sur l'alg\`ebre
du groupe sym\'etrique : $k[{\cal S}_n]$.
 Un objet simple
de degr\'e $n$ de la cat\'egorie ${\cal F}$ est classifi\'e par un
module simple sur $k[{\cal S}_n]$.



\item L'article [19], \'etudie un autre type de probl\`emes
li\'ees aux extensions dans la cat\'egorie ${\cal F}$.

Le r\'esultat le plus rapide
 \`a expliquer
 est le suivant~:

{\bf Th\'eor\`eme :} {\it Un objet simple de la cat\'egorie ${\cal F}$
n'a pas d'auto-extensions.}

Cela doit \^etre compar\'e avec le fait
que les repr\'esentations correspondantes
des groupes sym\'etriques
peuvent, elles, avoir des auto-extensions
non-triviales.

\item La publication [22]
 \'egalement en commun avec L. Piriou
porte sur des questions reli\'ees.
 La  propri\'et\'e \'etudi\'ee
 compare deux filtrations sur les injectifs standards
de la cat\'egorie ${\cal F}$.
  Il y a deux filtrations naturelles sur un foncteur.
La filtration par le degr\'e d'Eilenberg-Mac Lane,
sp\'ecifique \`a la situation dans laquelle
 nous nous trouvons.


D'un autre c\^ot\'e on a la filtration de Loewy, ou
filtration des socles.
  Celle ci, d\'efinie dans toute
   cat\'egorie ab\'elienne, est la filtration la plus fine sur tout objet
de la cat\'egorie.

 Le  r\'esultat
  montre que ces deux filtrations sont compatibles en
un sens naturel :

{\bf Th\'eor\`eme}  {\it Soit $F
\in {\cal F}$ un foncteur dont l'enveloppe
 injective est facteur direct dans une somme directe finie d'injectifs
 ind\'ecomposables.
 Soit  $n$ un entier  assez grand.
 Le socle de $F/t_n(F)$ est somme directe finie de foncteurs simples
  de degr\'e $n+1$.}
  
  
  

\item La puiblication{25} d\'ecrit le groupe de Grothendieck de la
cat\'egorie des modules instables sur l'alg\`ebre de Steenrod
finiment engendr\'es.  On \'enoncera :

{\bf Th\'eor\`eme :}
{\it L'application qui a un module instable associe sa s\'erie de Poincar\'e
est un homomorphisme injectif d'anneaux depuis le
groupe de Grothendieck de la cat\'egorie des modules instables finiment engendr\'es.}






 \item La pr\'epublication (avec G. Gaudens) [30] porte sur un  r\'esultat cohomogique concernant la structure des
 sous-objets des cog\'en\'erateurs standards de la cat\'egorie ${\cal F}$.
\medskip{\bf Notations~:} Pour
tout entier $n$ de d\'ecomposition $2$-adique
$2^{a_1}+\ldots+2^{a_h}$, on note $\alpha(n)=h$ la longueur de sa
d\'ecomposition $2$-adique, $\Gamma(n)$ pour ${\rm min}_{i,i_
\not= j}\,(a_i, \, \, |a_i-a_j|)$. 

{\bf Proposition} {\it Soient $\delta$,
$\ell$, $n$, $k$ des entiers non nuls. Supposons que~:
\begin{itemize} \item $\alpha(n)
\geq \alpha(\ell)$ \item $ \Gamma(n) > {\rm log}_2(\delta)$ \item $k > 2{\rm log}_2(n)+{\rm
log}_2(\delta).$ \end{itemize}
Alors il existe une op\'eration de Steenrod $\theta(\delta,n,\ell ,k)$, telle que pour toute
alg\`ebre instable $K$ et pout tout
\'el\'ement de degr\'e $\delta$ dans $K$~: $$\theta(\delta,n,\ell ,k) (x^n)=x^{2^k
\ell}\quad .$$ \ L'op\'eration
$\theta(\delta,n,\ell ,k)$ est donc universelle.}


Ce r\'esultat est tr\`es classique si $n=1$.  Il a \'et\'e reformul\'e et \'etendu
 par G. Powell.



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{\bf 5. Non-r\'ealisation de modules instables comme cohomologie d'espaces}



\item L'article [20] d\'emontre une conjecture due \`a N. Kuhn :

{\bf Th\'eor\`eme :} {\it  Si la cohomologie modulo 2 d'un espace est un module
 ayant un nombre fini de g\'en\'erateurs sur l'alg\`ebre
de Steenrod alors c'est un module fini
(i.e un espace vectoriel gradu\'e fini).}

Ceci fait appel \`a des techniques que j'avais d\'evelopp\'ees
dans [7] et pr\'ecis\'ees dans le livre aux presses de Chicago et
uilise encore la suite spectrale d'Eilenberg-Moore. En fait on
d\'emontre que certains modules comportant de grandes zone
d'annulation ne peuvent \^etre cohomologie d'espaces.

La strat\'egie d\'evelopp\'ee permettent
d'envisager de nouvelles techniques pour
\'etablir la non-repr\'esentabilit\'e de
modules sur l'alg\`ebre de Steenrod comme
cohomologie d'espaces.

Dans [21]  je d\'emontre une forme forte de la conjecture de Kuhn
(\'egalement conjectur\'e par Kuhn). Cette conjecture s'exprime
\`a l'aide de la filtration de Krull de la cat\'egorie ${\cal U}$.
Rappelons que la filtration de Krull est construite comme suit. On
consid\`ere la plus petite classe de Serre dans ${\cal U}$
contenant tous les objets simples, et stable par limite directe.
C'est la sous-cat\'egorie ${\cal U}_0$ des modules localement
finis, {\it i.e.} limite directe de modules finis. Puis on fait la
m\^eme op\'eration dans la cat\'egorie quotient  ${\cal U}/{\cal
U}_0$ et on d\'efinit ${\cal U}_1$ comme \'etant l'image inverse
de $({\cal U}/{\cal U}_0)_0$ Notons ${\cal U}_n$, $n \leq 0$, le
$n$-i\'eme terme de la filtration. La cat\' egorie ${\cal U}$ est
la plus petite cat\' egorie contenant les ${\cal U}_n$ et stable
par colimite.

Par exemple la cohomologie d'un espace fini, ou
de son espace de la\c{c}et est
toujours dans ${\cal U}_0$, alors que
la cohomologie du classifiant d'un groupe fini
correspond, elle n'est dans aucune des ${\cal U}_n$.

La seconde conjecture de Kuhn s'\'enonce alors comme suit, soit $X$ un espace, alors~:

{\bf Th\'eor\`eme :} {\it
\begin{itemize}
\item  soit $H^*X \in {\cal U}_0$,
\item soit $H^*X \not \in {\cal U}_n$, pour tout $n$.
\end{itemize}}


Diverses formes plus fortes de la conjecture ont \'et\'e \'etudi\'ees entre autres par G. Gaudens.

Actuellement je travaille avec J. Scherer, sur le probl\`eme suivant, pos\'e par Castellana, Crespo et Scherer : soit $X$ un espace, supposons que  les ind\'ecomposables de la cohomologie de l'espace des lacets  $Q(H^*\Omega X)$ sont dans ${\cal U}_n$ peut on affirmer que $Q(H^*X)$ est dans ${\cal U}_{n+1}$? Castellana, Crespo, Scherer ont d\'emontr\'e cela si $X$ est un espace de lacets. Ce probl\`eme a des liens tant avec le probl\`eme pr\'ec\'edent qu'avec 
le th\`eme 2.

\end{itemize}



\end{document}
