\documentclass[8pt]{article}


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\author{ Lionel Schwartz}
\title{Th\'eor\`eme de Blackers-Massey, applications}



\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{definition}[theorem]{D\'efinition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{case}{Cas}

\newenvironment{remark}%





\newenvironment{proof}
{\noindent\textit{D\'emonstration\quad}}{\hfill $\square$ \vspace{2ex}\par}

%*************************************************************
\begin{document}
\section{Le th\'eor\`eme de Blackers-Massey}

Soit $(X,A)$ une paire de CW-complexes $m$-connexe, $X$   de point base $x_0$. Soit $B \subset X$ un sous-CW-complexe, et $C=A \cap B$, avec $C$ sous-CW-complexe et la paire $(B,C)$ $n$-connexe.

\begin{theorem}\label{comp} L'inclusion $i$ de paires $(B,C) \ra (X,A)$ induit une application
 $$
\pi_k(B,C) \ra \pi_k(X,A)
$$

qui est un \'epimorphisme d'ensembles relatifs
si $k \leq m+n$, un isomorphisme si $k <m+n$
\end{theorem}

\section{Des cas particuliers}



Soit $X$ un espace   de point base $x_0$, obtenu \`a partir d'un sous-espace $C$ ($x_0 \in C$) par adjonction d'une famille de $m+1$-cellules et d'une de $n+1$-cellules.  Soient  $A \subset X$   obtenu \`a partir de $C$ par attachement des cellules de la premi\`ere famille, $B \subset X$   obtenu \`a partir de $C$ par attachement des cellules de la seconde. On peut avoir $m=n$.

\begin{theorem}\label{comp} L'inclusion $i$ de paires $(B,C) \ra (X,A)$ induit une application
 $$
\pi_k(B,C) \ra \pi_k(X,A)
$$

qui est un \'epimorphisme d'ensembles relatifs
si $k \leq m+n$, un isomorphisme si $k <m+n$
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{comp} L'inclusion $i$ de paires $(B,C) \ra (X,A)$ induit une application
 $$
\pi_k(B,C) \ra \pi_k(X,A)
$$

qui est un \'epimorphisme d'ensembles relatifs
si $k \leq m+n$, un isomorphisme si $k <m+n$
\end{theorem}


 On traite un cas particulier :

\begin{proposition} Le th\'eor\`eme a lieu quand $X = S^{m+1} \vee S^n$, $C=*$, $A=S^{m+1}$, $B=S^{n+1}$.
\end{proposition}

\begin{lemma} Le produit $X = S^{m+1} \times S^{n+1}$ auquel on a enlev\'e un point se r\'etracte par d\'eformation sur $X = S^{m+1}\vee S^{n+1}$.
\end{lemma}

On peut interpr\'eter $X = S^{m+1} \times S^{n+1}$ comme un quotient appropri\'e de $D^{m+1} \times D^{n+1} \subset \R^{m+1} \times \R^{n+1}$.  On
enl\`eve l'origine \`a cet espace, on peut alors faire une homotopie lin\'eaire entre l'identit\'e et la projection radiale (depuis l'origine) sur le bord fournit
une r\'etraction par d\'eformation sur le bord. On v\'erifie  qu'elle passe au quotient.

\begin{lemma} L'inclusion  $S^{m+1} \vee S^{n+1} \ra S^{m+1} \times S^{n+1}$  induit un \'epimorphisme sur les groupes
d'homotopie si $k \leq m+n-1$, un isomorphisme si $k < m+n+1$.
\end{lemma}

En effet si on a une application $S^k \ra S^{m+1} \times S^{n+1}$ avec $k \leq m+n+1$, par des arguments standards on peut supposer qu'elle \'evite un point, et donc la remplacer \`a homotopie pr\`es par une application \`a valeurs dans $S^{m+1} \vee S^{n+1}$
\`a cause du lemme pr\'ec\'edent. Ceci donne la surjectivit\'e, pour la bijectivit\'e, il faut avoir $k < m+n-1$ pour ramener les homotopies dans $S^k \ra S^{m+1} \times S^{n+1}$ priv\'e d'un point.

\begin{lemma} L'inclusion  $S^{m+1} \vee S^{n+1} \ra S^{m+1} \times S^{n+1}$  induit une bijection si $k \leq m+n$  sur les ensembles relatifs
$$
  \pi_k (S^m) \ra \pi_k(S^{m+1} \vee S^{n+1}, S^{n+1})
$$

\end{lemma}

On peut d'apr\`es les lemmes pr\'ec\'edents, dans les dimensions consid\'er\'ees, remplacer $S^{m+1} \vee S^{n+1}$ par $S^{m+1} \times S^{n+1}$. La projection sur le facteur $S^{n+1}$ peut alors \^etre d\'eform\'e en l'application constante utilisant la convexit\'e de $D^k$ (attention le bord $S^{k-1}$ de $D^k$ doit durant la d\'eformation \^etre envoy\'e dans $S^{n+1}$,

\begin{lemma} On a pour tout $X$ et tout $Y$ et tout $k$ un isomorphisme induit par la premi\`ere projection :
$$
\pi_k(X \times Y, Y) \cong \pi_k(X)
$$

\end{lemma}

On consid\`ere l'inclusion de paires $i \, :\, (X,x_0) \ra (X \times Y,Y) \vee Y)$, puis la projection
$(X \times Y,Y) \vee Y \ra (X,x_0)$.
La surjectivit\'e est alors  claire (l'inclusion  dans le produit donne une section \`a la projection). Pour ce qui est de l'injectivit\'e, il suffit de montrer que $i_*$ est surjective. La seconde projection avec la convexit\'e de $D^k$ montrer que toute application  $\alpha \, : \, (D^k,S^{k-1}) \ra (X \times Y,)$ peut \^etre d\'eform\'ee en une application dans l'image de $i_*$ par l'homotopie
 $$
 v \mapsto (p_1 \circ \alpha (v), p_2 \circ \alpha (ue_1+(1-u)v)
$$
ici  $u$ est le param\`etre de d\'eformation et l'extr\'emit\'e du vecteur de base $e_1$ est choisi comme point base de $D^{k}$. On notera le point important : l'image de $S^{k-1}$ reste dans $Y \subset X \times Y$ pour tout $u$.



\vskip 5mm

Ceci \'etant en appliquant cette homotopie au cas qui nous int\'eresse on doit prendre garde \`a ce qu'elle reste \`a valeurs dans $S^{m+1} \times S^{n+1}$ priv\'e d'un point. A cet effet il est n\'ecessaire d'avoir $k+1 \leq m+n+1$. Pour obtenir l'injectivit\'e de mai\`ere analogue il faut avoir $k+2 \leq m+n+1$.

\vskip 5mm


Dans une seconde \'etape on fait le m\^eme travail mais en rempla\c{c}ant $S^{m+1}$ par un bouquet de sph\`eres $S^{m+1}$. Tout fonctionne \`a l'identique.

\vskip 5mm


\section{Cas g\'en\'eral I}

On notera $e^m$ et $e^n_\alpha $ les cellules ouveertes adjointes pour passer de $C$ \`a $A$ et $B$.

Comme dans la d\'emonstration du th\'eor\`eme de compression on identifie $D^k$ \`a $\Delta^k$ et $\partial \Delta^{k-1}$
\`a $\partial \Delta^k$ et on fait des subdivisions barycentriques it\'er\'ees. On peut alors supposer
que les simplexes de la subdivision dont l'image est d'intersection non vide avec $d^{m+1} \subset e^{m+1}$ (boule ouverte de centre l'origine  de rayon $1/2$) ont leur image dans $e^{m+1}$. On peut supposer de m\^eme pour les simplexes dont l'image ont  une intersection non vide avec $d^{n+1}_\alpha \subset e^{n+1}_\alpha$. On peut de plus supposer que sur ces simplexes l'application est affine.

On notera qu'\'evidemment la famille des simplexes dont l'image est d'intersection non vide avec un $d^{n+1}_\alpha$ est disjointe de celle dont l'image est d'intersection non vide avec  $d^n$.

On va maintenant supposer que $k \geq {m+1}$, en effet sinon le th\'eor\`eme est cons\'equence de r\'esultats ant\'erieurs, sauf pour l'injectivit\'e en dimension $m$ qui ressort de l'arguement ci-dessous..

\begin{lemma}
On peut supposer que les applications affines (\`a valeurs dans $e^{m+1}$) consid\'er\'ees ci-dessus sont surjectives.
\end{lemma}

Soit l'unique application affine  $\Delta^k \ra \R^{m+1}$, d\'etermin\'ee par la donn\'ee des images des $k+1$ sommets de $\Delta^k$. Un argument classique montre que  l'ensemble des familles de $(k+1)$-points pour lesquelles l'application est surjective est un ouvert partout dense de $(\R^{m+1})^{k+1}$. On \'etend ais\'ement \`a une famille finie de simplexes.



Choisissons $q \in d^{m+1}$ et $p_\alpha \in d^{m+1}_\alpha$. L'image inverse par $f \, : \, (\Delta^k,\partial \Delta^{k-1}) \ra (X,A)$
de $q$ est donc un poly\`edre compact contenu dans une r\'eunion de sous-espaces affines de dimension $k-m-1$.

 Consid\'erons le c\^one $S \subset \Delta^k$ qui est  r\'eunion de tous les segments d'origine le point base   et d'extr\'emit\'e un point dans $f^{-1}(q)$. C'est  un sous-ensemble dans une r\'eunion de sous-espaces affines de dimension $k-m$.

 Consid\'erons le sous-espace $S'=f(S) \cap (\coprod d^{n+1}_\alpha)$. Sur $f^{-1}(\coprod d^{n+1}_\alpha)$ $f$ est affine par morceaux, donc $S'$ est contenu  dans une r\'eunion de sous-espaces affines de dimension $k-m$. Maintenant $S'$
 est un sous-ensemble d'une r\'eunion disjointe d'espaces $\R^{m+1}$. Or on a $k -m < n+1$ par hypoth\`ese, donc tout sous-ensemble d'int\'erieur non vide de $d^{n+1}_\alpha$ ne peut \^etre contenu dans $C'$. Donc dans chaque
 cellule $d^{m+1}_\alpha$ il y a au moins un point qui n'est pas dans $S'$. On peut supposer que c'est $p_\alpha$.

 Autrement dit l'image $f(S)$ est contenu dans $X\backslash\{p_\alpha\}$ qui se r\'etracte par d\'eformation sur $A$.

 En composant par la r\'etraction la formule ci-dessus donne donc une homotopie de $f_{|f^{-1}(\{q\}}$ \`a l'application constante.

 Soit $V$ le sous-espace de $\Delta^k$ constitu\'e par la r\'eunion des simplexes d'intersection non vide avec $f^{-1}(q)$, $f^{-1}(q)$ est contenu dans l'int\'erieur de $V$. Soit $T$ le c\^one sur $V$, on peut supposer (quitte  \`a resubdiviser les simplexes) que $f(D)$ ne rencontre pas les $p_\alpha$.

 On a donc une application de $H= V \times I \cup \partial \Delta^{k}\backslash \stackrel{\circ}V \times I$ dans $X$ qui \'evite $q$ et les $p_\alpha$. On peut la r\'etracter en une application dans $A\backslash\{q\}$. Comme l'inclusion $H \subset V \times I \cup \partial \Delta^{k-1}\times I \backslash \stackrel{\circ}V$ est une cofibration, on peut \'etendre en une application de $V \times I \cup \partial \Delta^{k}\times I \backslash \stackrel{\circ}V \times I$ dans $X\backslash\{p_\alpha\}$. Ensuite $$V \times I \cup \partial \Delta^{k}\times I \backslash \stackrel{\circ}V \cup \Delta^k \subset \Delta^k \times I \backslash \stackrel{\circ}V \times I$$ est une cofibration, on peut \'etendre l'application  (qui cette fois ci est \`a valeurs dans $X\backslash\{q\}$.

L'application ainsi d\'efinie sur $(\Delta^k \backslash \stackrel{\circ} V ) \times I$ se recolle avec l'application initiale
sur $V \times I$ le long de leur frontière commune $\partial V \times I$ , en une homotopie \`a valeurs dans $(X,X\backslash \{p_\alpha\}$ (que l'on peut donc r\'etracter sur $(X,A)$) et qui \`a son  terme \'evite $q$, donc que
l'on peut r\'etracter sur $(B,C)$.

\begin{figure}
  \includegraphics[width=400pt]{BM1.pdf}\\
   \caption{1}\label{}
\end{figure}

\begin{figure}
  \includegraphics[width=400pt]{BM2.pdf}\\
   \caption{1}\label{}
\end{figure}

 
\begin{figure}
  \includegraphics[width=400pt]{BM2.pdf}\\
   \caption{1}\label{}
\end{figure}

















\end{document}






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\begin{thebibliography}{10}
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\noindent LAGA, Universit\'e de Paris XIII, 93430 Villetaneuse,
France\\\ \ tran@math.univ-paris13.fr

\end{document}