\documentclass[12pt]{letter}
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\def\F{{\bf F}_2}

\def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptstyle\langle\!\langle$}}
\def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptstyle\,\rangle\!\rangle$}}
\def\Def#1#2{{\bf D\'efinition~{#1}.{#2}~:~}}
\def\Prop#1#2{{\bf Proposition~{#1}.{#2}~:~}}
\def\Ex{{\bf Exemples~:~}}
\def\Not#1#2{{\bf Notation~{#1}.{#2}~:~}}
\def\Dem{{\bf D\'emonstration~:~}}
\def\Sec{{\bf }}
\def\Cor#1#2{{\bf Corollaire~{#1}.{#2}~:~}}
\def\TH#1#2{{\bf Th\'eor\`eme~{#1}.{#2}~:~}}
\def\LM#1#2{{\bf Lemme~{#1}.{#2}~:~}}
\def\exo{\bf Exercices}
\def\R{{\bf R}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\F{{\bf F}}
\def\C{{\bf C}}
\def\K{{\bf K}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\N{{\bf N}}
\def\Gln{GL(n,{\bf R})}
\def\card{{\rm Card}}
\def\num#1#2{{\bf {#1}.{#2}}}
\def\Sn{{\cal S}_n}
\font\twrm=cmr10 scaled 1200


\def\lmn{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}\def\amn{\aplha_1,\ldots,\alpha_n}
\def\aamn{\alpha'_1,\ldots,\alpha'_n}\def\amk{\alpha_1,\ldots,\alpha_k}
\def\bmk{\beta_1,\ldots,\beta_k}\def\gn{\{x_1,\ldots,x_n\}}
\def\ker{{\bf Ker}}
\def\im{{\bf Im}}
\def\V{\mathbf V}

\def\ov{\overbrace}
\def\cF{\cal C}



\def\U{{\cal U}}
\def\A{{\cal A}_2}



\def\Z{{\bf Z}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\R{{\bf R}}
\def\F{{\bf F}}

\def\ra{\rightarrow}
\begin{document}{
\center
 {\bf  R\'ef\'erences pour le cours de M1 et exrcices}
   \vskip 5mm
  {
  }
 \medskip
 \endcenter}
\def\ra{\longrightarrow}

\def\lam{\lambda}
%\noindent

R\'ef\'erences

\begin{itemize}
\item Topologie g\'en\'erale : topologie quotient, connexit\'e par arcs, Godbillon, El\'ements de Topologie alg\'ebrique (Hermann) Chapitre 1.
\item Topologie : limite directe : M. Zisman, Topologie alg\'ebrique \'el\'ementaire Chapitre 3, section 2;  G. Whitehead, Elments of Homotopy theory Chapter 1, section 6; Spanier, Algebraic Topology Section 2.
    \item Topologie g\'en\'erale : Espaces fonctionnels, Spanier, Introduction, Section 2.; Whitehead, Chapter 1, section 4.
        \item Cat\'egories : S. MacLane Categories for the working mathematician, Chapter 1, Chapter 1, Section 1 and 2, Chapter 4, Section 1 and 2; Spanier Chapter 1, Section 1 and 2.
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item Groupe fondamental et rev\^etements : Godbillon, Parties 1 et 2;
\item Gramain, Topologie des surfaces, chapitres 1 et 2;
 \item
 Zisman, chapitre 2 (groupoîde fondamental ou de Poincar\'e et th\'eor\`eme de Van Kampen);
 \item Whitehead, Chapter 3 sections 1 to 5;
 \item Spanier Chapters 1 and 2;
 \item Greenberg, Algebraic topology, Part 1.
\end{itemize}

Exercices

\textbf{1.} Ecrire la d\'emonstration du lemme de Yoneda en d\'etails : Soit $F$ un foncteur d'une cat\'egorie $\mathcal C$ vers la cat\'egorie des ensembles. Soit $A \in \mathcal C$, alors il existe une bijection entre l'ensemble des transformations naturelles du foncteur
$$
M \mapsto {\rm Hom}_{\mathcal C}(A,M)
$$
vers le foncteur $F$ et l'ensemble $F(A)$.


\vskip 3mm
\textbf{2.} V\'erifier en d\'etails les propri\'et\'es de l'unit\'e et de la co-unit\'e de l'adjonction pour des foncteurs adjoints (voir MacLane).

\textbf{3.} Montrer que la sph\`ere $S^\infty$ est contractile.

\vskip 3mm
\textbf{4.} Montrer que le quotient de $\R^n$ par un arc simple diff\'erentiable plong\'e ({\it i.e.} une image bijective lisse de $[0,1]$ est hom\'eomorphe \`a $\R^n$. On pourra se restreindre au cas lin\'eaire.

\vskip 3mm
\textbf{5.} Montrer que la smash-produit de $S^n$ par $S^m$ est hom\'eomorphe \`a $S^{n+m}$.

\vskip 3mm
\textbf{6.} Montrer que toute application continue de $S^1$ dans
$S^1$ qui n'a pas de points fixes est homotope librement \`a
l'identit\'e.


\vskip 3mm



\textbf{7.} On appelle c\^one d'un espace point\'e $(X,x_0)$ le
quotient de $X \times [0,1]$ par la relation qui identifie en un
point les points $(x,1)$ ($\forall x \in X$) et $(x_0,t)$, $0 \leq t
\leq 1$. Ce point sera le point base du c\^one. On le notera $CX$.


Montrer que l'application identit\'e d'in c\^one est homotope
(point\'ee) \`a l'application constante au point base (Un tel espace
est dit contractile). En d\'eduire que le groupe fondamental du
c\^one est trivial.


\vskip 3mm
\textbf{8.} On appelle suspension d'un espace point\'e $(X,x_0)$ le
quotient de $X \times [0,1]$ par la relation qui identifie en un
point les points $(x,1)$, $(x,0)$, ($\forall x \in X$) et $(x_0,t)$,
$0 \leq t \leq 1$. Ce point sera le point base de le suspension. On
notera $\Sigma X$ la suspension de $X$. Montrer que $\Sigma S^{n-1}$
est hom\'eomorphe \`a $S^n$.

\vskip 3mm

\textbf{9.} Soit $P$ un polyn\^ome \`a coefficients complexes qui
n'a pas de racines sur $S^1$. Montrer que le nombre de racines de
$P$ (compt\'ees avec multiplicit\'e) de module strictement
inf\'erieur \`a $1$ est le degr\'e de l'application de $S^1$ dans
$S^1$ donn\'e par $z \mapsto \frac{P(z)}{|P(z)|}$.






\vfill\eject
\end{document}
