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\begin{document}{
\center
 {\bf  R\'ef\'erences pour le cours de M1 et exercices}
   \vskip 5mm
  {
  }
 \medskip
 \endcenter}
\def\ra{\longrightarrow}

\def\lam{\lambda}
%\noindent

R\'ef\'erences


\begin{itemize}
\item Groupe fondamental et rev\^etements : Hatcher Chapitre 1 Sections 1, 2 et 3.

\end{itemize}

Exercices

\textbf{1.} Th\'eor\`eme de Borsk-Ulam. Montrer que pour toute application $f$ de $S^2$ dans $\R^2$  au moins deux points antipodaux ont m\^eme image. On raisonnera par l'absurde et on consid\`erera l'application
$$
s \mapsto \frac{f(s)-f(-s)}{||f(s)-f(-s)||}
$$
$s\in S^2$. On en consid\`erera la restriction \`a un \'equateur de la sph\`ere, on montrera que cette restriction est non-triviale comme classe d'homotopie de $S^1$ dans $S^1$.
\vskip 3mm

\textbf{2.} Le th\'eor\`eme de Borsuk-Ulam a t'il lieu pour un tore?
\vskip 3mm



\textbf{3.} Montrer que si $S^2$ est r\'eunion de $3$ ferm\'es, l'un au moins contient $2$ points antipodaux.

\vskip 3mm

\textbf{4.} Montrer qu'un graphe est homotopiquement \'equivalent \`a
un bouquet de cercles.


\textbf{5.} Montrer que si $A \subset X$ est r\'etracte par d\'eformation de $X$, on a $\pi_1(A,x_0) \cong \pi_1(X,x_0)$, avec $x_0 \in A$.

\vskip 3mm
\textbf{6.} Construire une infinit\'e de r\'etractions non homotopes de $S^1 \bigvee S^1$ vers $S^1$.
\vskip 3mm
\textbf{7.} Soit un espace $Y$ est de la forme suivante : $X \cup D^n/~$, avec $n \geq 2$ et  le quotient identifie tout point $x \in S^{n-1} \subset D^n$ avec son image $f(x)$ par une application $f\, : \, S^{n-1} \ra X$.  Alors $\pi_1(X,x_0) \ra
\pi_1(X,x_0)$ est surjectif. Que se passe t'il si $n\geq 3$?

\vskip 3mm

\textbf{8.} Montrer que l'espace $S^1 \times S^1$ auquel on a
enlev\'e un point est homotopiquement \'equivalent au bouquet de
deux cercles.

\vskip 3mm


\textbf{9.} Montrer que pour tout groupe $G$ il existe un e'space topologique $X_G$ dont le groupe fondamental est isomorphe \`a $G$. Qu'en est il des $\pi_n$, $n \geq 2$?


\vskip 3mm
\textbf{10.} Montrer que la suspension d'un espace connexe est simplement connexe.
\vskip 3mm

\textbf{11.} Montrer que le sous-espace de $\R^3$ qui est r\'eunion de sph\`eres de rayon $\frac{1}{n}$ et de centre $(\frac{1}{n},0,0)$ est simplement connexe.

\vskip 3mm

\textbf{12.} Le joint $X*Y$ de deux espaces $X$ et $Y$ est le quotient de $X \times [0,1] \times Y$ par la relation qui identifie

\begin{itemize}
\item
\`a $x \in X$ donn\'e, $(x,0,y)$ et $(x,0,y')$ pour tous $y, y' \in Y$;
\item
\`a $y \in X$ donn\'e ,$(x,1,y)$ et $(x',1,y)$ pour tous $x,x' \in X$.
\end{itemize}

Montrer que $S^n *S^m $ est hom\'eomorphe \`a $S^{n+m+1}$.

Montrer que le joint de deux espaces  est simplement connexe d\`es que l'un des espaces l'est.


Comparer le joint $X*Y$ avec $\Sigma X \wedge Y$.


\vskip 3mm

\textbf{13.} Montrer que la suspension de $\Sigma(X \times Y)$ est homotopiquement \'equivalente
\`a $$\Sigma X \bigvee \Sigma Y \bigvee \Sigma X \wedge Y$$

\vskip 3mm

\textbf{14.} On appelle fibr\'e de Hopf  sur $\R\P^n$, et on note
$\lambda_n$, le sous-espace de $\R\P^n \times \R^{n+1}$ constitu\'e
par les \'el\'ements $(L,v)$ o\`u $L$ est un sous-espace de
dimension $1$ de $\R^{n+1}$ et $v \in L$. On note $p$ l'application
de $\lambda_n$ vers $\R\P^n$ qui \`a $(L,v)$ associe $L$.

Montrer que $p^{-1}(\R\P^n-\R\P^{n-1})$ est hom\'eomorphe \`a $\R^n
\times \R$.



On met sur $\R^{n+1}$ le produit scalaire standard. Soit
$D(\lambda_n)$ l'ensemble des $(L,v)$ avec $|v| \leq 1$, et
$S(\lambda_n)$ l'ensemble des $(L,v)$ avec $|v| =1$.  Montrer que
l'espace  $D(\lambda_n)/S(\lambda_n)$ est hom\'eomorphe \`a
$\R\P^{n+1}$.

Montrer que le compactifi\'e d'Alexandroff de $\lambda_n$ est
hom\'eomorphe \`a $\R\P^{n+1}$.\vskip 3mm

\vskip 3mm \textbf{15.} Fibr\'e tangent \`a $\R\P^n$.  On suppose
connu dans cet exercice la notion de fibr\'e tangent \`a une
vari\'et\'e diff\'erentiable.

On note $p$ la projection canonique de$T\R\P^n \times \R$ sur
$\R\P^n$.

On rappelle l'espace $\lambda_n$ et sa projection $p$ sur $\R\P^n$.
On d\'efinit $(n+1)\lambda_n$ par
$$
\{(L,v_1,\ldots,v_{n+1})| \, v_i \in L \; \; \forall i\}
$$
on notera $\pi$ la projection canonique sur $\R\P^n$.

Montrer qu'il existe un un hom\'eomorphisme $h$ de $T\R\P^n \times
\R$ avec $(n+1)\lambda_n$ tel que $\pi \circ \alpha = p$ - o\`u et
$\alpha$ restreinte \`a $p^{-1}(x)$ est un isomorphisme lin\'eaire
sur $\pi^{-1}(x) \cong  \R^{n+1}$ pour tout $x \in \R\P^n$.

\vskip 3mm \textbf{16.} D\'ecrire les rev\^etements à $2$ feuillets d'un bouquet de cercles.
\vskip 3mm \textbf{17.}  D\'ecrire le rev\^etement universel du bouquet d'un
cercle et d'une sph\`ere de dimension $2$.
\vskip 3mm \textbf{18.}Donner le nombre de rev\^etements galoisiens \`a $6$
feuillets d'un bouquet de deux cercles dont le groupe des
automorphismes est commutatif, puis non commutatif. Donner quelques
exemples dans chaque cas.

On observera que si on a un rev\^etement galoisien $E$  d'un espace
$B$ le quotient le quotient de $E$ par le sous-groupe \`a $3$
\'el\'ements du groupe d'automorphismes est un rev\^etement
galoisien \`a $2$ feuillets de $B$. Puis on  regardera les
rev\^etements galoisiens \`a $3$ feuillets d'un bouquet de trois
cercles  (faire l'analyse qui a \'et\'e faite pour $2$ feuillets).
\vskip 3mm \textbf{19.}
Soit $P$ un polyn\^ome \`a coefficients complexes, de
degr\'e $n$. On consid\`ere le sous-ensemble $\mathcal{S}$ suivant
de $\C \times \C$
$$
\{(\alpha ,u)| \; \; P(\alpha)=u \}
$$
Soit $D$ l'ensemble des complexes $a$ pour lesquels le discriminant
du polyn\^ome $P-a$ est nul. Montrer que l'application $\pi \, : \,
\mathcal{S}\ra {\bf C}, \, \,  (\alpha,u) \mapsto u$ d\'efinit un
rev\^etement $\pi^{-1}(\C\backslash D) \ra \C\backslash D$.

D\'ecrire $D$.

Montrer que si on prend $P= z^k$ l'espace total obtenu est
homotopiquement \'equivalent \`a un cercle. Qu'en est il si on prend
$P=z^2-z$?
\vskip 3mm \textbf{20.}Soit $\Gamma$ un graphe fini connexe. On d\'efinit les
quantit\'es suivantes : $b_0$ le nombre de sommets de $\Gamma$,
$b_1$ le nombre d'ar\^etes de $\Gamma$, $\chi (\Gamma)=b_0-b_1$, la
connectivit\'e de $\Gamma$, $c(\Gamma)$ qui est le plus grand nombre
d'ar\^etes ouvertes que l'on peut enlever \`a $\Gamma$ en le
laissant connexe.

Montrer par r\'ecurrence que
$$
\chi (\Gamma)=1-c(\Gamma)
$$


Montrer que le groupe fondamental de $  \Gamma$ a $c(\Gamma)$
g\'en\'erateurs.

Soit $  \Gamma$ de connectivit\'e $n$ et $\tilde  \Gamma$ un
rev\^etement connexe \`a $m$-feuillets. Quelle est sa
connectivit\'e?

D\'emontrer qu'un sous-groupe distingu\'e non-trivial $H$ d'un
groupe libre qui est d'indice infini ne peut \^etre finiment
engendr\'e.

\vskip 3mm \textbf{21.}
Quel est le rev\^etement
universel de ${\rm SO}(3)$?  Quel est le rev\^etement universel de
${\rm SO}(4)$?
\vskip 3mm \textbf{22.}
D\'emontrer qu'un sous-groupe distingu\'e non-trivial $H$ d'un
groupe libre qui est d'indice infini ne peut \^etre finiment
engendr\'e.





\vfill\eject
\end{document}
