\documentclass[12pt]{letter} %\usepackage{graphics} %\usepackage{color} %\usepackage[french]{babel} %\usepackage{french} %\begin{document} \vfuzz2pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small \hfuzz2pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small \parindent 0mm \textwidth 16cm \textheight 22cm \topmargin 0cm \oddsidemargin 0mm \marginparsep 0cm \headheight 5mm \parindent 0mm \def\F{{\bf F}_2} \def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptstyle\langle\!\langle$}} \def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptstyle\,\rangle\!\rangle$}} \def\Def#1#2{{\bf D\'efinition~{#1}.{#2}~:~}} \def\Prop#1#2{{\bf Proposition~{#1}.{#2}~:~}} \def\Ex{{\bf Exemples~:~}} \def\Not#1#2{{\bf Notation~{#1}.{#2}~:~}} \def\Dem{{\bf D\'emonstration~:~}} \def\Sec{{\bf }} \def\Cor#1#2{{\bf Corollaire~{#1}.{#2}~:~}} \def\TH#1#2{{\bf Th\'eor\`eme~{#1}.{#2}~:~}} \def\LM#1#2{{\bf Lemme~{#1}.{#2}~:~}} \def\exo{\bf Exercices} \def\R{{\bf R}} \def\Z{{\bf Z}} \def\F{{\bf F}} \def\C{{\bf C}} \def\P{{\bf P}} \def\Q{{\bf Q}} \def\N{{\bf N}} \def\Gln{GL(n,{\bf R})} \def\card{{\rm Card}} \def\num#1#2{{\bf {#1}.{#2}}} \def\Sn{{\cal S}_n} \font\twrm=cmr10 scaled 1200 \def\lmn{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}\def\amn{\aplha_1,\ldots,\alpha_n} \def\aamn{\alpha'_1,\ldots,\alpha'_n}\def\amk{\alpha_1,\ldots,\alpha_k} \def\bmk{\beta_1,\ldots,\beta_k}\def\gn{\{x_1,\ldots,x_n\}} \def\ker{{\bf Ker}} \def\im{{\bf Im}} \def\V{\mathbf V} \def\ov{\overbrace} \def\cF{\cal C} \def\U{{\cal U}} \def\A{{\cal A}_2} \def\Z{{\bf Z}} \def\Q{{\bf Q}} \def\R{{\bf R}} \def\F{{\bf F}} \def\ra{\rightarrow} \begin{document}{ \center {\bf R\'ef\'erences pour le cours de M1 et exercices} \vskip 5mm { } \medskip \endcenter} \def\ra{\longrightarrow} \def\lam{\lambda} %\noindent R\'ef\'erences \begin{itemize} \item Groupe fondamental et rev\^etements : Hatcher Chapitre 1 Sections 1, 2 et 3. \end{itemize} Exercices \textbf{1.} Th\'eor\`eme de Borsk-Ulam. Montrer que pour toute application $f$ de $S^2$ dans $\R^2$ au moins deux points antipodaux ont m\^eme image. On raisonnera par l'absurde et on consid\`erera l'application $$ s \mapsto \frac{f(s)-f(-s)}{||f(s)-f(-s)||} $$ $s\in S^2$. On en consid\`erera la restriction \`a un \'equateur de la sph\`ere, on montrera que cette restriction est non-triviale comme classe d'homotopie de $S^1$ dans $S^1$. \vskip 3mm \textbf{2.} Le th\'eor\`eme de Borsuk-Ulam a t'il lieu pour un tore? \vskip 3mm \textbf{3.} Montrer que si $S^2$ est r\'eunion de $3$ ferm\'es, l'un au moins contient $2$ points antipodaux. \vskip 3mm \textbf{4.} Montrer qu'un graphe est homotopiquement \'equivalent \`a un bouquet de cercles. \textbf{5.} Montrer que si $A \subset X$ est r\'etracte par d\'eformation de $X$, on a $\pi_1(A,x_0) \cong \pi_1(X,x_0)$, avec $x_0 \in A$. \vskip 3mm \textbf{6.} Construire une infinit\'e de r\'etractions non homotopes de $S^1 \bigvee S^1$ vers $S^1$. \vskip 3mm \textbf{7.} Soit un espace $Y$ est de la forme suivante : $X \cup D^n/~$, avec $n \geq 2$ et le quotient identifie tout point $x \in S^{n-1} \subset D^n$ avec son image $f(x)$ par une application $f\, : \, S^{n-1} \ra X$. Alors $\pi_1(X,x_0) \ra \pi_1(X,x_0)$ est surjectif. Que se passe t'il si $n\geq 3$? \vskip 3mm \textbf{8.} Montrer que l'espace $S^1 \times S^1$ auquel on a enlev\'e un point est homotopiquement \'equivalent au bouquet de deux cercles. \vskip 3mm \textbf{9.} Montrer que pour tout groupe $G$ il existe un e'space topologique $X_G$ dont le groupe fondamental est isomorphe \`a $G$. Qu'en est il des $\pi_n$, $n \geq 2$? \vskip 3mm \textbf{10.} Montrer que la suspension d'un espace connexe est simplement connexe. \vskip 3mm \textbf{11.} Montrer que le sous-espace de $\R^3$ qui est r\'eunion de sph\`eres de rayon $\frac{1}{n}$ et de centre $(\frac{1}{n},0,0)$ est simplement connexe. \vskip 3mm \textbf{12.} Le joint $X*Y$ de deux espaces $X$ et $Y$ est le quotient de $X \times [0,1] \times Y$ par la relation qui identifie \begin{itemize} \item \`a $x \in X$ donn\'e, $(x,0,y)$ et $(x,0,y')$ pour tous $y, y' \in Y$; \item \`a $y \in X$ donn\'e ,$(x,1,y)$ et $(x',1,y)$ pour tous $x,x' \in X$. \end{itemize} Montrer que $S^n *S^m $ est hom\'eomorphe \`a $S^{n+m+1}$. Montrer que le joint de deux espaces est simplement connexe d\`es que l'un des espaces l'est. Comparer le joint $X*Y$ avec $\Sigma X \wedge Y$. \vskip 3mm \textbf{13.} Montrer que la suspension de $\Sigma(X \times Y)$ est homotopiquement \'equivalente \`a $$\Sigma X \bigvee \Sigma Y \bigvee \Sigma X \wedge Y$$ \vskip 3mm \textbf{14.} On appelle fibr\'e de Hopf sur $\R\P^n$, et on note $\lambda_n$, le sous-espace de $\R\P^n \times \R^{n+1}$ constitu\'e par les \'el\'ements $(L,v)$ o\`u $L$ est un sous-espace de dimension $1$ de $\R^{n+1}$ et $v \in L$. On note $p$ l'application de $\lambda_n$ vers $\R\P^n$ qui \`a $(L,v)$ associe $L$. Montrer que $p^{-1}(\R\P^n-\R\P^{n-1})$ est hom\'eomorphe \`a $\R^n \times \R$. On met sur $\R^{n+1}$ le produit scalaire standard. Soit $D(\lambda_n)$ l'ensemble des $(L,v)$ avec $|v| \leq 1$, et $S(\lambda_n)$ l'ensemble des $(L,v)$ avec $|v| =1$. Montrer que l'espace $D(\lambda_n)/S(\lambda_n)$ est hom\'eomorphe \`a $\R\P^{n+1}$. Montrer que le compactifi\'e d'Alexandroff de $\lambda_n$ est hom\'eomorphe \`a $\R\P^{n+1}$.\vskip 3mm \vskip 3mm \textbf{15.} Fibr\'e tangent \`a $\R\P^n$. On suppose connu dans cet exercice la notion de fibr\'e tangent \`a une vari\'et\'e diff\'erentiable. On note $p$ la projection canonique de$T\R\P^n \times \R$ sur $\R\P^n$. On rappelle l'espace $\lambda_n$ et sa projection $p$ sur $\R\P^n$. On d\'efinit $(n+1)\lambda_n$ par $$ \{(L,v_1,\ldots,v_{n+1})| \, v_i \in L \; \; \forall i\} $$ on notera $\pi$ la projection canonique sur $\R\P^n$. Montrer qu'il existe un un hom\'eomorphisme $h$ de $T\R\P^n \times \R$ avec $(n+1)\lambda_n$ tel que $\pi \circ \alpha = p$ - o\`u et $\alpha$ restreinte \`a $p^{-1}(x)$ est un isomorphisme lin\'eaire sur $\pi^{-1}(x) \cong \R^{n+1}$ pour tout $x \in \R\P^n$. \vskip 3mm \textbf{16.} D\'ecrire les rev\^etements à $2$ feuillets d'un bouquet de cercles. \vskip 3mm \textbf{17.} D\'ecrire le rev\^etement universel du bouquet d'un cercle et d'une sph\`ere de dimension $2$. \vskip 3mm \textbf{18.}Donner le nombre de rev\^etements galoisiens \`a $6$ feuillets d'un bouquet de deux cercles dont le groupe des automorphismes est commutatif, puis non commutatif. Donner quelques exemples dans chaque cas. On observera que si on a un rev\^etement galoisien $E$ d'un espace $B$ le quotient le quotient de $E$ par le sous-groupe \`a $3$ \'el\'ements du groupe d'automorphismes est un rev\^etement galoisien \`a $2$ feuillets de $B$. Puis on regardera les rev\^etements galoisiens \`a $3$ feuillets d'un bouquet de trois cercles (faire l'analyse qui a \'et\'e faite pour $2$ feuillets). \vskip 3mm \textbf{19.} Soit $P$ un polyn\^ome \`a coefficients complexes, de degr\'e $n$. On consid\`ere le sous-ensemble $\mathcal{S}$ suivant de $\C \times \C$ $$ \{(\alpha ,u)| \; \; P(\alpha)=u \} $$ Soit $D$ l'ensemble des complexes $a$ pour lesquels le discriminant du polyn\^ome $P-a$ est nul. Montrer que l'application $\pi \, : \, \mathcal{S}\ra {\bf C}, \, \, (\alpha,u) \mapsto u$ d\'efinit un rev\^etement $\pi^{-1}(\C\backslash D) \ra \C\backslash D$. D\'ecrire $D$. Montrer que si on prend $P= z^k$ l'espace total obtenu est homotopiquement \'equivalent \`a un cercle. Qu'en est il si on prend $P=z^2-z$? \vskip 3mm \textbf{20.}Soit $\Gamma$ un graphe fini connexe. On d\'efinit les quantit\'es suivantes : $b_0$ le nombre de sommets de $\Gamma$, $b_1$ le nombre d'ar\^etes de $\Gamma$, $\chi (\Gamma)=b_0-b_1$, la connectivit\'e de $\Gamma$, $c(\Gamma)$ qui est le plus grand nombre d'ar\^etes ouvertes que l'on peut enlever \`a $\Gamma$ en le laissant connexe. Montrer par r\'ecurrence que $$ \chi (\Gamma)=1-c(\Gamma) $$ Montrer que le groupe fondamental de $ \Gamma$ a $c(\Gamma)$ g\'en\'erateurs. Soit $ \Gamma$ de connectivit\'e $n$ et $\tilde \Gamma$ un rev\^etement connexe \`a $m$-feuillets. Quelle est sa connectivit\'e? D\'emontrer qu'un sous-groupe distingu\'e non-trivial $H$ d'un groupe libre qui est d'indice infini ne peut \^etre finiment engendr\'e. \vskip 3mm \textbf{21.} Quel est le rev\^etement universel de ${\rm SO}(3)$? Quel est le rev\^etement universel de ${\rm SO}(4)$? \vskip 3mm \textbf{22.} D\'emontrer qu'un sous-groupe distingu\'e non-trivial $H$ d'un groupe libre qui est d'indice infini ne peut \^etre finiment engendr\'e. \vfill\eject \end{document}