\documentclass[12pt]{letter}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{color}
%\usepackage[french]{babel}

%\usepackage{french}
%\begin{document}
  \vfuzz2pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
  \hfuzz2pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
\parindent 0mm
\textwidth 16cm \textheight 22cm \topmargin 0cm \oddsidemargin 0mm
\marginparsep 0cm \headheight 5mm
\parindent 0mm


\def\F{{\bf F}_2}

\def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptstyle\langle\!\langle$}}
\def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptstyle\,\rangle\!\rangle$}}
\def\Def#1#2{{\bf D\'efinition~{#1}.{#2}~:~}}
\def\Prop#1#2{{\bf Proposition~{#1}.{#2}~:~}}
\def\Ex{{\bf Exemples~:~}}
\def\Not#1#2{{\bf Notation~{#1}.{#2}~:~}}
\def\Dem{{\bf D\'emonstration~:~}}
\def\Sec{{\bf }}
\def\Cor#1#2{{\bf Corollaire~{#1}.{#2}~:~}}
\def\TH#1#2{{\bf Th\'eor\`eme~{#1}.{#2}~:~}}
\def\LM#1#2{{\bf Lemme~{#1}.{#2}~:~}}
\def\exo{\bf Exercices}
\def\R{{\bf R}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\F{{\bf F}}
\def\C{{\bf C}}
\def\P{{\bf P}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\N{{\bf N}}
\def\Gln{GL(n,{\bf R})}
\def\card{{\rm Card}}
\def\num#1#2{{\bf {#1}.{#2}}}
\def\Sn{{\cal S}_n}
\font\twrm=cmr10 scaled 1200


\def\lmn{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}\def\amn{\aplha_1,\ldots,\alpha_n}
\def\aamn{\alpha'_1,\ldots,\alpha'_n}\def\amk{\alpha_1,\ldots,\alpha_k}
\def\bmk{\beta_1,\ldots,\beta_k}\def\gn{\{x_1,\ldots,x_n\}}
\def\ker{{\bf Ker}}
\def\im{{\bf Im}}
\def\V{\mathbf V}

\def\ov{\overbrace}
\def\cF{\cal C}



\def\U{{\cal U}}
\def\A{{\cal A}_2}



\def\Z{{\bf Z}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\R{{\bf R}}
\def\F{{\bf F}}

\def\ra{\rightarrow}
\begin{document}{
\center
 {\bf  Exercices}
   \vskip 5mm
  {
  }
 \medskip
 \endcenter}
\def\ra{\longrightarrow}

\def\lam{\lambda}
%\noindent



\textbf{1.} Une fibration  de Serre est une application $p \, : \, E \ra B$ telle que pour toute application $H \, : \, I^n \times I \ra B$ et toute application $g \, : \, I^n \ra E$ telles que $H \circ i = p \circ g$ on peut trouver un rel\`evement $\tilde H \, : \, I^n \times I \ra E$ tel que $p \circ \tilde H =H$ et $\tilde H \circ i =g$.
L'application $i$ associe \`a $x \in I^n$ $(x,0) \in I^n \times I$.
\vskip 2mm
\textbf{1.1} D\'emontrer qu'une fibration de Serre v\'erifie la propri\'et\'e de rel\`evement relative dans le sens suivant.
Si on a une application $H$ d\'efinie sur $D^n \times I$ \`a valeurs dans $B$ qui se rel\`eve sur le sous-espace
$S^{n-1} \times I$ en $G \, : \,S^{n-1} \times I \ra  E$ telle que $p \circ G =H_{S^{n-1} \times I}$. Alors il existe $\tilde H\, : \, D^n \times I \ra E$ telle que $p \circ \tilde H =H$ et $\tilde H_{S^{n-1} \times I}=G$.
\vskip 2mm

\textbf{1.2} Soit $Y$ obtenu \`a partir de $X$ par attachement d'une $n$-cellule. D\'emontrer qu'une fibration de Serre v\'erifie la propri\'et\'e de rel\`evement relative dans le sens suivant.
Si on a une application $H$ d\'efinie sur $Y \times I$ \`a valeurs dans $B$ qui se rel\`eve sur le sous-espace
$X \times I$ en $G \, : \, X \times I \ra  E$ telle que $p \circ G =H_{ X \times I}$. Alors il existe $\tilde H$ de $Y \times I \, : \, E$ telle que $p \circ \tilde H =H$ et $\tilde H_{X \times I}=G$.


\vskip 2mm

\textbf{1.3} Soit $(X,A)$ une CW-paire. D\'emontrer qu'une fibration de Serre v\'erifie la propri\'et\'e de rel\`evement  suivante :
si on a une application $H$ d\'efinie sur $X \times I$ \`a valeurs dans $B$ qui se rel\`eve sur le sous-espace
 en $G \, : \,A \times I \ra E$ telle que $p \circ G =H_{ A \times I}$ alors il existe $\tilde H$ de $X \times I \ra E$ telle que $p \circ \tilde H =H$  et $\tilde H_{A \times I}=G$.

\vskip 3mm

\textbf{3.} Soit  $p \, : \, E \ra B$ une fibration de Serre, on suppose $B$ connexe par arcs. On note $F_b$, $b \in B$,
pour le sous-espace $p^{-1}(b) \subset E$. Montrer que pour tout $b,b' \in B$ on peut trouver une application de $F_b$
dans $F_{b'}$ qui induit un isomorphisme sur les groupes d'homotopie.

\vskip 3mm

\textbf{4.} Soit $p \, : \, E \ra B$ une fibration localement triviale. C'est-\`a-dire qu'il existe un espace
$F$ tel que pour tout $b \in B$ il existe un voisinage $V_b$ pour lequel $p^{-1}(V_b)$ est hom\'eomorphe \`a $ V_b \times F$, l'hom\'eorphisme commutant au projections sur $V_b$. D�montrer qu'une fibration localement triviale est une fibration de Serre.


\textbf{5.1} D\'emontrer qu'il existe une suite exacte longue (on a omis les points base dans les groupes d'homotopie, le point base pour $B$ est $b$):
{\small $$
\ldots \ra \pi_n(F_b) \stackrel{i_*}\ra \pi_n(E)\stackrel{p_*}\ra \pi_n(B)\stackrel{\partial}\ra \pi_{n-1}(F_b)\ra \ldots
$$}
Dans cette suite $i$ et $p$ sont l'inclusion et la projection. 

L'application $\partial$ est d\'efinie comme suit, on consid\`ere une application $\alpha \, : \, (D^n, S^{n-1}) \ra (B,b)$ et un rel\`evement \`a $E$. par construction l'image de $S^{n-1}$ est dans $F_b$. On montrera que ceci d\'etermine bien un homomorphisme.

\vskip 2mm

\textbf{5.2}  Soit l'application de Hopf de $S^3$ dans $S^2$, obtenue en consid\'erant $S^2$ comme le quotient de $S^3 \subset \C^2$ par l'action des nombres complexes de module $1$. D\'eduire de la suite exacte pr\'ec\'edente qu'elle  est homotopiquement non triviale. Trouver des applications analogues de $^7$ dans $S^4$ et $S^15$ dans $S^8$.

\vskip 3mm
\textbf{6.} Calculer $\pi_1(U(n))$. On pourra commencer par montrer que $U(n)$ est hom\'eomorphe \`a $S^1 \times SU(n)$, puis
\'etudier $\pi_1(SU(n))$. On pourra utiliser la longue suite exacte \'etudi\'ee en 5.  On peut aussi chercher \`a appliquer le th\'eor\`eme de Van Kampen en d\'ecomposant $SU(n)$ en deux sous-espaces hom\'eomorphes \`a $SU(n-1) \times e^{2n-1}$ ($e^{2n-1}$ est la boule ouverte de dimension $2n-1$. Pour ce faire on utilisera l'application $SU(n-1) \ra S^{2n-1}$ qui \`a $A$ associe $Ae_1$ ($e_1$ est le premier vecteur de la base canonique).
\vskip 3mm
\textbf{7.} Calculer $\pi_1(SO(n))$. On  commencera par montrer que $SO(3)$ est hom\'eomorphe \`a $\R\P^3$. Puis on proc\'edera comme dans l'exercice pr\'ec\'edent.

\vskip 3mm

\textbf{8.} Le tore (ou bouteille) de Klein est la quotient de $\R^2$ par le sous-groupe $G$ des applications affines engendr\'ees par   $a \, : \, (x,y) \mapsto (-x,y+1)$ et $b \, : \, (x,y) \mapsto (x+1,y)$. Montrer que $bab=b$.

\vskip 2mm

\textbf{8.1} Montrer que $\R^2 \ra \R^2/G$ est un rev\^etement.

\vskip 2mm

\textbf{8.2} Montrer que le sous-groupe $\Gamma \subset G$ engendr\'e par $b$ est normal et que $G/\Gamma \cong \Z$.

\vskip 2mm

\textbf{8.2} Montrer que les sous-groupes de $G$ sont :
 \begin{itemize}
   \item soit cyclique, engendr\'e par un \'el\'ement $a^mb^n$, on notera $H_{m,n}$;
   \item  soit ont deux g\'en\'erateurs $a^mb^n$ et $b^p$, avec $m \not = 0$, $p>0$, et $0\leq n <p$, on notera $K_{m,n,p}$.
 \end{itemize}



\vskip 2mm

\textbf{8.2} D\'eterniner les sous-groupes normaux et les rev\^etements galoisiens associ\'es. En particulier
dans le cas des sous-groupes $H_{m,n}$ (resp. $K_{m,n,p}$) d\'ecrire topologiquement les espaces quotients $\R^2/H_{m,n}$
(resp. $\R^2/K_{m,n,p}$) et montrer
qu'\`a hom\'eomorphisme pr\`es ils ne d\'ependent que de la parit\'e de $m$.

\vskip 2mm
\textbf{8.2} D\'eterniner le nombre de feuillets du rev\^etement  $\R^2/K_{m,n,p}\ra \R^2/G$.




\vfill\eject
\end{document}
