\documentclass[12pt]{letter} %\usepackage{graphics} %\usepackage{color} %\usepackage[french]{babel} %\usepackage{french} %\begin{document} \vfuzz2pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small \hfuzz2pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small \parindent 0mm \textwidth 16cm \textheight 22cm \topmargin 0cm \oddsidemargin 0mm \marginparsep 0cm \headheight 5mm \parindent 0mm \def\F{{\bf F}_2} \def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptstyle\langle\!\langle$}} \def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptstyle\,\rangle\!\rangle$}} \def\Def#1#2{{\bf D\'efinition~{#1}.{#2}~:~}} \def\Prop#1#2{{\bf Proposition~{#1}.{#2}~:~}} \def\Ex{{\bf Exemples~:~}} \def\Not#1#2{{\bf Notation~{#1}.{#2}~:~}} \def\Dem{{\bf D\'emonstration~:~}} \def\Sec{{\bf }} \def\Cor#1#2{{\bf Corollaire~{#1}.{#2}~:~}} \def\TH#1#2{{\bf Th\'eor\`eme~{#1}.{#2}~:~}} \def\LM#1#2{{\bf Lemme~{#1}.{#2}~:~}} \def\exo{\bf Exercices} \def\R{{\bf R}} \def\Z{{\bf Z}} \def\F{{\bf F}} \def\C{{\bf C}} \def\P{{\bf P}} \def\Q{{\bf Q}} \def\N{{\bf N}} \def\Gln{GL(n,{\bf R})} \def\card{{\rm Card}} \def\num#1#2{{\bf {#1}.{#2}}} \def\Sn{{\cal S}_n} \font\twrm=cmr10 scaled 1200 \def\lmn{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}\def\amn{\aplha_1,\ldots,\alpha_n} \def\aamn{\alpha'_1,\ldots,\alpha'_n}\def\amk{\alpha_1,\ldots,\alpha_k} \def\bmk{\beta_1,\ldots,\beta_k}\def\gn{\{x_1,\ldots,x_n\}} \def\ker{{\bf Ker}} \def\im{{\bf Im}} \def\V{\mathbf V} \def\ov{\overbrace} \def\cF{\cal C} \def\U{{\cal U}} \def\A{{\cal A}_2} \def\Z{{\bf Z}} \def\Q{{\bf Q}} \def\R{{\bf R}} \def\F{{\bf F}} \def\ra{\rightarrow} \begin{document}{ \center {\bf Exercices} \vskip 5mm { } \medskip \endcenter} \def\ra{\longrightarrow} \def\lam{\lambda} %\noindent \textbf{1.} Une fibration de Serre est une application $p \, : \, E \ra B$ telle que pour toute application $H \, : \, I^n \times I \ra B$ et toute application $g \, : \, I^n \ra E$ telles que $H \circ i = p \circ g$ on peut trouver un rel\`evement $\tilde H \, : \, I^n \times I \ra E$ tel que $p \circ \tilde H =H$ et $\tilde H \circ i =g$. L'application $i$ associe \`a $x \in I^n$ $(x,0) \in I^n \times I$. \vskip 2mm \textbf{1.1} D\'emontrer qu'une fibration de Serre v\'erifie la propri\'et\'e de rel\`evement relative dans le sens suivant. Si on a une application $H$ d\'efinie sur $D^n \times I$ \`a valeurs dans $B$ qui se rel\`eve sur le sous-espace $S^{n-1} \times I$ en $G \, : \,S^{n-1} \times I \ra E$ telle que $p \circ G =H_{S^{n-1} \times I}$. Alors il existe $\tilde H\, : \, D^n \times I \ra E$ telle que $p \circ \tilde H =H$ et $\tilde H_{S^{n-1} \times I}=G$. \vskip 2mm \textbf{1.2} Soit $Y$ obtenu \`a partir de $X$ par attachement d'une $n$-cellule. D\'emontrer qu'une fibration de Serre v\'erifie la propri\'et\'e de rel\`evement relative dans le sens suivant. Si on a une application $H$ d\'efinie sur $Y \times I$ \`a valeurs dans $B$ qui se rel\`eve sur le sous-espace $X \times I$ en $G \, : \, X \times I \ra E$ telle que $p \circ G =H_{ X \times I}$. Alors il existe $\tilde H$ de $Y \times I \, : \, E$ telle que $p \circ \tilde H =H$ et $\tilde H_{X \times I}=G$. \vskip 2mm \textbf{1.3} Soit $(X,A)$ une CW-paire. D\'emontrer qu'une fibration de Serre v\'erifie la propri\'et\'e de rel\`evement suivante : si on a une application $H$ d\'efinie sur $X \times I$ \`a valeurs dans $B$ qui se rel\`eve sur le sous-espace en $G \, : \,A \times I \ra E$ telle que $p \circ G =H_{ A \times I}$ alors il existe $\tilde H$ de $X \times I \ra E$ telle que $p \circ \tilde H =H$ et $\tilde H_{A \times I}=G$. \vskip 3mm \textbf{3.} Soit $p \, : \, E \ra B$ une fibration de Serre, on suppose $B$ connexe par arcs. On note $F_b$, $b \in B$, pour le sous-espace $p^{-1}(b) \subset E$. Montrer que pour tout $b,b' \in B$ on peut trouver une application de $F_b$ dans $F_{b'}$ qui induit un isomorphisme sur les groupes d'homotopie. \vskip 3mm \textbf{4.} Soit $p \, : \, E \ra B$ une fibration localement triviale. C'est-\`a-dire qu'il existe un espace $F$ tel que pour tout $b \in B$ il existe un voisinage $V_b$ pour lequel $p^{-1}(V_b)$ est hom\'eomorphe \`a $ V_b \times F$, l'hom\'eorphisme commutant au projections sur $V_b$. Démontrer qu'une fibration localement triviale est une fibration de Serre. \textbf{5.1} D\'emontrer qu'il existe une suite exacte longue (on a omis les points base dans les groupes d'homotopie, le point base pour $B$ est $b$): {\small $$ \ldots \ra \pi_n(F_b) \stackrel{i_*}\ra \pi_n(E)\stackrel{p_*}\ra \pi_n(B)\stackrel{\partial}\ra \pi_{n-1}(F_b)\ra \ldots $$} Dans cette suite $i$ et $p$ sont l'inclusion et la projection. L'application $\partial$ est d\'efinie comme suit, on consid\`ere une application $\alpha \, : \, (D^n, S^{n-1}) \ra (B,b)$ et un rel\`evement \`a $E$. par construction l'image de $S^{n-1}$ est dans $F_b$. On montrera que ceci d\'etermine bien un homomorphisme. \vskip 2mm \textbf{5.2} Soit l'application de Hopf de $S^3$ dans $S^2$, obtenue en consid\'erant $S^2$ comme le quotient de $S^3 \subset \C^2$ par l'action des nombres complexes de module $1$. D\'eduire de la suite exacte pr\'ec\'edente qu'elle est homotopiquement non triviale. Trouver des applications analogues de $^7$ dans $S^4$ et $S^15$ dans $S^8$. \vskip 3mm \textbf{6.} Calculer $\pi_1(U(n))$. On pourra commencer par montrer que $U(n)$ est hom\'eomorphe \`a $S^1 \times SU(n)$, puis \'etudier $\pi_1(SU(n))$. On pourra utiliser la longue suite exacte \'etudi\'ee en 5. On peut aussi chercher \`a appliquer le th\'eor\`eme de Van Kampen en d\'ecomposant $SU(n)$ en deux sous-espaces hom\'eomorphes \`a $SU(n-1) \times e^{2n-1}$ ($e^{2n-1}$ est la boule ouverte de dimension $2n-1$. Pour ce faire on utilisera l'application $SU(n-1) \ra S^{2n-1}$ qui \`a $A$ associe $Ae_1$ ($e_1$ est le premier vecteur de la base canonique). \vskip 3mm \textbf{7.} Calculer $\pi_1(SO(n))$. On commencera par montrer que $SO(3)$ est hom\'eomorphe \`a $\R\P^3$. Puis on proc\'edera comme dans l'exercice pr\'ec\'edent. \vskip 3mm \textbf{8.} Le tore (ou bouteille) de Klein est la quotient de $\R^2$ par le sous-groupe $G$ des applications affines engendr\'ees par $a \, : \, (x,y) \mapsto (-x,y+1)$ et $b \, : \, (x,y) \mapsto (x+1,y)$. Montrer que $bab=b$. \vskip 2mm \textbf{8.1} Montrer que $\R^2 \ra \R^2/G$ est un rev\^etement. \vskip 2mm \textbf{8.2} Montrer que le sous-groupe $\Gamma \subset G$ engendr\'e par $b$ est normal et que $G/\Gamma \cong \Z$. \vskip 2mm \textbf{8.2} Montrer que les sous-groupes de $G$ sont : \begin{itemize} \item soit cyclique, engendr\'e par un \'el\'ement $a^mb^n$, on notera $H_{m,n}$; \item soit ont deux g\'en\'erateurs $a^mb^n$ et $b^p$, avec $m \not = 0$, $p>0$, et $0\leq n