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 {\bf  Exercices}
   \vskip 5mm
  {
  }
 \medskip
 \endcenter}
\def\ra{\longrightarrow}

\def\lam{\lambda}
%\noindent




\vskip 3mm
\textbf{6.} Calculer $\pi_1(U(n))$. On pourra commencer par montrer que $U(n)$ est hom\'eomorphe \`a $S^1 \times SU(n)$, puis
\'etudier $\pi_1(SU(n))$. On pourra utiliser la longue suite exacte \'etudi\'ee en 5.  On peut aussi chercher \`a appliquer le th\'eor\`eme de Van Kampen en d\'ecomposant $SU(n)$ en deux sous-espaces hom\'eomorphes \`a $SU(n-1) \times e^{2n-1}$ ($e^{2n-1}$ est la boule ouverte de dimension $2n-1$. Pour ce faire on utilisera l'application $SU(n-1) \ra S^{2n-1}$ qui \`a $A$ associe $Ae_1$ ($e_1$ est le premier vecteur de la base canonique).


Le premier homéomorphisme est obtenu en considérant l'applivcation qui envoie une metrice $A$ vers le coiple formé du déterminant et et de la matrice dont on a multiplié la dernière colonne par le conjugué du déterminant. Ce n'est évidemment pas un homomorphisme.

Pour ce qui est du second soit $v \in S^{2n-1}$, $v \not = e_1$, le vecteur $v-e_1$ est non nul, on va construire une transformation unitaire qui sera la multiplication par un scalaire $\lambda$ sur la droite complexe et l'identité sur l'orthogonal, $\lambda$ est déterminé par la condition que cette transformation doit envoyer $e_1$ sur $v$.

On calcule $e_1= \frac{<e_1,v>-1}{||v-e_1||^2}(v-e_1) +u$, avec $u$ orthogonal à $v-e_1$. Donc on doit avoir
$$v= \lambda \frac{<e_1,v>-1}{||v-e_1||^2}(v-e_1) +u =\lambda \frac{<e_1,v>-1}{||v-e_1||^2}(v-e_1)+ e_1- \frac{<e_1,v>-1}{||v-e_1||^2}(v-e_1)$$
soit
$$
v=(\lambda-1)\frac{<e_1,v>-1}{||v-e_1||^2}(v-e_1)+e_1
$$
soit
$$
\lambda = 1+\frac{||v-e_1||^2}{<e_1,v>-1}
$$

L'application qui à $v$ associe cette transformation est une section de $p$ au dessus de $S^{2n-1}\backslash\{p\}$, mais à valeurs dans $U(n)$. En  multipliant la dernière colonne par par le conjugué du déterminant on obtient une section $v \mapsto s-v$ à valeurs dans $SU(n)$. Cette application est continue.

L'homéomorphisme demandé est alors donné par $A \mapsto (s_{Ae_1}^{-1} \circ A, Ae_1)$.


Rempla\c{c}ant $e_1$ par $-e_1$ on a un résultat analogue, et $U(n)$ est réunion des deux ouverts (dont on évérifie que l'intersection est connexe!) dont le groupe fondamental est trivial, pourvu que l'on sache le résultat pour $U(n-1)$. On peut alors appliquer le théorème de Van Kampen pour montrer que le groupe fondamental de $U(n)$ est trivial. Pour amorcer la récurrence on rappelle que $SU(2) \cong S^3$.

\vskip 3mm
\textbf{7.} Décrire une structure de groupe topologique abélien sur $\R\P^\infty$ et sur $\C\P^\infty$.


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\textbf{7.} Calculer $\pi_1(SO(n))$. On  commencera par montrer que $SO(3)$ est hom\'eomorphe \`a $\R\P^3$. Puis on proc\'edera comme dans l'exercice pr\'ec\'edent.

\vskip 3mm

\textbf{8.} Le tore (ou bouteille) de Klein est la quotient de $\R^2$ par le sous-groupe $G$ des applications affines engendr\'ees par   $a \, : \, (x,y) \mapsto (-x,y+1)$ et $b \, : \, (x,y) \mapsto (x+1,y)$.
\vskip 2mm

\textbf{8.1}  $\R^2 \ra \R^2/G$ est un rev\^etement.

Il faut montrer que l'action de $G$ est propre et libre. Pour ce faire on doit commencer à décrire $G$ plus concrètement. On observe que l'on a la relation $bab=a$  (et non $=b$!), ce qui permet d'écrire tout élément de $g \in G$ sous la forme $a^kb^\ell$ ou $a^hb^i$. Donc $g((x,y))= (-,y+i)$, si un point $x,y)$ est un point fixe on a $h=0$, puis $b^k((x,y))=(x,y)$
implique $k=0$. Cet argument montre aussi que l'écriture $g=a^hb^i$ est unique.

L'action est propre, en effet  $K \cap gK$ ($K$ compact) est  vide dès que $i$ et $h$ sont assez grands ($g=a^hb^i$).
\vskip 2mm

\textbf{8.2} Le sous-groupe $\Gamma \subset G$ engendr\'e par $b$ est normal et que $G/\Gamma \cong \Z$.
On a $aba^{-1}=b^{-1}$, le premier résultat suit. Puis $a^2$ est la translation $(x,y) \mapsto (x,y+2)$, donc le sous-groupe engendré par $^2$ et $b$ est isomorphe à $\Z^2$ et est distingué dans $G$. Le quotient est $\Z/2\Z$ engendré par la classe de $a$.
 On en déduit que le quotient $H$ de $G$ par $<b>$ est isomorphe à $\Z$.

\vskip 2mm

\textbf{8.2} Les sous-groupes de $G$ sont décrits comme suit :
 \begin{itemize}
   \item soit ils se projettent dans $H$ avec noyau trivial, ils sont alors cycliques cyclique, engendr\'e par un \'el\'ement $a^mb^n$ ($m \not =0$), on notera $H_{m,n}$, soit ils sont d'image triviale et engendrés par $b^n$, on notera $H_{0,n}$;
   \item  soit il sont d'image non triviale dans $H$, avec un noyau non trivial, et  ont donc  des g\'en\'erateurs $a^mb^n$ et $b^p$, avec $n \not = 0$, $p>0$, on peut supposer $0\leq n <p$, on notera $K_{m,n,p}$.
 \end{itemize}



\vskip 2mm

\textbf{8.2} Les sous-groupes considérés sont distingués si et seulement si $m \cong 0 (2)$. La première implication est démontrée plus haut. La seconde se démontre en établissant les relations $a^mb^{n}=b^{(-1)^mn}a^m$, puis
$(b^na^{m})^k=b^{n(\alpha(m,n,k)}a^{km}$ avec $\alpha(m,n,k)=k$ si $m\cong 0$ modulo $2$; sinon $\alpha(m,n,2\ell)=0$
et $\alpha(m,n,2\ell+1)=1$. Dans ce dernier cas ($m$ impair) considérant le conjugué $b(a^mb^n)b^{-1}=ab^{m+2}$ on constate
qu'il ne peut être de la forme $b^{n(\alpha(m,n,k)}a^{km}$, ce pour tout  $k$ (le même argument s'étend à la seconde classe de sous-groupes).

Les espaces quotients $\R^2/H_{m,n}$ sont de la forme $S^1 \times \R$ ($m$ pair) soit le ruban de Moëbius  ($m$ impair) : si $m$ est pair le quotient est fait par le sous-groupe engendré par la translation $a^mb^n$, si $m$ est impair on commence par le quotient par la translation $(a^mb^n)^2=a^{2m}$ (on obtient $S^1 \times \R$), puis
le quotient par l'action de la classe de $a$.
Dans le cas de  $\R^2/K_{m,n,p}$) on trouve le tore si $m \cong 0 $ modulo $2$ et on retrouve la bouteille de Klein sinon.

Pour vérifier ces points en détails on procède comme suit. Par exemple pour $m$ impair on considère le ruban compris entre l'ordonnée $m$ et l'ordonnée $-m$, ceci tient compte de l'action de $a^{2m}$, puis on examine les identifications à effectuer dans le ruban, tenant compte de l'action de $a^mb^n$, soit $(x,y) \mapsto (-x-n, y+m)$.






\end{document}
