\documentclass[12pt]{letter}
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\def\F{{\bf F}_2}

\def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptstyle\langle\!\langle$}}
\def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptstyle\,\rangle\!\rangle$}}
\def\Def#1#2{{\bf D\'efinition~{#1}.{#2}~:~}}
\def\Prop#1#2{{\bf Proposition~{#1}.{#2}~:~}}
\def\Ex{{\bf Exemples~:~}}
\def\Not#1#2{{\bf Notation~{#1}.{#2}~:~}}
\def\Dem{{\bf D\'emonstration~:~}}
\def\Sec{{\bf }}
\def\Cor#1#2{{\bf Corollaire~{#1}.{#2}~:~}}
\def\TH#1#2{{\bf Th\'eor\`eme~{#1}.{#2}~:~}}
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\def\F{{\bf F}}
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\def\num#1#2{{\bf {#1}.{#2}}}
\def\Sn{{\cal S}_n}
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\def\lmn{\lambda_1,\ldots,\lambda_n}\def\amn{\aplha_1,\ldots,\alpha_n}
\def\aamn{\alpha'_1,\ldots,\alpha'_n}\def\amk{\alpha_1,\ldots,\alpha_k}
\def\bmk{\beta_1,\ldots,\beta_k}\def\gn{\{x_1,\ldots,x_n\}}
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\def\V{\mathbf V}

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\def\ra{\rightarrow}
\begin{document}{
\center
 {\bf  Exercices}
   \vskip 5mm
  {
  }
 \medskip
 \endcenter}
\def\ra{\longrightarrow}

\def\lam{\lambda}
%\noindent

\textbf{1.}
\vskip 2mm
\textbf{1.1} D\'emontrer qu'une fibration de Serre v\'erifie la propri\'et\'e de rel\`evement relative suivante.


Si on a une application $H$ d\'efinie sur $D^n \times I$ \`a valeurs dans $B$ qui se rel\`eve sur le sous-espace
$D^n \cup S^{n-1} \times I$ en $G \, : \,S^{n-1} \times I \ra  E$ telle que $p \circ G =H_{D^n \cup S^{n-1} \times I}$. Alors il existe $\tilde H\, : \, D^n \times I \ra E$ telle que $p \circ \tilde H =H$ et $\tilde H_{D^n \cup S^{n-1} \times I}=G$.
\vskip 2mm

\textbf{1.2} Soit $Y$ obtenu \`a partir de $X$ par attachement d'une $n$-cellule. D\'emontrer qu'une fibration de Serre v\'erifie la propri\'et\'e de rel\`evement relative dans le sens suivant.
Si on a une application $H$ d\'efinie sur $Y \times I$ \`a valeurs dans $B$ qui se rel\`eve sur le sous-espace
$Y \cup X \times I$ en $G \, : \, X \times I \ra  E$ telle que $p \circ G =H_{Y \cup X \times I}$. Alors il existe $\tilde H$ de $Y \times I \, : \, E$ telle que $p \circ \tilde H =H$ et $\tilde H_{Y \cup X \times I}=G$.


\vskip 2mm

\textbf{1.3} Soit $(X,A)$ une CW-paire. D\'emontrer qu'une fibration de Serre v\'erifie la propri\'et\'e de rel\`evement  suivante :
si on a une application $H$ d\'efinie sur $X \times I$ \`a valeurs dans $B$ qui se rel\`eve sur le sous-espace
 en $G \, : \,X \cup A \times I \ra E$ telle que $p \circ G =H_{X \cup A \times I}$ alors il existe $\tilde H$ de $X \times I \ra E$ telle que $p \circ \tilde H =H$  et $\tilde H_{X \cup A \times I}=G$.

\vskip 3mm



\textbf{3.} Soit $p \, : \, E \ra B$ une fibration localement triviale. C'est-\`a-dire qu'il existe un espace
$F$ tel que pour tout $b \in B$ il existe un voisinage $V_b$ pour lequel $p^{-1}(V_b)$ est hom\'eomorphe \`a $ V_b \times F$, l'hom\'eorphisme commutant au projections sur $V_b$. D\'emontrer qu'une fibration localement triviale est une fibration de Serre.


\textbf{4.1} D\'emontrer qu'il existe une suite exacte longue (on a omis les points base dans les groupes d'homotopie, le point base pour $B$ est $b$):
{\small $$
\ldots \ra \pi_n(F_b) \stackrel{i_*}\ra \pi_n(E)\stackrel{p_*}\ra \pi_n(B)\stackrel{\partial}\ra \pi_{n-1}(F_b)\ra \ldots
$$}
Dans cette suite $i$ et $p$ sont l'inclusion et la projection.

Soit on montrera que cette suite exacte s'identifie \`a la suite exacte de la paire $(E,F)$, soit on proc\'edera directement comme suit.
L'application $\partial$ est d\'efinie par :  soit $\alpha \, : \, (D^n, S^{n-1}) \ra (B,b)$ et un rel\`evement \`a $E$. par construction l'image de $S^{n-1}$ est dans $F_b$. On montrera que ceci est bien d\'efini.
\vskip 2mm

\textbf{4.2} Soit $G$ un groupe de Lie et $H$ un sous-groupe ferm\'e. Montrer que si $H$ est un sou-groupe de Lie
l'application $G \ra G/H$ est une fibration localement triviale (utiliser l'exponentielle). La condition "$H$ sous-groupe de Lie" est elle n\'ecessaire?

\vskip 2mm

\textbf{5.3}  Soit l'application de Hopf de $S^3$ dans $S^2$, obtenue en consid\'erant $S^2$ comme le quotient de $S^3 \subset \C^2$ par l'action des nombres complexes de module $1$. D\'eduire de la suite exacte pr\'ec\'edente qu'elle  est homotopiquement non triviale. Trouver des applications analogues de $^7$ dans $S^4$ et $S^15$ dans $S^8$. 

\end{document}