\documentclass[12pt,french]{article}

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\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{rmq}[thm]{Remarque}
\newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition}
\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
\def\exe{{\bf Exemples}}

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\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\P{\mathbb P}

\begin{document}


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\begin{center}{\bf{\Large M1 Algebraic Topology, exercices}}
\end{center}

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\textbf{1.} On appelle c\^one d'un espace point\'e $(X,x_0)$ le
quotient de $X \times [0,1]$ par la relation qui identifie en un
point les points $(x,1)$ ($\forall x \in X$) et $(x_0,t)$, $0 \leq t
\leq 1$. Ce point sera le point base du c\^one. On le notera $CX$.


Montrer que l'application identit\'e d'in c\^one est homotope
(point\'ee) \`a l'application constante au point base (Un tel espace
est dit contractile). \vskip 4mm

\textbf{2.} On appelle suspension d'un espace point\'e $(X,x_0)$ le
quotient de $X \times [0,1]$ par la relation qui identifie  les points $(x,1)$, $(x,0)$, ($\forall x \in X$) et $(x_0,t)$,
$0 \leq t \leq 1$ en un
point. Ce point sera le point base de la suspension. On
notera $\Sigma X$ la suspension de $X$. Montrer que $\Sigma S^{n-1}$
est hom\'eomorphe \`a $S^n$.

On pourra commencer par montrer le r\'esultat pour  la suspension non r\'eduite
quotient de $X \times [0,1]$ par la relation qui identifie d'un c\^ot\'e  les points $(x,0)$,  $\forall x \in X$ et d'un autre les points  $(x,0)$, $\forall x \in X$ puis utiliser l'exercice 15.




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\textbf{3.} On d\'efinit la sph\`ere $S^{\infty}$ comme \'etant la
r\'eunion des sph\`eres $S^n$ {\it via} les inclusions 
$$
S^n
\hookrightarrow S^{n+1} \ \, \, \, (x_1,\ldots,x_{n+1})\mapsto  (x_1,\ldots,x_{n+1},0)$$

On munit cet espace de la la topologie limite directe. Un ensemble
$U$ est ouvert (ferm\'e) dans $S^{\infty}$ si et seulement si son
intersection avec chacun des $S^n$ est ouverte (ferm\'ee).

Montrer qu'une application de $S^{\infty}$ dans un espace
topologique $X$ est continue si et seulement si sa restriction \`a
chaque $S^n$ est continue.

Montrer que tout sous-ensemble compact de $S^{\infty}$ est contenu
dans un $S^n$ pour un $n$ assez grand. \vskip 4mm


\textbf{4.} Montrer que la sph\`ere $S^{\infty}$ est contractile.

Pour ce faire on commencera par montrer par montrer que l'identit\'e
de $S^\infty$ est librement homotope \`a l'application induite par
le "d\'ecalage", c'est \`a dire l'application qui est la restriction
\`a $S^\infty$, de l'application lin\'eaire donn\'ee par
$s(e_i)=e_{i+1}$ sur les vecteurs de la base canonique. 

Puis on utilisera l'exercice 15.
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\textbf{5.1.} On consid\`ere les groupes ${\rm GL}(n,\C)$ et $U(n)$
comme des sous-espaces de $M_{n}(\C)\cong \C^{n^2}$. Montrer que ce
sont des espaces connexes. Montrer que ${\rm GL}(n,\C)$ est ouvert
et dense dans $M_{n}(\C)$. Montrer que $U(n)$ est compact.


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\textbf{5.2.} Montrer que ${\rm GL}(n,\C)$ est hom\'eomorphe \`a $U(n) \times \R^{n^2}$.
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\textbf{6.} Montrer que le groupe $U(n)$ est hom\'eomorphe \`a $S^1
\times SU(n)$.

\textbf{7.} Formuler et d\'emontrer les r\'esultats analogues pour
les groupes ${\rm GL}(n,\R)$ et $O(n)$.

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\textbf{8.} Montrer que le groupe $SU(2)$ est hom\'eomorphe \`a
$S^3$.


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\textbf{9.} En utilisant les quaternions montrer que le groupe  $SO(3)$ est le quotient de la sph\`ere $S^3$
obtenu en identifiant en un point chaque paire de points antipodaux. On identifiera $S^3$ au groupe des quaternions de module $1$. 

Donner une identification analogue pour $SO(4)$ \`a partir de $S^3 \times S^3$.

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\textbf{10.} On consid\`ere l'action du groupe des nombres complexes
de module $1$ sur la sph\`ere $S^3 \subset \C^2$. Montrer que
l'espace quotient est hom\'eomorphe \`a la sph\`ere $S^2$.





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\textbf{11.} Montrer que l'espace topologique $TS^2 \subset S^2
\times \R^3$
$$
\{(v,w)|v\in S^2 \; \; w \in R^3, \; \;  |w|=1, \; \; {\rm et} \; \;
<v|w>=0 \}
$$
est hom\'eomorphe \`a $SO(3)$. Dans la formule plus haut $<v|w>$
d\'esigne le produit scalaire usuel.

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\textbf{12.} Un groupe topologique $G$ est un espace topologique
munit d'une loi interne qui en fait un groupe et qui est continue
(on demande aussi que l'inverse soit continue).

On consid\`ere le groupe fondamental $\pi_1(G,e)$. Montrer qu'on
peut le munir d'une ({\it a priori} autre) loi en d\'efinissant le
produit de deux lacets par $\gamma(t) \lambda(t)$ en utilisant le
produit du groupe.

Montrer que ce produit co\"incide avec la loi usuelle. En d\'eduire
que dans ce cas le groupe fondamental est commutatif. \vskip 4mm

\textbf{13.} Un $H$-espace $X$ est un espace topologique munit d'une
loi interne continue $* \, : \,X \times X \rightarrow X$ et d'une
unit\'e \`a homotopie pr\'es. C'est \`a dire qu'il existe $e \in X$
tel que les applications $x \mapsto x$, $x \mapsto e *x$, $x \mapsto
x
*e$ soient homotopes (point\'ees, on suppose donc que $e *e = e$).

Montrer que sous ces hypoth\`eses les r\'esultats de l'exercice
pr\'ec\'edent sont valides. \vskip 4mm




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\textbf{14.} On d\'efinit l'espace projectif r\'eel infini
$\R\P^{\infty}$ comme \'etant la r\'eunion des espaces projectifs
$\R\P^n$ {\it via} les inclusions $\R\P^n \rightarrow \R\P^{n+1}$
$$(x_1,\ldots,x_{n+1})\mapsto  (x_1,\ldots,x_{n+1},0)$$

On munit cet espace de la la topologie limite directe. Montrer que
$\R\P^{\infty}$ est un $H$-espace. Montrer le m\^eme r\'esultat pour
$\C\P^\infty$ que l'on d\'efinira.

Montrer que c'est m\^eme un groupe topologique ab\'elien. \vskip 4mm





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\textbf{15.} On consid\`ere l'espace $D^n$ (la boule ferm\'ee de
rayon $1$ dans
 $\R^n$) et $C$ un arc simple de classe $C^1$ dans $D^n$. On rappelle qu'un arc
 simple est l'image du segment $[0,1]$ par une application continue
 injective. Montrer que l'espace quotient $D^n/C$ est mom\'eomorphe \`a
 $D^n$, on pourra commencer par \'etudier le cas o\`u l'arc est un segment de droite. Montrer le m\^eme r\'esultat en rempla\c{c}ant $D^n$ par $\R^n$,
 $S^n$ ou une vari\'et\'e diff\'erentiable.


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\textbf{16.} Montrer que l'espace $S^1 \times S^1$ auquel on a
enlev\'e un point est homotopiquement \'equivalent au bouquet de
deux cercles (deux cercles o\`u l'on a identifi\'e un point de l'un
des cercles avec un point de l'autre, soit la figure "$8$" dans le
plan).




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\textbf{17.} On consid\`ere l'espace $\Omega (X)$ des lacets
point\'e d'un espace point\'e $(X,x_0)$. C'est-\`a-dire l'ensemble
des applications continues $\gamma$ de $[0,1]$ dans $X$ d'origine et
fin $x_0$. On munit cet espace de la topologie dont une base d'ouverts est
d\'efinie comme suit. On se donne un compact $K$ dans $[0,1]$ et un
ouvert $U$ dans $X$, on d\'efinit $C(K,U)$ comme l'ensemble des
chemins $\gamma$ tels que $\gamma (K) \subset U$.

Si $X$ est une espace m\'etrique montrer que cette topologie est celle de la convergence uniforme.

Montrer que ceci d\'efinit une topologie sur $\Omega (X)$. Montrer
que $\Omega (X)$ est un $H$-espace.

Montrer que  $$\pi_0 (\Omega (X)) \cong \pi_1(X,x_0)
$$






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\textbf{18.} Montrer que toute application continue de $S^1$ dans
$S^1$ qui n'a pas de points fixes est homotope librement \`a
l'identit\'e. On consid\'erera les arcs joignant un point \`a son
image, orient\'es dans le sens trigonom\'etrique.

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\textbf{19.} Soit $P$ un polyn\^ome \`a coefficients complexes qui
n'a pas de racines sur $S^1$. Montrer que le nombre de racines de
$P$ (compt\'ees avec multiplicit\'e) de module strictement
inf\'erieur \`a $1$ est le degr\'e de l'application de $S^1$ dans
$S^1$ donn\'e par $z \mapsto \frac{P(z)}{|P(z)|}$.

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\textbf{20.} Montrer que $\R^2$ et $\R^n$, $n > 2$,  ne sont pas
hom\'eomorphes. \vskip 4mm















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\vfill \eject





\end{document}
