\documentclass[12pt,french]{article} \oddsidemargin=-0.5cm \evensidemargin=-0.5cm \topmargin=-1.5cm \parindent=0pt \textheight=25 cm \textwidth=16 cm \usepackage{amssymb,amsmath,amsthm} \newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section] \newtheorem{lem}[thm]{Lemme} \newtheorem{cor}[thm]{Corollaire} \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} \newtheorem{rmq}[thm]{Remarque} \newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition} \newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition} \def\exe{{\bf Exemples}} \theoremstyle{definition} \newtheorem{ex}[thm]{Exemple} \theoremstyle{remark} \newtheorem{rem}[thm]{Remarque} \newtheorem{preuve}[thm]{Preuve} \numberwithin{equation}{section} \def\R{\mathbb R} \def\N{\mathbb N} \def\C{\mathbb C} \def\Q{\mathbb Q} \def\Z{\mathbb Z} \def\P{\mathbb P} \def\ra{\longrightarrow} \begin{document} \vskip 4mm \begin{center}{\bf{\Large M1 Algebraic Topology, exercices, feuille 2}} \end{center} \bigskip \bigskip \textbf{1.} Soit $p \, : \, SU(n)\ra S^{2n-1}$ qui \`a $A$ associe $Ae_1$ ($e_1$ est le premier vecteur de la base canonique). Montrer que $p^{-1}(S^{2n-1}\backslash\{e_1\})$ est hom\'eomorphe \`a $SU(n-1) \times (S^{2n-1}\backslash\{e_1\})$. Etablir un r\'esultat analogue pour $SO(n)$. \vskip 4mm \textbf{2.} Montrer qu'un graphe est homotopiquement \'equivalent \`a un bouquet de cercles. \vskip 4mm \textbf{3.} Montrer que l'espace $S^1 \times S^1$ auquel on a enlev\'e un point est homotopiquement \'equivalent au bouquet de deux cercles. \vskip 4mm \textbf{4.} Montrer que la suspension d'un espace connexe est simplement connexe (sans utiliser Van Kampen). \vskip 4mm \textbf{5.} Montrer que le sous-espace de $\R^3$ qui est r\'eunion de sph\`eres de rayon $\frac{1}{n}$ et de centre $(\frac{1}{n},0,0)$ est simplement connexe. \vskip 4mm \textbf{6.} Soient le sous-espace $T^+$ de $\R^2$ qui est r\'eunion de sph\`eres de rayon $\frac{1}{n}$ et de centre $(\frac{1}{n},0)$, $T^-$ de $\R^2$ qui est r\'eunion de sph\`eres de rayon $\frac{1}{n}$ et de centre $(\frac{-1}{n},0)$. Soient $C^+ \subset \R^3$ le c\^one de sommet $A=(0,0,1)$ de base $C^+$, $C^- \subset \R^3$ le c\^one de sommet $B=(0,0,-1)$ de base $C^-$. L'espace $T^+ \cup C^-$ est il simplement connexe. \vskip 4mm \textbf{7.} Le joint $X*Y$ de deux espaces $X$ et $Y$ est le quotient de $X \times [0,1] \times Y$ par la relation qui identifie \begin{itemize} \item \`a $x \in X$ donn\'e, $(x,0,y)$ et $(x,0,y')$ pour tous $y, y' \in Y$; \item \`a $y \in X$ donn\'e ,$(x,1,y)$ et $(x',1,y)$ pour tous $x,x' \in X$. \end{itemize} Montrer que $S^n *S^m $ est hom\'eomorphe \`a $S^{n+m+1}$. \textbf{8.} Comparer le joint $X*Y$ avec $\Sigma X \wedge Y$. \vskip 4mm \vskip 4mm \textbf{9.} Montrer que la suspension de $\Sigma(X \times Y)$ est homotopiquement \'equivalente \`a $$\Sigma X \vee \Sigma Y \vee \Sigma X \wedge Y$$ \vskip 4mm \textbf{10.} On consid\`ere l'ensemble $X \subset \R$ d\'efini par $X=\{0,\frac{1}{n}, \, \, n >0\}$. Soit $i=[0,1]$. Montrer que l'on peut trouver un espace $Z$ et une application continue $h \, : \, \{0\} \times I \cup \frac{1}{n}, \, \, n >0\} \ra Z$ qui ne peut se prolonger continument \`a $X \times I$. \vskip 4mm \textbf{11.} On consid\`ere l'espace $X \subset \R^2$ d\'efini comme la r\'eunion des segments \begin{itemize} \item Ferm\'e, compris entre les points $A$ de coordonn\'ees $(0,1)$ et $B$ de coordonn\'ees $(0,-1)$. \item Compris entre les points $A$ et $C_n$ de coordonn\'ees $(0,\frac{1}{n})$, $C_n$ exclu. \item Compris entre les points $B$ et $C_n$ de coordonn\'ees $(0,\frac{-1}{n})$, $C_n$ exclu. \end{itemize} Montrer que cet espace n'est pas contractile. On pourra se commencer par montrer qu'il n'existe pas d'homotopie bas\'ee en $(0,0)$ entre l'identit\'e et l'application constante. Montrer que le groupe fondamental est trivial. \vskip 4mm \textbf{12.} On appelle fibr\'e de Hopf sur $\R\P^n$, et on note $\lambda_n$, le sous-espace de $\R\P^n \times \R^{n+1}$ constitu\'e par les \'el\'ements $(L,v)$ o\`u $L$ est un sous-espace de dimension $1$ de $\R^{n+1}$ et $v \in L$. On note $p$ l'application de $\lambda_n$ vers $\R\P^n$ qui \`a $(L,v)$ associe $L$. Montrer que $p^{-1}(\R\P^n-\R\P^{n-1})$ est hom\'eomorphe \`a $\R^n \times \R$. On met sur $\R^{n+1}$ le produit scalaire standard. Soit $D(\lambda_n)$ l'ensemble des $(L,v)$ avec $|v| \leq 1$, et $S(\lambda_n)$ l'ensemble des $(L,v)$ avec $|v| =1$. Montrer que l'espace $D(\lambda_n)/S(\lambda_n)$ est hom\'eomorphe \`a $\R\P^{n+1}$. Montrer que le compactifi\'e d'Alexandroff de $\lambda_n$ est hom\'eomorphe \`a $\R\P^{n+1}$. \vskip 4mm \textbf{13.} Fibr\'e tangent \`a $\R\P^n$. On suppose connu dans cet exercice la notion de fibr\'e tangent \`a une vari\'et\'e diff\'erentiable. On note $p$ la projection canonique de$T\R\P^n \times \R$ sur $\R\P^n$. On rappelle l'espace $\lambda_n$ et sa projection $p$ sur $\R\P^n$. On d\'efinit $(n+1)\lambda_n$ par $$ \{(L,v_1,\ldots,v_{n+1})| \, v_i \in L \; \; \forall i\} $$ on notera $\pi$ la projection canonique sur $\R\P^n$. Montrer qu'il existe un un hom\'eomorphisme $h$ de $T\R\P^n \times \R$ avec $(n+1)\lambda_n$ tel que $\pi \circ \alpha = p$ - o\`u et $\alpha$ restreinte \`a $p^{-1}(x)$ est un isomorphisme lin\'eaire sur $\pi^{-1}(x) \cong \R^{n+1}$ pour tout $x \in \R\P^n$. \textbf{14.} Montrer que que le compl\'ementaire d'un nombre fini de points dans $\R^n$ est simplement connexe si $n \geq 3$. \vskip 4mm \vskip 4mm \textbf{15.} Montrer que le joint deux espaces, dont l'un est connexe est simplement connexe. \vskip 4mm \vskip 4mm \textbf{16.} Calculer $\pi_1(U(n))$. \vskip 4mm \vskip 4mm \textbf{17.} Soit $\Gamma$ un graphe fini connexe. On d\'efinit les quantit\'es suivantes : $b_0$ le nombre de sommets de $\Gamma$, $b_1$ le nombre d'ar\^etes de $\Gamma$, $\chi (\Gamma)=b_0-b_1$, la connectivit\'e de $\Gamma$, $c(\Gamma)$ qui est le plus grand nombre d'ar\^etes ouvertes que l'on peut enlever \`a $\Gamma$ en le laissant connexe. Montrer par r\'ecurrence que $$ \chi (\Gamma)=1-c(\Gamma) $$ Montrer que le groupe fondamental de $ \Gamma$ a $c(\Gamma)$ g\'en\'erateurs. Soit $ \Gamma$ de connectivit\'e $n$ et $\tilde \Gamma$ un rev\^etement connexe \`a $m$-feuillets. Quelle est sa connectivit\'e? \vskip 4mm \textbf{18.} D\'emontrer qu'un sous-groupe distingu\'e non-trivial $H$ d'un groupe libre qui est d'indice infini ne peut \^etre finiment engendr\'e. \vskip 4mm \textbf{19.} D\'ecrire le rev\^etement universel du bouquet d'un cercle et d'une sph\`ere de dimension $2$. \vskip 4mm \textbf{20.} Soit $P$ un polyn\^ome \`a coefficients complexes, de degr\'e $n$. On consid\`ere le sous-ensemble $\mathcal{S}$ suivant de $\C \times \C$ $$ \{(\alpha ,u)| \; \; P(\alpha)=u \} $$ Soit $D$ l'ensemble des complexes $a$ pour lesquels le discriminant du polyn\^ome $P-a$ est nul. Montrer que l'application $\pi \, : \, \mathcal{S}\ra {\bf C}, \, \, (\alpha,u) \mapsto u$ d\'efinit un rev\^etement $\pi^{-1}(\C\backslash D) \ra \C\backslash D$. D\'ecrire $D$. Montrer que si on prend $P= z^k$ l'espace total obtenu est homotopiquement \'equivalent \`a un cercle. Qu'en est il si on prend $P=z^2-z$? \vskip 4mm \vskip 4mm \vfill \eject \end{document}