\documentclass[12pt,french]{article}

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\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{rmq}[thm]{Remarque}
\newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition}
\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
\def\exe{{\bf Exemples}}

\theoremstyle{definition}

\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\P{\mathbb P}
\def\ra{\longrightarrow}

\begin{document}


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\begin{center}{\bf{\Large M1 Algebraic Topology, exercices, feuille 2}}
\end{center}

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\textbf{1.}  Soit $p \, : \, SU(n)\ra S^{2n-1}$ qui \`a $A$ associe $Ae_1$ ($e_1$ est le premier vecteur de la base canonique). Montrer que $p^{-1}(S^{2n-1}\backslash\{e_1\})$ est hom\'eomorphe \`a $SU(n-1) \times (S^{2n-1}\backslash\{e_1\})$. Etablir un r\'esultat analogue pour $SO(n)$.
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\textbf{2.} Montrer qu'un graphe est homotopiquement \'equivalent \`a
un bouquet de cercles.





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\textbf{3.} Montrer que l'espace $S^1 \times S^1$ auquel on a
enlev\'e un point est homotopiquement \'equivalent au bouquet de
deux cercles. \vskip 4mm


\textbf{4.} Montrer que la suspension d'un espace connexe est simplement connexe (sans utiliser Van Kampen).


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\textbf{5.} Montrer que le sous-espace de $\R^3$ qui est r\'eunion de sph\`eres de rayon $\frac{1}{n}$ et de centre $(\frac{1}{n},0,0)$ est simplement connexe.


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\textbf{6.}  Soient le sous-espace $T^+$ de $\R^2$ qui est r\'eunion de sph\`eres de rayon $\frac{1}{n}$ et de centre $(\frac{1}{n},0)$, $T^-$ de $\R^2$ qui est r\'eunion de sph\`eres de rayon $\frac{1}{n}$ et de centre $(\frac{-1}{n},0)$.  Soient $C^+ \subset \R^3$ le c\^one de sommet $A=(0,0,1)$ de base $C^+$, $C^- \subset \R^3$ le c\^one de sommet $B=(0,0,-1)$ de base $C^-$. L'espace $T^+ \cup C^-$ est il simplement connexe.
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\textbf{7.} Le joint $X*Y$ de deux espaces $X$ et $Y$ est le quotient de $X \times [0,1] \times Y$ par la relation qui identifie

\begin{itemize}
\item
\`a $x \in X$ donn\'e, $(x,0,y)$ et $(x,0,y')$ pour tous $y, y' \in Y$;
\item
\`a $y \in X$ donn\'e ,$(x,1,y)$ et $(x',1,y)$ pour tous $x,x' \in X$.
\end{itemize}

Montrer que $S^n *S^m $ est hom\'eomorphe \`a $S^{n+m+1}$.




\textbf{8.} Comparer le joint $X*Y$ avec $\Sigma X \wedge Y$.
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\textbf{9.} Montrer que la suspension de $\Sigma(X \times Y)$ est homotopiquement \'equivalente
\`a $$\Sigma X \vee \Sigma Y \vee \Sigma X \wedge Y$$



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\textbf{10.} On consid\`ere l'ensemble $X \subset \R$ d\'efini par $X=\{0,\frac{1}{n}, \, \, n >0\}$.  Soit $i=[0,1]$. Montrer
que l'on peut trouver un espace $Z$ et une application continue $h \, : \, \{0\} \times I \cup \frac{1}{n}, \, \, n >0\} \ra Z$
qui ne peut se prolonger continument \`a $X \times I$.

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\textbf{11.} On consid\`ere l'espace $X \subset \R^2$ d\'efini comme la r\'eunion des segments
\begin{itemize}
\item  Ferm\'e, compris entre les points $A$ de coordonn\'ees $(0,1)$ et $B$ de coordonn\'ees $(0,-1)$.
                                                                                           
\item  Compris entre les points $A$  et $C_n$ de coordonn\'ees $(0,\frac{1}{n})$, $C_n$ exclu.
\item  Compris entre les points $B$  et $C_n$ de coordonn\'ees $(0,\frac{-1}{n})$, $C_n$ exclu.
\end{itemize}

Montrer que cet espace n'est pas contractile. On pourra se commencer par montrer qu'il n'existe pas d'homotopie bas\'ee en $(0,0)$ entre l'identit\'e et l'application constante.

Montrer que le groupe fondamental est trivial.
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\textbf{12.} On appelle fibr\'e de Hopf  sur $\R\P^n$, et on note
$\lambda_n$, le sous-espace de $\R\P^n \times \R^{n+1}$ constitu\'e
par les \'el\'ements $(L,v)$ o\`u $L$ est un sous-espace de
dimension $1$ de $\R^{n+1}$ et $v \in L$. On note $p$ l'application
de $\lambda_n$ vers $\R\P^n$ qui \`a $(L,v)$ associe $L$.

Montrer que $p^{-1}(\R\P^n-\R\P^{n-1})$ est hom\'eomorphe \`a $\R^n
\times \R$.



On met sur $\R^{n+1}$ le produit scalaire standard. Soit
$D(\lambda_n)$ l'ensemble des $(L,v)$ avec $|v| \leq 1$, et
$S(\lambda_n)$ l'ensemble des $(L,v)$ avec $|v| =1$.  Montrer que
l'espace  $D(\lambda_n)/S(\lambda_n)$ est hom\'eomorphe \`a
$\R\P^{n+1}$.

Montrer que le compactifi\'e d'Alexandroff de $\lambda_n$ est
hom\'eomorphe \`a $\R\P^{n+1}$.

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\textbf{13.} Fibr\'e tangent \`a $\R\P^n$.  On suppose
connu dans cet exercice la notion de fibr\'e tangent \`a une
vari\'et\'e diff\'erentiable.

On note $p$ la projection canonique de$T\R\P^n \times \R$ sur
$\R\P^n$.

On rappelle l'espace $\lambda_n$ et sa projection $p$ sur $\R\P^n$.
On d\'efinit $(n+1)\lambda_n$ par
$$
\{(L,v_1,\ldots,v_{n+1})| \, v_i \in L \; \; \forall i\}
$$
on notera $\pi$ la projection canonique sur $\R\P^n$.

Montrer qu'il existe un un hom\'eomorphisme $h$ de $T\R\P^n \times
\R$ avec $(n+1)\lambda_n$ tel que $\pi \circ \alpha = p$ - o\`u et
$\alpha$ restreinte \`a $p^{-1}(x)$ est un isomorphisme lin\'eaire
sur $\pi^{-1}(x) \cong  \R^{n+1}$ pour tout $x \in \R\P^n$.

\textbf{14.} Montrer que que le compl\'ementaire d'un nombre fini de points dans $\R^n$ est simplement connexe si $n \geq 3$. \vskip 4mm




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\textbf{15.} Montrer que le joint deux espaces, dont l'un est connexe est simplement connexe. \vskip 4mm





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\textbf{16.}  Calculer $\pi_1(U(n))$.

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\textbf{17.} Soit $\Gamma$ un graphe fini connexe. On d\'efinit les
quantit\'es suivantes : $b_0$ le nombre de sommets de $\Gamma$,
$b_1$ le nombre d'ar\^etes de $\Gamma$, $\chi (\Gamma)=b_0-b_1$, la
connectivit\'e de $\Gamma$, $c(\Gamma)$ qui est le plus grand nombre
d'ar\^etes ouvertes que l'on peut enlever \`a $\Gamma$ en le
laissant connexe.

Montrer par r\'ecurrence que
$$
\chi (\Gamma)=1-c(\Gamma)
$$


Montrer que le groupe fondamental de $  \Gamma$ a $c(\Gamma)$
g\'en\'erateurs.

Soit $  \Gamma$ de connectivit\'e $n$ et $\tilde  \Gamma$ un
rev\^etement connexe \`a $m$-feuillets. Quelle est sa
connectivit\'e?







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\textbf{18.} D\'emontrer qu'un sous-groupe distingu\'e non-trivial $H$ d'un
groupe libre qui est d'indice infini ne peut \^etre finiment
engendr\'e.
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\textbf{19.}  D\'ecrire le rev\^etement universel du bouquet d'un
cercle et d'une sph\`ere de dimension $2$.




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\textbf{20.} Soit $P$ un polyn\^ome \`a coefficients complexes, de
degr\'e $n$. On consid\`ere le sous-ensemble $\mathcal{S}$ suivant
de $\C \times \C$
$$
\{(\alpha ,u)| \; \; P(\alpha)=u \}
$$
Soit $D$ l'ensemble des complexes $a$ pour lesquels le discriminant
du polyn\^ome $P-a$ est nul. Montrer que l'application $\pi \, : \,
\mathcal{S}\ra {\bf C}, \, \,  (\alpha,u) \mapsto u$ d\'efinit un
rev\^etement $\pi^{-1}(\C\backslash D) \ra \C\backslash D$.

D\'ecrire $D$.

Montrer que si on prend $P= z^k$ l'espace total obtenu est
homotopiquement \'equivalent \`a un cercle. Qu'en est il si on prend
$P=z^2-z$?




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\vfill \eject





\end{document}
