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\author{ Lionel Schwartz}
\title{Th\'eor\`eme de compression}



\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{definition}[theorem]{D\'efinition}
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\newtheorem{case}{Cas}

\newenvironment{remark}%





\newenvironment{proof}
{\noindent\textit{D\'emonstration\quad}}{\hfill $\square$ \vspace{2ex}\par}

%*************************************************************
\begin{document}


\section{Enonc\'es}


Soit $X$ un espace topologique de point base $x_0$, et soit $h\, : \, S^{n-1} \ra X$ une application continue. On d\'efinit un espace $Y$ comme le quotient de $X \cup D^n$
{\it via} la relation d'\'equivalence qui identifie $x \in S^{n-1}$ avec $h(x)\in X$ pour tout $x \in S^{n-1}$. On notera $i \, : \, X \ra Y$ l'inclusion canonique.

L'int\'erieur de $D^n$ (la boule unit\'e ferm\'ee dans $\R^n$) est identifi\'e au sous-ensemble de $Y$ correspondant et sera appel\'e la $n$-cellule ouverte et not\'ee $e^n$. Son adh\'erence, qui en est la r\'eunion avec l'image de $h(S^{n-1})$, est la $n$-cellule ferm\'ee et not\'ee $\bar e^n$.







\begin{theorem} \label{comp}
L'application $i$ induit un isomorphisme $i_* \, : \, \pi_i(X) \ra \pi_i(Y)$ sur les groupes d'ohomotopie si $i <n-1$ et un \'epimorphisme si
$i=n-1$.
\end{theorem}

On donne ci-dessous les constructions utilis\'es pour d\'emontrer ce r\'esultat.




\begin{lemma} Soit ${E^n}$ la boule unit\'e de $\R^n$ \`a laquelle on a enlev\'e le centre. L'espace $Y'$, obtenu comme
quotient de $X \cup E^n$
{\it via} la relation d'\'equivalence qui identifie $x \in S^{n-1}$ avec $h(x) \in X$ pour tout $x \in S^{n-1}$,  se r\'etracte par d\'eformation sur $X$.
\end{lemma}


En effet $E^n$ se r\'etracte par d\'eformation sur $S^{n-1}$ par l'homotopie $$u \pi + (1-u) {\rm Id}$$ entre la projection radiale $\pi$ de $E^n$ sur $S^{n-1}$ et l'identit\'e de $E^n$. Cela induit formellement la r\'etraction recherch\'ee. On notera que l'on peut remplacer l'origine par un point quelqconque dans l'in`\"erieur de la boule.



Soit $\alpha \in \pi_i(Y)$ repr\'esent\'e par une application  de $D^i$ dans $Y$ qui envoie le bord $S^{i-1}$ sur $x_0$.
On va montrer que si $i <n$ on peut d\'eformer cette application en une application $\alpha'$ qui \'evite le centre de la boule $D^n$. On montre alors,  utilisant la r\'etraction par d\'eformation de $Y'$ sur $X$, que cette derni\`ere application $\alpha'$ est homotope \`a une application prenant valeurs dans $X$. Ce qui donne la surjectivit\'e si $i<n$. Toutes les homotopies consid\'er\'ees plus haut sont bas\'ees.

On reviendra sur la bijectivit\'e si $i<n-1$ \`a la fin.


\section{Subdivision barycentrique}





Le $n$-simplexe standard $\Delta^n$ est le sous-espace de $\R^{n+1}$ des $(n+1)$-uplets $(t_1,\ldots,t_{n+1})$ tels que $\Sigma_i \, t_i =1$ et
$t_i \geq 0$ pour tout $i$.

On appellera $n$-simplexe dans un espace $\R^k$ un sous ensemble  image de $\Delta^n \subset \R^n \subset \R^k$ par une bijection affine de
$\R^k$. Ceci suppose \'evidemment que $n \leq k$. Si on consid\`ere des applications affines quelconques (et donc que l'on ne suppose plus que $n \leq k$)
on parlera de $n$-simplexe singulier.


 On d\'efinit la subdivision barycentrique d'un $n$-simplexe par r\'ecurence sur $n$. Un $1$-simplexe est juste un segment $[A,B]$ dans un espace affine. Soit $I$ le milieu de $[A,B]$, la subdvision de $[A,B]$ est la donn\'ee de ce segment comme r\'eunion des segments $[A,I]$ et $[I,B]$.




Un $2$-simplexe $\sigma$
 est un triangle de sommets $A$, $B$, $C$ dans un espace affine. Soient $I$, $J$ et $K$ les milieux de $[B,C]$, $[C,A]$ et $[A,B]$. Et soit
$G$ le centre de gravit\'e du triangle. La d\'ecomposition barycentrique de $\sigma$ est la d\'ecomposition du simplexe comme r\'eunion des six
$2$-simplexes de sommets $(A,G,K)$, $(K,G,B)$, $(B,G,I)$, $(I,G,C)$, $(C,G,J)$, et $(J,G,A)$.

De mani\`ere g\'en\'erale soit  un $n$-simplexe $\sigma$, son bord est r\'eun,ion de $(n+1)$
$(n-1)$-simplexes (les faces).
 On effectue la subdivision barycentrique de tous ces
$(n-1)$-simplexes et on consid\`ere le centre de gravit\'e $G$ de $\sigma$. La subdivision barycentrique de $\sigma$ est la donn\'ee du simplexe initial comme r\'eunion des $n$-simplexes dont les sommets sont  $G$ et  les $n$-sommets de l'un quelconque des
$(n-1)$-simplexes apparaissant dans la subdivision de l'une quelconque des faces.


On notera ${\rm Subd}(\sigma)$ la subdivision d'un $n$-simplexe $\sigma$, c'est-\`a-dire la r\'eunion des $n$-simplexes obtenus ainsi qu'il a \'et\'e d\'ecrit. On peut it\'erer cette construction et obtenir les subdivisions it\'er\'ees ${\rm Subd}^k(\sigma)$

Dans la figure ci dessus on d\'ecrit un cas particulier de ce processus.

%\vfill\eject



\begin{figure}
  \includegraphics[width=400pt]{dessin1.pdf}\\
\end{figure}



On suppose  maintenant que les espaces affines que l'on consid\`ere sont  euclidiens. On d\'efinit le diam\`etre ${\rm diam }(A)$
d'un sous-ensemble $A$
comme la borne sup\'erieure (quand elle existe) des quantit\'es $||x-y||$ pour $x$ et $y$ d\'ecrivant $A$.

\begin{proposition}\label{diam}
Soit $\sigma$ un $n$-simplexe, et soit $\sigma'$ un $n$-simplexe de la subdivision barycentrique. Alors
$$
{\rm diam}(\sigma') \leq \frac{n}{n+1} {\rm diam }(\sigma)
$$

\end{proposition}

\section{construction de l'homotopie}

 L'application $\alpha$ prend valeur dans $Y$. Soit $K\rho$ l'image inverse par $\alpha$ d'une boule ferm\'ee $\bar e(\rho)$ contenue dans  la cellule  $e^n$ : $\bar e(\rho)$ s'identifie \`a la boule ferm\'ee de centre l'origine et de rayon $0 <\rho <1$ dans $D^n$. C'est un compact dans $\Delta^i$.  L'application $\alpha$ restreinte \`a ce compact est uniform\'ement continue.

 Soit aussi $U_1$ (resp. $U_2$) la boule ouverte de centre l'origine et de rayon $\rho/3$ (resp. $2\rho/3$).


\begin{lemma}
Pour $k$ assez grand l'image de tout simplexe de  ${\rm Subd}^k(\Delta^i)$,  qui est d'intersection non vide avec $K_\rho$, est de diam\`etre strictement inf\'erieur \`a $\epsilon>0$ donn\'e.
\end{lemma}

Cela r\'esulte de \ref{diam}.



Le lemme pr\'ec\'edent montre que pour $k$ assez grand le diam\`etre des simplexes constituant la subdivision it\'er\'ee peut \^etre rendu arbitrairement petit. On choisit un $\rho'$ tel que $\rho<\rho'<1$ et  l'on choisit $\epsilon < \rho'-\rho$, on supposera de plus que $3 \epsilon < \rho/3$. On choisit alors $\delta$ tel que si $x,y \in K_{\rho'}$ et $||x-y||< \delta$ on ait $||\alpha(x)-\alpha(y)||< \epsilon$.
Avec ce choix,  si on suppose que l'on a subdivis\'e suffisamment pour que le diam\`etre de tout simplexe de
${\rm Subd}^k(\Delta^i)$ soit inf\'erieur \`a $\delta$,  un simplexe  rencontrant $K_{\rho}$
a son image dans $e(\rho')$. On observe que la condition $3 \epsilon < \rho/3$ n'est pas utilis\'ee, elle le sera  plus tard.



Soit un simplexe $\sigma$ dont l'image est contenue dans $e(\rho’)$. Les images des $i+1$ sommets du simplexe d\'etermine une unique application affine de $\ell_\sigma$ de $\sigma$ dans $D^n$. On consid\`ere l'homotopie de $\alpha$ restreint \`a ce simplexe \`a l'approximation lin\'eaire d\'etermin\'ee plus haut. Cette homotopie est fixe sur les sommets. Elle est donn\'ee par la formule
$$ H(s,u)=u\alpha_\sigma(s)+(1-u)\ell_\sigma(s)$$
$s \in \sigma$, $u\in [0,1]$.

\begin{lemma}
 Le diam\`etre de l'image de $\sigma \times [0,1]$ est inf\'erieur \`a $3 \epsilon$.
\end{lemma}

Ceci est laiss\'e en exercice.



\begin{figure}
  \includegraphics[width=400pt]{Simplexe2.pdf}\\
\end{figure}


On consid\`ere alors
\begin{itemize}
\item l'ensemble $E_1$ des simplexes dont l'image est  contenue dans la boule ouverte de centre l'origine et
de rayon $\frac{\rho}{3}=U_1$,

\item l'ensemble $E_2$ des simplexes dont l'image est contenue dans la boule ouverte de centre l'origine et
de rayon $\frac{2\rho}{3}=U_2$, mais n'est pas contenue dans $U_1$,


\item l'ensemble $E_3$ des simplexes dont l'image est contenue dans la boule de centre l'origine et
de rayon ${\rho}$, mais n'est pas contenue dans $U_2$,

\item l'ensemble $E_4$ qui consiste en tous les autres simplexes.
\end{itemize}

Comme on suppose que  $3\epsilon < \frac{\rho}{3}$ les images des homotopies $H$ sur les  simplexes appartenant aux ensembles $E_2$, $E_3$  ne peuvent
contenir le centre le boule $D^n$.
En effet toutes ces images ont au moins un point hors de $U_1$ et leur diam\`etre est strictement inf\'erieur \`a $3\epsilon$.



Pour les simplexes de $E_4$ et pour lesquels l'homotopie n'est pas n\'ecessairement d\'efinie les conditions impliquent aussi (et plus trivialement) que l'image ne peut contenir le centre de la boule $D^n$.

On d\'efinit maintenant une application $\nu$ de l’int\'erieur de la boule $D^n$ vers $[0,1]$
par \begin{itemize}
\item $\nu$ vaut $1$ sur l'adh\'erence de $U_1$,
\item $\nu $vaut $0$ sur l'adh\'erence de $e^n  \backslash U_2$,
\item $\nu (v)= -3||v||+2$, $v \in D^n$, sinon.
\end{itemize}

Sur un simplexe $\sigma$ on consid\`ere finalement l'homotopie $\tilde H$ par

$$ \tilde H(s,u)=H(s,\nu(s)u) \; \;\; \;s \in \sigma, u\in [0,1] $$

Elle est bien d\'efinie et continue sur $\Delta^i \times I$. Elle ne d\'epend pas de $u$ pour tous les points dont l'image par $\alpha$ n'appartient pas \`a $U_2$ (elle est alors \'egale \`a $\alpha$).
On doit consid\'erer l'image des homotopies et non seulement celles des approximations lin\'eaires, car sauf pour les simplexes de $E_1$ l'homotopie ci dessus s'arr\^ete avant l'approximation lin\'eaire et c'est ce pourquoi on a besoin
de $3\epsilon < \frac{\rho}{3}$.

Les images des homotopies $\tilde H$ sont contenues dans les images des homotopies $H$, et donc sur les  simplexes appartenant aux ensembles $E_2$, $E_3$ elles ne peuvent
contenir le centre le boule $D^n$.
De m\^eme pour les simplexes de $E_4$  les conditions impliquent aussi (et plus trivialement) que l’image ne peut contenir le centre de la boule $D^n$.

Il n'y a donc que les images des simplexes de $E_1$ qui peuvent rencontrer l'origine $O$. Cependant comme ce sont des simplexes de dimension inf\'erieure \`a $n-1$ dans un espace de dimension $n$, et qu'il y en a un nombre fini, quitte \`a les d\'eplacer on peut \'eviter l'origine.

Si on veut \'eviter ce dernier argument il suffit de prendre $\epsilon$ plus petit. Par exemple tel que $6\epsilon < \frac{\rho}{3}$. Dans ce cas l'image des homotopies sur les simplexes n'appartenant pas \`a $E_1$ \'evite la boule de centre l'origine et de rayon $\epsilon$. Les images des simplexes de $E_1$ sont en nombre fini et de dimension au plus $n-1$ dans un espace de dimension $n$. Ils \'evitent au moins un point (pas n\'ecessairement l'origine mais c'est indiff\'erent).

\section{$i<n-1$}

Pour montrer l'isomorphisme sous la condition $i<n-1$ il suffit de montrer que l'on peut ramener une homotopie dans $Y$
dans l'espace $X$ en proc\'edant de mani\`ere analogue. Pour ce faire on est amen\'e \`a subdiviser $\Delta ^i \times I$
et non plus $\Delta^i$. La subdivision de $\Delta^i \times I$ se fait en $(i+1)$-simplexe. Au terme d'une argumentation anlogue \`a celle ci-dessus on est amen\'e \`a consid\'erer un nombre fini de $(i+1)$-simplexes dans un espace de dimension $n$. Pour \^etre sur qu'ils \'evitent un point il faut donc que $i+1<n$.
Un exemple de subdivision est donn\'ee dans la figure ci-dessus.


\begin{figure}
  \includegraphics[width=400pt]{Simplexe3.pdf}\\
\end{figure}






\end{document}






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\end{thebibliography}


\noindent LAGA, Universit\'e de Paris XIII, 93430 Villetaneuse,
France\\ trngnam@hotmail.com,\ \ tran@math.univ-paris13.fr

\end{document}