\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{amsfonts,amssymb,amsgen,theorem} %\usepackage[reqno]{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} %\usepackage[T1]{fontenc} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\pagestyle{empty} % Pas d'entete et de pied de page \topmargin 0cm % marge du bord haut a l'entete \headheight 0cm % hauteur de l'entete \headsep 0cm % espace de l'entete au texte \textheight 23cm % hauteur du texte \footskip 3cm % marge du bord bas au texte %\footheight 0,5cm % hauteur du bas de page \oddsidemargin 0cm % bord gauche au texte int. de marge \evensidemargin 0cm % bord droit au texte int. de marge \marginparwidth 0cm % texte de marge \marginparsep 0cm % bord de marge au texte \textwidth 16cm % largueur du texte \parindent 0cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newfont{\titref}{cmbx12 scaled \magstephalf} \newfont{\titrer}{cmbx10} \def\saut{\vskip 3mm} \def\R{{\mathbf R}} \def\Z{{\mathbf Z}} \def\Q{{\mathbf Q}} \def\Ga{{\mathbf Z}[i]} \begin{document} \begin{center} \topskip 3mm {\bf L2 Alg\`ebre bilin\'eaire et G\'eom\'etrie} \end{center} \begin{center} {\bf \'Epreuve du 3 Novembre 2009} \end{center} \vskip 5mm \def\C{{\bf C}} \def\S{{\mathcal S}} \def\A{{\mathcal A}} \def\N{{\bf N}} \def\Z{{\bf Z}} \def\F{{\bf F}} \vskip 2mm \textbf{1.} Rappeler ce qu'est la forme polaire d'une forme quadratique $\Phi$. La forme polaire $\varphi$ est la forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie par la formule $$ \varphi(x,y)=\frac{\Phi(x+y)-\Phi(x)-\Phi(y)}{2} $$ Soit $E$ un espace vectoriel muni d'une forme bilin\'eaire sym\'etrique $\varphi$. Soient $x$ et $y$ deux vecteurs isotropes pour la forme quadratique associ\'ee $\Phi$. Montrer que $x+y$ est isotrope si, et seulement si, $x$ et $y$ sont orthogonaux. Si $\Phi(x) =\Phi(y)= 0$ on a par la formule ci dessus $\varphi(x,y)=\frac{\Phi(x+y)}{2}$, donc $\varphi(x,y)=0$ est \'equivalent \`a $\Phi(x+y)=0$. \vskip 2mm \textbf{2.} D\'eterminer une d\'ecomposition de Gauss (c'est \`a dire d\'ecomposition en somme de carr\'es lin\'eairement ind\'ependants) et en d\'eduire noyau, rang, signature pour la forme quadratique : \begin{itemize} \item $q : \R^3 \rightarrow \R : (x,y,z) \mapsto x^2+2y^2+2z^2+2xy-4xz-6yz$. \end{itemize} On \'ecrit \begin{itemize} \item $x^2+2y^2+2z^2+2xy-4xz-6yz=(x^2+2x(y-2z)+(y-2z)^2)-(y-2z)^2+2y^2+2z^2-6yz$, \item posant $x'=x+y-2z$ on a : \item $(x^2+2x(y-2z)+(y-2z)^2)-(y-2z)^2)+2z^2-6yz=x'^2-y^2+4yz-4z^2+2y^2+2z^2-6yz$, \item soit $ \cdots=x'2+(y^2-2yz+z^2)-z^2-2z^2$, \item posant $y'=y-z$ et $z'=z$ on obtient : \item $ \cdots=x'^2+y'^2-3z'^2$. \end{itemize} Le rang est donc $3$ (il y a $3$ carr\'es lin\'eairement ind\'ependants avec des coefficients non nuls. La signature $(2,1)$. Le noyau est r\'eduit au vecteur nul puis que que l'on sait que c'est un sous-espace de dimension \'egale \`a la diff\'erence de la dimension de l'espaces ($3$ ici) et du rang ($3$ aussi). \vskip 3mm \textbf{3.} Pour la forme quadratique suivante, o\`u $a$ est un param\`etre r\'eel, d\'eterminer une d\'ecomposition de Gauss. En d\'eduire noyau, rang, signature en fonction de $a$ : \begin{itemize} \item $q : \R^3 \rightarrow \R : (x,y,z,t) \mapsto x^2+a^2y^2+2axz+2yz$ \end{itemize} On \'ecrit \begin{itemize} \item $x^2+a^2y^2+2axz+2yz=(x^2+2axz+a^2z^2)+a^2y^2+2yz-a^2z^2 $, \item posant $x'=x+az$ on a :, \item $\cdots=x'^2+a^2(y^2+2\frac{yz}{a^2}+\frac{z^2}{a^4})-\frac{z^2}{a^2}-a^2z^2$ il faudra \'evidemment distinguer le cas $a=0$ des autres, \item posant $y'=y+\frac{z}{a}z$ et $z'=z$ on obtient \item $ \cdots = x'2 +a^2y'2 -(a^2+\frac{1}{a^2}z'^2$. \end{itemize} So $a \not =0$ la forme est de rang $3$ et signature $(2,1)$. Si $a=0$ $x^2+2yz$ on pose $x'=x$, $y=y'+z'$, $z=y'-z'$ et la forme devient $x'2+2y'2-2z'^2$. Le rang est encore $3$ et la signature $(2,1)$. \vskip 2mm \textbf{4.} Soient $x_0,x_1,x_2$ $3$ \'el\'ements de $\R$ deux \`a deux distincts. Montrer que la famille ${\cal L} = (L_i)_{0\leq i\leq2}$ de polyn\^omes d\'efinis par : $$L_i(X) = \prod_{\buildrel{j=0}\over{j\not=i }}^2 \frac {X-x_j}{x_i-x_j}$$ est une base de $P_2[X]$ (les polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $2$). L'espace des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $2$ est de dimension $3$. Il suffit donc de montrer que les $3$ polyn\^omes $L_0,L_1,L_2$ sont lin\'eairement ind\'ependants. On consid\`ere une combinaison lin\'eaire $P=\alpha L_0+\beta L_1+\gamma L_2$. Supposons $P$ nul. Il faut montrer que $\alpha; \beta,\gamma$ sont nuls. Calculons la valeur de la combinaison lin\'eaire en $x_0$. On calcule $L_0(x_0)=1$ et $L_1(x_0)=L_2(x_0)=0$. Il suit que $\alpha=P(x_0)=0$. En calculant en $x_1$ on trouve $\beta =0$, avec $x_2$ on a $\gamma=0$. Le r\'esultat suit. En fait on vient d'observer que $L_i(x_j)=\delta_{i,j} $ Ceci montre par d\'efinition de la base duale la question suivante. Montrer que la base duale de $\cal L$ est d\'efinie par les formes lin\'eaires $L_i^*(P) =P(x_i)$ ($i=0,1,2$). On consid\`ere l'application $\Delta$ qui \`a un \'el\'ement de $P_2[X]$ associe la valeur de sa d\'eriv\'ee seconde en $0$. Montrer que c'est une forme lin\'eaire. Il suffit d'observer que $(P+Q)^"(0)=P^"(0)+Q^"(0)$ et $(aP)^"(0)=aP^"(0)$. L'\'ecrire comme combinaison lin\'eaire des $L_j^*$. Les $L^*_j$ formant une base du dual on peut d\'ecomposer la forme lin\'eaire ci dessus sur cette base : $$ \Delta=\alpha L_0^* +\beta L_1^* + \gamma L_2^* $$ On calcule avec cette formule en l'appliquant sur les polyn\^omes s$1$, $X$, $X^2$, les deux premierrs plyn\^omes on une d\'eriv\'ee seconde nulle, le troisi\`eme a la d\'eriv\'ee seconde \'egale \`a $2$, on obtient donc \begin{itemize} \item $0=\alpha +\beta + \gamma$ pour $1$, \item $0=\alpha x_0 +\beta x_1 + \gamma x_2$ pour $X$, \item $2=\alpha x_0^2 +\beta x_1^2 + \gamma x_2^2$ pour $X^2$. \end{itemize} Ce syst\`eme se r\'esoud facilement mais on peut aussi calculer avec les polyn\^omes $L_0$, $L_1$, $L_2$. On obtient alors (compte tenu du calcul des d\'eriv\'ees secondes) directement : \begin{itemize} \item $\frac{1}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\alpha $ pour $L_0$, \item $\frac{1}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\beta $ pour $L_1$, \item $\frac{1}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}= \gamma $ pour $L_2$. \end{itemize} \vskip 2mm \textbf{5.} Soit $\varphi$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique sur $\R^2$ dont la matrice dans la base canonique est : $$A=\left(\begin{array} {cc} 0&1\\1&0\\ \end{array} \right ) $$ Soit $\Phi$ la forme quadratique associ\'ee. \begin{enumerate} \item Quel est le rang de $\Phi$ et son noyau? Lev rang de la matrice associ\'ee est $2$, donc le rang est $2$. Cela r\'esulte aussi de la question suivante. \item D\'eterminer une d\'ecomposition de Gauss de $\Phi$. Quelle est la signature de $\Phi$? On pose $x=x'+y'$, $y=x'-y'$. On obtient donc $2xy=2x'^2-2y'^2$. La signature est $(1,1)$. \item D\'eterminer une matrice $P$ telle que $^tP A P$ diagonale. La matrice $P$ est donn\'ee par la formule $X=PX'$, soit $P=\left(\begin{array} {cc} 1&1\\1&-1\\ \end{array} \right ) $ \item Quels sont les vecteurs isotropes de $\Phi$? Ce sont les vecteurs de la forme $(a,0)$ ou $(0,a)$. \end{enumerate} \end{document}