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\def\saut{\vskip 3mm}
\def\R{{\mathbf R}}
\def\Z{{\mathbf Z}}
\def\Q{{\mathbf Q}}
\def\Ga{{\mathbf Z}[i]}


\begin{document}

\begin{center}
\topskip 3mm {\bf L2 Alg\`ebre bilin\'eaire et G\'eom\'etrie}

\end{center}
\begin{center}
{\bf \'Epreuve du 3 Novembre 2009}
\end{center}
\vskip 5mm

\def\C{{\bf C}}
\def\S{{\mathcal S}}
\def\A{{\mathcal A}}
\def\N{{\bf N}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\F{{\bf F}}
\vskip 2mm


\textbf{1.} Rappeler ce qu'est la forme polaire d'une forme quadratique $\Phi$.

La	 forme polaire $\varphi$ est la forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie par la formule  
$$
\varphi(x,y)=\frac{\Phi(x+y)-\Phi(x)-\Phi(y)}{2}
$$


Soit $E$  un espace vectoriel muni d'une forme bilin\'eaire
sym\'etrique $\varphi$. Soient $x$ et $y$ deux vecteurs isotropes pour la forme quadratique associ\'ee $\Phi$.
Montrer que $x+y$ est isotrope si, et seulement si, $x$ et $y$
sont orthogonaux.
 
 Si
$\Phi(x) =\Phi(y)= 0$ on a par la formule ci dessus $\varphi(x,y)=\frac{\Phi(x+y)}{2}$, donc $\varphi(x,y)=0$ est \'equivalent \`a $\Phi(x+y)=0$.

\vskip 2mm




\textbf{2.}
 D\'eterminer une
d\'ecomposition de Gauss (c'est \`a dire d\'ecomposition en somme de carr\'es lin\'eairement ind\'ependants) et en d\'eduire noyau, rang, signature pour la forme quadratique  :

\begin{itemize}
\item  $q : \R^3 \rightarrow \R : (x,y,z) \mapsto
x^2+2y^2+2z^2+2xy-4xz-6yz$.
\end{itemize}
On \'ecrit
\begin{itemize}
\item $x^2+2y^2+2z^2+2xy-4xz-6yz=(x^2+2x(y-2z)+(y-2z)^2)-(y-2z)^2+2y^2+2z^2-6yz$,
\item posant $x'=x+y-2z$ on a :
\item $(x^2+2x(y-2z)+(y-2z)^2)-(y-2z)^2)+2z^2-6yz=x'^2-y^2+4yz-4z^2+2y^2+2z^2-6yz$,
\item soit $ \cdots=x'2+(y^2-2yz+z^2)-z^2-2z^2$,
\item posant $y'=y-z$ et $z'=z$ on obtient :
\item $ \cdots=x'^2+y'^2-3z'^2$.
\end{itemize}

Le rang est donc $3$ (il y a $3$ carr\'es lin\'eairement ind\'ependants avec des coefficients non nuls. La signature $(2,1)$. Le noyau est r\'eduit au vecteur nul puis que que l'on sait que c'est un sous-espace 
de dimension \'egale \`a la diff\'erence de la dimension de l'espaces ($3$ ici) et du rang ($3$ aussi).



\vskip 3mm \textbf{3.} Pour la forme quadratique suivante, o\`u
$a$ est un param\`etre r\'eel, d\'eterminer une d\'ecomposition de
Gauss. En d\'eduire noyau, rang, signature en fonction de $a$ :

\begin{itemize}

\item $q : \R^3 \rightarrow \R : (x,y,z,t) \mapsto
x^2+a^2y^2+2axz+2yz$
\end{itemize}


On \'ecrit
\begin{itemize}
\item $x^2+a^2y^2+2axz+2yz=(x^2+2axz+a^2z^2)+a^2y^2+2yz-a^2z^2 $,
\item posant $x'=x+az$ on a :,
\item $\cdots=x'^2+a^2(y^2+2\frac{yz}{a^2}+\frac{z^2}{a^4})-\frac{z^2}{a^2}-a^2z^2$ il faudra \'evidemment distinguer le cas $a=0$ des autres,
\item posant $y'=y+\frac{z}{a}z$ et $z'=z$ on obtient
\item $ \cdots = x'2 +a^2y'2 -(a^2+\frac{1}{a^2}z'^2$.
\end{itemize}

So $a \not =0$ la forme est de rang $3$ et signature $(2,1)$. Si $a=0$ $x^2+2yz$ on pose $x'=x$, $y=y'+z'$, $z=y'-z'$ et la forme devient
$x'2+2y'2-2z'^2$. Le rang est encore $3$ et la signature $(2,1)$.



\vskip 2mm




\textbf{4.}
Soient $x_0,x_1,x_2$ $3$ \'el\'ements de $\R$ deux \`a deux
distincts. Montrer que la famille ${\cal L} = (L_i)_{0\leq i\leq2}$ de polyn\^omes d\'efinis par :
$$L_i(X) = \prod_{\buildrel{j=0}\over{j\not=i }}^2  \frac {X-x_j}{x_i-x_j}$$

est une base de $P_2[X]$ (les polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $2$).


L'espace des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $2$ est de dimension $3$. Il suffit donc de montrer que les $3$ polyn\^omes $L_0,L_1,L_2$ sont lin\'eairement ind\'ependants. 
On consid\`ere une combinaison lin\'eaire $P=\alpha L_0+\beta L_1+\gamma L_2$. Supposons $P$ nul. Il faut montrer que $\alpha; \beta,\gamma$ sont nuls. Calculons la valeur de la combinaison 
lin\'eaire en $x_0$. On calcule $L_0(x_0)=1$ et $L_1(x_0)=L_2(x_0)=0$. Il suit que $\alpha=P(x_0)=0$. En calculant en $x_1$ on trouve $\beta =0$,  avec  $x_2$ on a $\gamma=0$. Le r\'esultat suit.

En fait on vient d'observer que $L_i(x_j)=\delta_{i,j}
$
Ceci montre par d\'efinition de la base duale la question suivante.


Montrer que la base duale de $\cal L$ est d\'efinie par les formes lin\'eaires $L_i^*(P)
=P(x_i)$ ($i=0,1,2$).

On consid\`ere l'application $\Delta$ qui \`a un \'el\'ement de $P_2[X]$
associe la valeur de sa d\'eriv\'ee seconde en $0$. Montrer que
c'est une forme lin\'eaire. 

Il suffit d'observer que $(P+Q)^"(0)=P^"(0)+Q^"(0)$ et $(aP)^"(0)=aP^"(0)$.

L'\'ecrire comme combinaison
lin\'eaire des $L_j^*$.

Les $L^*_j$ formant une base du dual on peut d\'ecomposer la forme lin\'eaire ci dessus sur cette base :

$$
\Delta=\alpha L_0^*  +\beta L_1^* + \gamma L_2^*
$$

On calcule avec cette formule en l'appliquant sur les polyn\^omes s$1$, $X$, $X^2$, les deux premierrs plyn\^omes on une d\'eriv\'ee seconde nulle, le troisi\`eme a la d\'eriv\'ee seconde \'egale \`a $2$,  on obtient donc
\begin{itemize}
\item $0=\alpha   +\beta  + \gamma$ pour $1$,
\item $0=\alpha x_0  +\beta x_1 + \gamma x_2$ pour $X$,
\item $2=\alpha x_0^2  +\beta x_1^2 + \gamma x_2^2$ pour $X^2$.
\end{itemize}

Ce syst\`eme se r\'esoud facilement mais 
on peut aussi calculer avec les polyn\^omes $L_0$, $L_1$, $L_2$. On obtient alors (compte tenu du calcul des d\'eriv\'ees secondes) directement :

\begin{itemize}
\item $\frac{1}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\alpha   $ pour $L_0$,
\item $\frac{1}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\beta $ pour $L_1$,
\item $\frac{1}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}= \gamma $ pour $L_2$.
\end{itemize}


\vskip 2mm




\textbf{5.}

Soit $\varphi$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique sur $\R^2$ dont la
matrice dans la base canonique est :
$$A=\left(\begin{array} {cc} 0&1\\1&0\\ \end{array} \right ) $$
Soit $\Phi$ la forme quadratique associ\'ee.

\begin{enumerate}

\item Quel est le rang de $\Phi$ et son noyau?


Lev rang de la matrice associ\'ee est $2$, donc le rang est $2$. Cela r\'esulte aussi de la question suivante.

\item D\'eterminer une d\'ecomposition de Gauss de $\Phi$. Quelle est
la signature de $\Phi$?

On pose $x=x'+y'$, $y=x'-y'$. On obtient donc $2xy=2x'^2-2y'^2$. La signature est $(1,1)$.

\item D\'eterminer une matrice $P$ telle que  $^tP  A P$ diagonale.

La matrice $P$ est donn\'ee par la formule $X=PX'$, soit $P=\left(\begin{array} {cc} 1&1\\1&-1\\ \end{array} \right ) $


\item Quels sont les vecteurs isotropes de $\Phi$?
Ce sont les vecteurs de la forme $(a,0)$ ou $(0,a)$.

\end{enumerate}









\end{document}
