\documentclass[french,12pt]{article}


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\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition}
\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
\def\exe{{\bf Exemples}}
\def\B{{\mathcal B}}
\theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}}
\def\Im{{\rm Im}}
\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}
\def\resp{(resp. $\C$) }

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\rg{{\rm rang}}



\begin{document}













\def\ra{\longrightarrow}

\bigskip

\begin{center}
{\bf {\huge Coniques et quadriques}}
\end{center}
\vskip 2cm








\begin{section}{Coniques}




Soient $E$ un  espace vectoriel euclidien de dimension $2$ , le produit scalaire sera not\'e comme d'habitude :  
$<u,v>$. On suppose donn\'e le rep\`ere orthornorm\'e avec les notations standards, $\vec i, \vec j$, axe des $x$ et des $y$. 





\begin{defi}\begin{itemize}
\item On appellera parabole de foyer $F \in E$ et directrice $ D \subset E$, $F \not \in D$, l'ensemble des points dont la distance \`a $F$ est \'egale \`a la distance \`a $D$.
\item On appellera ellipse de foyers $F_1, F_2 \in E$ l'ensemble des points dont la somme des distances \`a $F_1$ et \`a $F_2$ est \'egale \`a $d$.  
\item On appellera hyperbole de foyers $F_1, F_2 \in E$ l'ensemble des points dont la valeur absolue de la diff\'erence des  distance  \`a $F_1$ et \`a $F_2$ est \'egale \`a $d$.  
\end{itemize}

\end{defi}


La droite $F_1F_2$, ou la perpendiculaire \`a $D$ passant par $F$ est la droite (ou axe) focale.



\begin{thm}\begin{itemize} Le lieu des points  du plan euclidien dont le rapport des distances  \`a $F \in E$ et une droite $ D \subset E$, $F \not \in D$ est \'egal \`a une constante $e > 0$, est 
\item une parabole  si $e=1$,
\item une ellipse si $e<1$,
\item une hyperbole si $e>1$.
\end{itemize}

\end{thm}


Le r\'eel $e$ est appel\'e l'excentricit\'e.



Le cas $e=0$ doit \^etre trait\'e \`a part et rel\`eve de la d\'efinition pr\'ece\'edente dans le cas des ellipses, avec $F_1=F_2$, on obtient les cercles.
 
\begin{thm} \end{thm}

\vskip 5mm


{\bf Si on suppose que la directrice est l'axe des $x$ et le foyer le point de coordonn\'ees $(0,a)$ la parabole a pour \'equation $x^2=2ay-a^2$ soit, $y=\frac{x^2+a^2}{2a}$. Le point $(0,\frac{a}{2})$ est appel\'e
le sommet.  La quantit\'e $p=\parallel a  \parallel$ est appel\'e le param\`etre de la parabole. La parabole est sym\'etrique par rapport \`a la droite focale.}

Application physique : un rayon lumineux \'emis par le foyer se r\'efl\'echit sur la parabole dans la direction de la directrice.

\vskip 5mm


{\bf Si on suppose que les foyers sont les  points de coordonn\'ees$(\alpha,0)$ et $(-\alpha,0)$, et la somme des distances $d$,
elle admet l'origine pour centre de sym\'etrie, l'axe des $x$ et celui des $y$ comme axes de sym\'etrie.}

Elle a pour \'equation
 $$
\sqrt {(x-\alpha)^2+y^2}+\sqrt {(x+\alpha)^2+y^2}=d
$$ 
soit
$$
((x-\alpha)^2 +(x+\alpha)^2+2y^2-d^2)^2=4(x^2-\alpha^2)^2+y^4+2y^2(x^2+\alpha^2))
$$ 
Les termes de degr\'e $3$ et $4$ en $x$, $y$, $\alpha$ disparaissent. Il reste
$$
((x-\alpha)^2 +(x+\alpha)^2+2y^2-d^2)^2=4(x^2-\alpha^2)^2+y^4+2y^2(x^2+\alpha^2))
$$

Soit
$$
x^2(4d^2-16\alpha^2)+y^24d^2=d^2(d^2-4\alpha^2)
$$

On suppose \'evidemment $d \geq 2 \alpha \geq 0$.

L'\'equation devient

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
$$
avec $a=\frac{d}{2} \geq b=\sqrt{\frac{d^2-4\alpha^2}{4}}$.



So on prend maintenant le lieu des points dont le rapport des distances  au point de coordonn\'ees $(u,0)$ et \`a l'axe des $y$ vaut $e<1$ on obtient l'\'equation 
$$
(x-u)^2+y^2=e^2x^2
$$
soit en posant $x'=x-\frac{u}{1-e^2}$ 
$$
\frac{x'^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1
$$

avec $a= {\frac{ue}{1-e^2}}$ $b= {\frac{ue}{\sqrt{1-e^2}}}$,

On a donc bien une ellipse.

 On notera que 
$$
e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}
$$

Avec la premi\`ere \'equation
$$
e=\frac{2\alpha}{d}
$$

Il convient de noter qu'une ellipse a deux foyers et deux directrices. Sous la forme de l'\'equation 

$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1
$$

les foyers sont les points $(ae,0)$, $(-ae,0)$, les directrices associ\'ees sont les droites d'\'equation respective $x=\frac{a}{e}$ et $x=-\frac{a}{e}$.

On notera qu'une ellipse est connexe.


Application \`a la physique : mouvement des plan\`etes.

\vskip 5mm


{\bf Si on suppose que que les foyers sont les  points de coordonn\'ees$(\alpha,0)$ et $(-\alpha,0)$, et la valeur absolue de la diff\'erence  des distances $d$,
l'hyperbole admet l'origine pour centre de sym\'etrie, l'axe des $x$ et celui des $y$ comme axes de sym\'etrie.}


Elle a pour \'equation
 $$
(\sqrt {(x-\alpha)^2+y^2}-\sqrt {(x+\alpha)^2+y^2})^2=d^2
$$ 



soit comme plus haut

$$
x^2(4d^2-16\alpha^2))+y^24d^2=d^2(d^2-4\alpha^2)
$$

Mais ici $ 2 \alpha \geq d \geq 0$.

L'\'equation devient

$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
$$
avec $a=\frac{d}{2} \geq b=\sqrt{\frac{4\alpha^2-d^2}{4}}$.



So on prend maintenant le lieu des points dont le rapport des distances  au point de coordonn\'ees $(u,0)$ et \`a l'axe des $y$ vaut $e>1$ on obtient l'\'equation 
$$
(x-u)^2+y^2=e^2x^2
$$
soit en posant $x'=x-\frac{u}{1-e^2}$ 
$$
\frac{x'^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1
$$

avec $a= {\frac{ue}{1-e^2}}$ $b= {\frac{ue}{\sqrt{e^2-1}}}$,

On a donc bien une hyperbole.

 On notera que 
$$
e^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}
$$

Il convient de noter qu'une hyperbole a deux foyers et deux directrices. Sous la forme de l'\'equation 

$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1
$$

les foyers sont les points $(ae,0)$, $(-ae,0)$, les directrices associ\'ees sont les droites d'\'equation respective $x=\frac{a}{e}$ et $x=-\frac{a}{e}$.

Une hyperbole a deux composantes connexes.


Application \`a la physique : mouvement de deux particules dont la charge \'electrique a le m\^eme signe.


Les sommets d'une hyperbole ou d'une ellipse sont les intersections de la courbe avec l'axe focal, et pour l'ellipse avec la perpendiculaire \`a l'axe focal passant par l'origine.













\end{section}

\begin{section} {Coniques du plan euclidien}

On va reprendre d'une autre mani\`ere d\'esormais. On appellera conique lieu des points de coordonn\'ees $x$ et $y$ d'un plan euclidien tel qu'un polyn\^ome en $x$ et $y$  du second degr\'e prenne une
valeur donn\'ee.

Soit $ax^2+2bxy+cx^2+dx+ey+f$ ce polyn\^ome. On va montrer que e lieu des points est une conique dont on va chercher les caract\'eristiques.

On commence par chercher \`a faire dispara�tre les termes de degr\'e $1$ par une translation en posant $x'=-\alpha$, $y'=y-\beta$. Un calcul montre que ceci est possible si le d\'eterminant 
$\begin{vmatrix} a&b \cr b & c \cr \end{vmatrix}$
est non nul, autrement dit si le rang de la forme quadratique $ax^2+2bxy+cx^2$ est $2$.

On se place sous cette hypoth\`ese, on dira que l'on a une conique \`a centre. 

On se ram\`ene donc \`a chercher le lieu des points tels que $ax^2+2bxy+cy^2=k$, pour une certaine constante $k$. 

Si $k=0$ le lieu est soit vide soit r\'eunion de deux droites. On supposera dans la suite que $k \not = 0$ et on \'etudiera donc  $ax^2+2bxy+cy^2=1$ en divisant de chaque c\^ot\'e par $k$. On pose $A=\begin{pmatrix} a&b \cr b & c \cr \end{pmatrix}$, 
il s'agit d'une matrice sym\'etrique r\'eelle. On peut dont la diagonaliser dans une base orthonorm\'ee. Les deux valeurs propres sont non nulles.

Il y a trois cas :

\begin{enumerate}
\item D'abord les deux valeurs propres sont positives, si on note $X$ et $Y$ les coordonn\'ees dans la nouvelle base, et $\lambda \leq \mu$ les valeurs propres, l'\'equation 
devient $$ax^2+2bxy+cy^2=\lambda X^2 +\mu Y^2=1$$
 On a donc une ellipse, avec  $\lambda=\frac{1}{a^2}$ et $\mu=\frac{1}{b^2}$. On fera attention \`a l'ordre de $a$ et $b$, $\lambda $ et $\mu$.
 
 Les axes de sym\'etrie de l'ellipse sont port\'es par les vecteurs propres, l'axe focal correspond \`a la plus petite valeur propre.
 
 \item Ensuite  les deux valeurs propres sont n\'egatives, l'ensemble est vide. 
 
 \item Puis une  valeur propre est positive, $\lambda$, l'autre est n\'egative $-\mu$. Si on note $X$ et $Y$ les coordonn\'ees dans la nouvelle base, l'\'equation devient $$ax^2+2bxy+cy^2=\lambda X^2 - \mu Y^2=1$$
 On a donc une hyperbole, avec  $\lambda=\frac{1}{a^2}$ et $\mu=\frac{1}{b^2}$. 
 
 
 Les axes de sym\'etrie de l'ellipse sont port\'es par les vecteurs propres, l'axe focal \`a celui qui rencontre l'hyperbole, l'axe des $x$.
 

 

\end{enumerate}

Il reste \`a traiter le cas o\`u la forme est d\'eg\'en\'er\'ee. On commence d'embl\'ee par diagonaliser $A=\begin{pmatrix} a&b \cr b & c \cr \end{pmatrix}$ sous la forme $A=\begin{pmatrix} \lambda &0 \cr 0 & 0 \cr \end{pmatrix}$. Le changement de variable ram\`ene alors \`a une \'equation 
$$ax^2+2bxy+cy^2=\lambda X^2 +uX+vY=1$$ qui se ram\`ene \`a l'\'equation d'une parabole par translation.




\end{section}






\end{document}
