\documentclass[french,12pt]{article} \oddsidemargin=-0.5cm \evensidemargin=-0.5cm \topmargin=-1.5cm \parindent=0pt \textheight=25 cm \textwidth=16 cm \usepackage{amssymb,amsmath,amsthm} \newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section] \newtheorem{lem}[thm]{Lemme} \newtheorem{cor}[thm]{Corollaire} \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} \newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition} \newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition} \def\exe{{\bf Exemples}} \def\B{{\mathcal B}} \theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}} \def\Im{{\rm Im}} \newtheorem{ex}[thm]{Exemple} \theoremstyle{remark} \newtheorem{rem}[thm]{Remarque} \newtheorem{preuve}[thm]{Preuve} \def\resp{(resp. $\C$) } \numberwithin{equation}{section} \def\R{\mathbb R} \def\N{\mathbb N} \def\C{\mathbb C} \def\Q{\mathbb Q} \def\Z{\mathbb Z} \def\rg{{\rm rang}} \begin{document} \def\ra{\longrightarrow} \bigskip \begin{center} {\bf {\huge Coniques et quadriques}} \end{center} \vskip 2cm \begin{section}{Coniques} Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $2$ , le produit scalaire sera not\'e comme d'habitude : $$. On suppose donn\'e le rep\`ere orthornorm\'e avec les notations standards, $\vec i, \vec j$, axe des $x$ et des $y$. \begin{defi}\begin{itemize} \item On appellera parabole de foyer $F \in E$ et directrice $ D \subset E$, $F \not \in D$, l'ensemble des points dont la distance \`a $F$ est \'egale \`a la distance \`a $D$. \item On appellera ellipse de foyers $F_1, F_2 \in E$ l'ensemble des points dont la somme des distances \`a $F_1$ et \`a $F_2$ est \'egale \`a $d$. \item On appellera hyperbole de foyers $F_1, F_2 \in E$ l'ensemble des points dont la valeur absolue de la diff\'erence des distance \`a $F_1$ et \`a $F_2$ est \'egale \`a $d$. \end{itemize} \end{defi} La droite $F_1F_2$, ou la perpendiculaire \`a $D$ passant par $F$ est la droite (ou axe) focale. \begin{thm}\begin{itemize} Le lieu des points du plan euclidien dont le rapport des distances \`a $F \in E$ et une droite $ D \subset E$, $F \not \in D$ est \'egal \`a une constante $e > 0$, est \item une parabole si $e=1$, \item une ellipse si $e<1$, \item une hyperbole si $e>1$. \end{itemize} \end{thm} Le r\'eel $e$ est appel\'e l'excentricit\'e. Le cas $e=0$ doit \^etre trait\'e \`a part et rel\`eve de la d\'efinition pr\'ece\'edente dans le cas des ellipses, avec $F_1=F_2$, on obtient les cercles. \begin{thm} \end{thm} \vskip 5mm {\bf Si on suppose que la directrice est l'axe des $x$ et le foyer le point de coordonn\'ees $(0,a)$ la parabole a pour \'equation $x^2=2ay-a^2$ soit, $y=\frac{x^2+a^2}{2a}$. Le point $(0,\frac{a}{2})$ est appel\'e le sommet. La quantit\'e $p=\parallel a \parallel$ est appel\'e le param\`etre de la parabole. La parabole est sym\'etrique par rapport \`a la droite focale.} Application physique : un rayon lumineux \'emis par le foyer se r\'efl\'echit sur la parabole dans la direction de la directrice. \vskip 5mm {\bf Si on suppose que les foyers sont les points de coordonn\'ees$(\alpha,0)$ et $(-\alpha,0)$, et la somme des distances $d$, elle admet l'origine pour centre de sym\'etrie, l'axe des $x$ et celui des $y$ comme axes de sym\'etrie.} Elle a pour \'equation $$ \sqrt {(x-\alpha)^2+y^2}+\sqrt {(x+\alpha)^2+y^2}=d $$ soit $$ ((x-\alpha)^2 +(x+\alpha)^2+2y^2-d^2)^2=4(x^2-\alpha^2)^2+y^4+2y^2(x^2+\alpha^2)) $$ Les termes de degr\'e $3$ et $4$ en $x$, $y$, $\alpha$ disparaissent. Il reste $$ ((x-\alpha)^2 +(x+\alpha)^2+2y^2-d^2)^2=4(x^2-\alpha^2)^2+y^4+2y^2(x^2+\alpha^2)) $$ Soit $$ x^2(4d^2-16\alpha^2)+y^24d^2=d^2(d^2-4\alpha^2) $$ On suppose \'evidemment $d \geq 2 \alpha \geq 0$. L'\'equation devient $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ avec $a=\frac{d}{2} \geq b=\sqrt{\frac{d^2-4\alpha^2}{4}}$. So on prend maintenant le lieu des points dont le rapport des distances au point de coordonn\'ees $(u,0)$ et \`a l'axe des $y$ vaut $e<1$ on obtient l'\'equation $$ (x-u)^2+y^2=e^2x^2 $$ soit en posant $x'=x-\frac{u}{1-e^2}$ $$ \frac{x'^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 $$ avec $a= {\frac{ue}{1-e^2}}$ $b= {\frac{ue}{\sqrt{1-e^2}}}$, On a donc bien une ellipse. On notera que $$ e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2} $$ Avec la premi\`ere \'equation $$ e=\frac{2\alpha}{d} $$ Il convient de noter qu'une ellipse a deux foyers et deux directrices. Sous la forme de l'\'equation $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 $$ les foyers sont les points $(ae,0)$, $(-ae,0)$, les directrices associ\'ees sont les droites d'\'equation respective $x=\frac{a}{e}$ et $x=-\frac{a}{e}$. On notera qu'une ellipse est connexe. Application \`a la physique : mouvement des plan\`etes. \vskip 5mm {\bf Si on suppose que que les foyers sont les points de coordonn\'ees$(\alpha,0)$ et $(-\alpha,0)$, et la valeur absolue de la diff\'erence des distances $d$, l'hyperbole admet l'origine pour centre de sym\'etrie, l'axe des $x$ et celui des $y$ comme axes de sym\'etrie.} Elle a pour \'equation $$ (\sqrt {(x-\alpha)^2+y^2}-\sqrt {(x+\alpha)^2+y^2})^2=d^2 $$ soit comme plus haut $$ x^2(4d^2-16\alpha^2))+y^24d^2=d^2(d^2-4\alpha^2) $$ Mais ici $ 2 \alpha \geq d \geq 0$. L'\'equation devient $$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$ avec $a=\frac{d}{2} \geq b=\sqrt{\frac{4\alpha^2-d^2}{4}}$. So on prend maintenant le lieu des points dont le rapport des distances au point de coordonn\'ees $(u,0)$ et \`a l'axe des $y$ vaut $e>1$ on obtient l'\'equation $$ (x-u)^2+y^2=e^2x^2 $$ soit en posant $x'=x-\frac{u}{1-e^2}$ $$ \frac{x'^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1 $$ avec $a= {\frac{ue}{1-e^2}}$ $b= {\frac{ue}{\sqrt{e^2-1}}}$, On a donc bien une hyperbole. On notera que $$ e^2=\frac{a^2+b^2}{a^2} $$ Il convient de noter qu'une hyperbole a deux foyers et deux directrices. Sous la forme de l'\'equation $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1 $$ les foyers sont les points $(ae,0)$, $(-ae,0)$, les directrices associ\'ees sont les droites d'\'equation respective $x=\frac{a}{e}$ et $x=-\frac{a}{e}$. Une hyperbole a deux composantes connexes. Application \`a la physique : mouvement de deux particules dont la charge \'electrique a le m\^eme signe. Les sommets d'une hyperbole ou d'une ellipse sont les intersections de la courbe avec l'axe focal, et pour l'ellipse avec la perpendiculaire \`a l'axe focal passant par l'origine. \end{section} \begin{section} {Coniques du plan euclidien} On va reprendre d'une autre mani\`ere d\'esormais. On appellera conique lieu des points de coordonn\'ees $x$ et $y$ d'un plan euclidien tel qu'un polyn\^ome en $x$ et $y$ du second degr\'e prenne une valeur donn\'ee. Soit $ax^2+2bxy+cx^2+dx+ey+f$ ce polyn\^ome. On va montrer que e lieu des points est une conique dont on va chercher les caract\'eristiques. On commence par chercher \`a faire dispara�tre les termes de degr\'e $1$ par une translation en posant $x'=-\alpha$, $y'=y-\beta$. Un calcul montre que ceci est possible si le d\'eterminant $\begin{vmatrix} a&b \cr b & c \cr \end{vmatrix}$ est non nul, autrement dit si le rang de la forme quadratique $ax^2+2bxy+cx^2$ est $2$. On se place sous cette hypoth\`ese, on dira que l'on a une conique \`a centre. On se ram\`ene donc \`a chercher le lieu des points tels que $ax^2+2bxy+cy^2=k$, pour une certaine constante $k$. Si $k=0$ le lieu est soit vide soit r\'eunion de deux droites. On supposera dans la suite que $k \not = 0$ et on \'etudiera donc $ax^2+2bxy+cy^2=1$ en divisant de chaque c\^ot\'e par $k$. On pose $A=\begin{pmatrix} a&b \cr b & c \cr \end{pmatrix}$, il s'agit d'une matrice sym\'etrique r\'eelle. On peut dont la diagonaliser dans une base orthonorm\'ee. Les deux valeurs propres sont non nulles. Il y a trois cas : \begin{enumerate} \item D'abord les deux valeurs propres sont positives, si on note $X$ et $Y$ les coordonn\'ees dans la nouvelle base, et $\lambda \leq \mu$ les valeurs propres, l'\'equation devient $$ax^2+2bxy+cy^2=\lambda X^2 +\mu Y^2=1$$ On a donc une ellipse, avec $\lambda=\frac{1}{a^2}$ et $\mu=\frac{1}{b^2}$. On fera attention \`a l'ordre de $a$ et $b$, $\lambda $ et $\mu$. Les axes de sym\'etrie de l'ellipse sont port\'es par les vecteurs propres, l'axe focal correspond \`a la plus petite valeur propre. \item Ensuite les deux valeurs propres sont n\'egatives, l'ensemble est vide. \item Puis une valeur propre est positive, $\lambda$, l'autre est n\'egative $-\mu$. Si on note $X$ et $Y$ les coordonn\'ees dans la nouvelle base, l'\'equation devient $$ax^2+2bxy+cy^2=\lambda X^2 - \mu Y^2=1$$ On a donc une hyperbole, avec $\lambda=\frac{1}{a^2}$ et $\mu=\frac{1}{b^2}$. Les axes de sym\'etrie de l'ellipse sont port\'es par les vecteurs propres, l'axe focal \`a celui qui rencontre l'hyperbole, l'axe des $x$. \end{enumerate} Il reste \`a traiter le cas o\`u la forme est d\'eg\'en\'er\'ee. On commence d'embl\'ee par diagonaliser $A=\begin{pmatrix} a&b \cr b & c \cr \end{pmatrix}$ sous la forme $A=\begin{pmatrix} \lambda &0 \cr 0 & 0 \cr \end{pmatrix}$. Le changement de variable ram\`ene alors \`a une \'equation $$ax^2+2bxy+cy^2=\lambda X^2 +uX+vY=1$$ qui se ram\`ene \`a l'\'equation d'une parabole par translation. \end{section} \end{document}