\documentclass[french,12pt]{article}


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\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition}
\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
\def\exe{{\bf Exemples}}
\def\B{{\mathcal B}}
\theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}}
\def\Im{{\rm Im}}
\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}
\def\resp{(resp. $\C$) }

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\rg{{\rm rang}}



\begin{document}













\def\ra{\longrightarrow}

\bigskip

\begin{center}
{\bf {\huge
 Dual d'un espace vectoriel et formes lin\'eaires}}
\end{center}
\vskip 2cm








\begin{section}{Espace vectoriel}

Dans ce cours on ne consid/`ere que des   d'espaces vectoriels sur le corps $\R$ .

\begin{defi} Un espace vectoriel sur $\R$  est un ensemble $E$
muni de deux op\'erations.

 D'abord d'une addition, c'est \`a dire qu'\`a tout couple $v,w \in E$ on
peut associer $v+w \in E$ tel que les r\`egles de calcul
ordinaires dans $\R^n$  aient lieu. A savoir

\begin{itemize}
 \item $(u+v)+w=u+(v+w)$ pour tous $u,v,w \in E$;
\item $u+v=v+u$ pour tous $u,v \in E$; \item $u+v=v+u$ pour tous
$u,v \in E$; \item il existe un \'el\'ement not\'e $0_E$ tel que
$u+0_E=u$ pour tout $u \in E$; pour tout $u \in E$ il existe un
\'el\'ement $v \in E$ tel que $u+v=0_E$.
\end{itemize}


De plus il existe une application de $\R \times E \ra E$ not\'ee
$(\lambda, v) \ra \lambda .v$, telle que pour tout $\lambda, \mu
\in \R$ (resp. $\C$) et $v,w \in E$ on ait
\begin{itemize}
\item $1.v=v$;
 \item $(\lambda + \mu).v= \lambda . v + \mu .v$;
 \item $\lambda .(\mu .v)= (\lambda  \mu).v$;
 \item $\lambda .(v+w)=\lambda .v + \lambda .w$.
\end{itemize}
\end{defi}



\vskip 5mm


Dans la suite $\lambda .v$ sera not\'e $\lambda v$ pour
simplifier.



Les \'el\'ements de $\R$  sont appel\'es les scalaires, les
\'el\'ements de $E$ les vecteurs. La seconde op\'eration est la
multiplication par les scalaires.

Le vecteur $0_E$ est appel\'e le vecteur nul, il sera not\'e $0$
simplement, on fera attention \`a ne pas le confondre avec $0 \in
\R $. On a $0_E.v=0_E$ ($0v=0$ avec les notations
all\'eg\'ees). On le montre en observant que
$v=1.v=(1+0).v=1.v+0.v=v+0.v$, soit $v=v+0.v$ puis en simplifiant.



le vecteur $v$ tel que $u+v=0$   est appel\'e l'oppos\'e il est
not\'e $-u$ car il est \'egal \`a $(-1)u$.

Voici des exemples.

\begin{enumerate}

\item Si on consid\`ere $\R^n$  en prenant pour
addition l'addition terme \`a terme :
$(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)$ et
pour multiplication par les scalaires
$\lambda(x_1,\ldots,x_n)=(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)$ on
constate qu'on a un espace vectoriel. \item L'ensemble des
fonctions ${\mathcal F}(A,\R)$ d'un sous-ensemble $A$ de $\R$
(resp. $\C$) dans $\R$ (resp. $\C$). \item L'ensemble des
fonctions continues ${\mathcal C}(]a,b[,\R)$ d'un intervalle
$]a,b[$ de $\R$
 dans $\R$.\item L'ensemble des
fonctions d\'erivables ${\mathcal D}(]a,b[,\R)$ d'un intervalle
$]a,b[$ de $\R$
 dans $\R$. \item L'ensemble des
fonctions infiniment d\'erivables ${\mathcal D^\infty}(]a,b[,\R)$
d'un intervalle $]a,b[$ de $\R$
 dans $\R$.

\item On peut \'evidemment consid\'erer dans les exemples
pr\'ec\'edents des
 intervalles ferm\'es \`a gauche ou \`a droite.
\item L'ensemble des fonctions polyn\^omes sur $\R$.
\item Ceux de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a
un entier donn\'e $n$. \item En particulier on peut consid\'erer l'ensemble des fonctions polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $1$. On les apellera
fonctions affines, on peut aussi consid\'erer le sous-ensemble de celles qui sont nulles en l'origine : on les appellera formes lin\'eaires (voir plus loin).

\end{enumerate}


\begin{defi} Un sous-espace vectoriel $F$ d'un espace vectoriel
$E$ est un sous-ensemble $F$ non-vide de $E$ tel que :
\begin{itemize}
\item si $u,v \in F$ alors $u+v \in F$; \item si $\lambda \in \R$,
(resp $\C$) alors $\lambda u \in F$.
\end{itemize}
\end{defi}

\begin{itemize}
\item L'exemple 7 ci dessus est un sous-espace vectoriel de
l'exemple 6 qui est lui m\^eme un sous-espace de l'exemple 5.
\item $\R^{n-1}$ est un sous espace de $\R^{n}$, identifiant
$\R^{n-1}$ aux $n$-uplets avec $x_n=0$. \item Si on consid\`ere le
plan $\R^2$ avec son syst\`eme de coordonn\'ees standard  toute
droite distincte passant par l'origine est un sous-espace (une
droite qui ne passe pas par l'origine n'est pas un sous-espace).
\end{itemize}



\vskip 5mm

On rappelle que l'intersection d'une famille quelconque de
sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.

On notera que le sous-ensemble r\'eduit au vecteur nul $0$ est un
sous-espace not\'e $\{0\}$, on l'appelle le sous-espace trivial.

\vskip 5mm

\begin{defi} (Somme de deux sous-espaces) Etant donn\'es deux
sous-espaces $F$ et $G$ d'un espace $E$ (on abr\`ege sous-espace
vectoriel eu sous-espace et espace vectoriel en espace) leur somme
not\'ee $F+G$ est le sous-espace constitu\'e par les vecteurs de
la forme $u+v$
 pour tout $u \in F$, $v \in G$.

 Si $F \cap G =\{0\}$ la somme est dite directe, et dans ce cas on
 note $F \oplus G$. On dit aussi que $F$ et $G$ sont en somme
 directe et le sous-espace $F \oplus G$ est appel\'e la somme
 directe de $F$ et $G$.

\end{defi}\begin{prop}
Etant donn\'ee une famille de sous-espaces $F_i$ et $i=1,\ldots,n$
d'un espace $E$  leur somme est directe si et seulement si l'une
des deux conditions suivantes a lieu :
\begin{itemize}
\item L'\'equation $x_1+\ldots+x_n=0$ avec $x_1 \in F_1, \ldots,
x_n \in F_n $ a pour seule solution $x_1=\ldots=x_n=0$.

\item Pour tout $i$, $1 \leq i \leq n$, on a
$$
(F_1+\ldots+F_{i-1})\cap F_i = \{0\}
$$
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{defi}Si $F$ et $G$ sont des sous-espaces de $E$, si ils
sont en somme directe et si $F \oplus G =E$ on dit que $G$ est un
suppl\'ementaire de $F$ (et $F$ un suppl\'ementaire de $G$).
\end{defi}

Un sous-espace a toujours un suppl\'ementaire. Mais ce
suppl\'ementaire n'est pas unique.

Par exemple si on consid\`ere le plan $\R^2$ avec son syst\`eme de
coordonn\'ees standard pour $E$ et l'axe des abscices pour $F$,
toute droite distincte passant par l'origine est un
suppl\'ementaire pour $F$.

Si on consid\`ere l'espace $\R^3$ avec son syst\`eme de
coordonn\'ees standard pour $E$ et le plan des $x,y$ pour $F$,
toute droite non contenue dans ce plan et passant par l'origine
est un suppl\'ementaire pour $F$.


\end{section}

\begin{section}{Syst\`emes de vecteurs et dimension}

Soit $E$ un espace vectoriel. Un syst\`eme de vecteurs de $E$ est
une famille $(v_1,\dots,v_n)$ de vecteurs de $E$.

\begin{defi}Un syst\`eme $(v_1,\dots,v_n)$ est li\'e si il existe
$\lambda_1,\dots,\lambda_n$ non tous nuls tels que $\lambda_1 v_1
+\ldots + \lambda_n v_n =0$. Si le syst\`eme n'est pas li\'e il
est libre.

Un syst\`eme $(v_i)_{i \in I}$ est li\'e si il existe $\lambda_i$,
$i \in I$ presque tous nuls (nuls sauf un nombre fini d'entre eux)
tels que $\sum_{i \in I} \lambda_i v_i =0$. Si le syst\`eme n'est
pas li\'e il est libre.
\end{defi}

\begin{itemize}
\item Un syst\`eme qui contient le vecteur nul est li\'e. \item Un
syst\`eme qui contient deux fois le m\^eme vecteur est li\'e.
\item Un syst\`eme qui contient un sous-syst\`eme li\'e  est
li\'e. \item Un syst\`eme qui est contenu dans un sous-syst\`eme
libre est libre. \item Parmi les polyn\^omes de degr\'e
inf\'erieur ou \'egal \`a $n$ le syst\`eme $1,X,X^2,\dots,X^n$ est
libre. \item Soit $P_i$ un polyn\^ome de la forme
$X^i+a_{-1}X^{i-1}+\ldots+a_0$, parmi les polyn\^omes de degr\'e
inf\'erieur ou \'egal \`a $n$ le syst\`eme $P_0,P_2,\dots,P_n$ est
libre. \item Parmi les fonctions de $\R$ dans $\R$ le syst\`eme
$1,e^x,\dots,e^{nx}$ est libre.
\end{itemize}

Etant donn\'e un syt\`eme $(v_1,\dots,v_n)$ une combinaison
lin\'eaire de ces vecteurs est un vecteur de la forme $\lambda_1
v_1+ \ldots + \lambda_n v_n$. L'ensemble des combinaisons
lin\'eaires d'un syst\`eme de vecteurs est un sous-espace
vectoriel appel\'e le sous-espace engendr\'e par le syst\`eme.

\begin{defi}Un syst\`eme $(v_1,\dots,v_n)$ (resp. $(v_i)_{i \in I}$) est g\'en\'erateur pour un
espace vectoriel $E$ si tout vecteur de $E$ est combinaison
lin\'eaire des $v_i$.
\end{defi}

\begin{defi}Un syst\`eme $(v_1,\dots,v_n)$ (resp. $(v_i)_{i \in I}$) est une base d'un espace vectoriel
$E$ si il est g\'en\'erateur et libre.
\end{defi}

Soit l'espace $\R^n$, et soit $e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$
o\`u le terme $1$ est en position $i$. Le syst\`eme
$(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $\R^n$  appel\'e
la base standard.


On appelle espace vectoriel de dimension finie tout espace
vectoriel admettant une famille g\'en\'eratrice finie. Le
th\'eor\`eme suivant est fondamental.



\begin{thm} Toutes les bases d'un espace vectoriel de dimension
finie on le m\^eme nombre d'\'el\'ements appel\'e dimension de
l'espace.
\end{thm}

Ce th\'eor\`eme s'\'etend aux espaces vectoriels de dimension
infinie. Mais on n'en parlera pas ici, donc dans toute la suite,
$E$ est un espace vectoriel de dimension finie.

\begin{itemize}

\item  Le syst\`eme $(1,X,X^2,\dots,X^n)$ est une base des
polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$, l'espace est
de dimension $n+1$. \item Soit $P_i$ un polyn\^ome de la forme
$X^i+a_{-1}X^{i-1}+\ldots+a_0$, $0 \leq i \leq n$. le syst\`eme
$P_0,P_2,\dots,P_n$ est une base des polyn\^omes de degr\'e
inf\'erieur ou \'egal \`a $n$. \item L'espace des solutions d'une
\'equation diff\'erentielle lin\'eaire d'ordre $n$ sans second
membre est de dimension $n$. \item L'espace des suites lin\'eaires
r\'ecurrentes satisfaisant \`a une relation du type : $$
u_k=a_{k-1}u_{k-1}+\ldots+a_{k-n}u_{k-n}
$$ est de dimension $n$.

\end{itemize}


 Soit $F\subset E$ un sous-espace vectoriel de $E$.
Alors, $F$ est de dimension finie, et $$\dim(F)\leq \dim(E) $$ De
plus, on a $\dim(F)=\dim(E)\iff F=E$.




\begin{defi}
 On appelle rang d'un syst\`eme de vecteurs d'un espace $E$ la dimension du
sous-espace vectoriel engendr\'e par ce syst\`eme.
\end{defi}

Le rang est toujours inf\'erieur au nombre de vecteurs du
syst\`eme et \`a la dimension de l'espace ambiant $E$.



\end{section}

\begin{section} {Sous espaces et sommes directes}


\begin{prop}Soient {\bf 1.} $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On a
$$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).$$

{\bf 2.} $F$ et $G$ sont en somme directe si et seulement si

$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)$.

{\bf 3.} On a \'equivalence entre:

(i) $E=F\oplus G$

(ii) $E=F+G$ et $\dim(E)=\dim(F)+\dim(G)$

(iii) $F\cap G=\{0\}$ et $\dim(E)=\dim(F)+\dim(G)$

\end{prop}


A titre d'exemple et de contre exemple on regardera la somme de
deux plans distincts de $\R^3$.

\begin{defi}Si $F$ et $G$ sont des sous-espaces de $E$, si ils
sont en somme directe et si $F \oplus G =E$ on dit que $G$ est un
suppl\'ementaire de $F$ et $F$ un suppl\'ementaire de $G$.
\end{defi}

La troisi\`eme partie de la proposition pr\'ec\'edente se
g\'en\'eralise en

\begin{prop}Soient

{\bf 3.} On a \'equivalence entre:

(i) $$E=\oplus_{i=1,\ldots,n} F_i$$

(ii) $$E=\sum_{i=1,\ldots,n} F_i$$ et $\dim(E)=
\Sigma_{i=1,\ldots,n}\dim(F_i)$


\end{prop}


La proposition suivante explique comment construire une base d'un
espace vectoriel $E$ qui est somme directe de deux sous-espaces
$F$ et $G$.

\begin{prop}
La r\'eunion d'une base quelconque de $F$ et d'une base quelconque
de $G$ est une base de $E$. autrement dit si $(v_1,\ldots,v_k)$
est une base de $F$, $(w_1,\ldots,w_\ell)$ une base de $G$
$(v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_\ell)$ est une base de $E$.
\end{prop}

Le r\'esxultat s'\'etend \`a une somme directe de $n$
sous-espaces.



\end{section}

\begin{section} {Application lin\'eaire, rang, projecteurs}

Dans tout ce qui suit, $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels de dimension
finie.

\begin{defi} Soit $f:\ E\ra F$ une application, on, dit que c'est une application lin\'eaire
si les deux conditions sont satisfaites pour tout $\lambda \in \R$, $v,w \in E$ :
\begin{itemize} \item $f(\lambda v)= \lambda f(v)$
\item $f(v + w)= f(v) + f(w)$.
\end{itemize}
\end{defi}

La somme de deux applications lin\'eaires est lin\'eaire. Si on
multiplie une application lin\'eaire par un scalaire on obtient
encore une application lin\'eaire. L'ensemble des applications
lin\'eaires de $E$ dans $F$ forme un espace vectoriel not\'e
${\mathcal L}(E,F)$. Sa dimension est ${\rm dim} (E) {\rm dim} (F)$.

Si $f$ est une application lin\'eaire de $E$ dans $F$, et $g$ une
application lin\'eaire de $F$ dans $G$ alors $g \circ f$ est une
application lin\'eaire de $E$ dans $G$.

\vskip 5mm

Le noyau de $f$ est l'ensemble des $v \in E$ tels que $f(v)=0$.
C'est un sous-espace vectoriel de $E$ not\'e $\Ker (f)$.

\vskip 5mm L'image de $f$ est l'ensemble des $f(v)$, $v \in E$.
C'est un sous-espace vectoriel de $E$ not\'e $\Im (f)$.


\vskip 5mm

\begin{defi}On appelle rang de $f$ la dimension de l'image de $f$.
\end{defi}

\begin{defi}Le rang d'un syst\`eme de vecteurs $(v_1,\dots,v_n)$ est la dimension
du sous-espace qu'il engendre.

\end{defi}


Si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, le rang de $f$ est le rang
du syst\`eme de vecteurs $(f(e_1),\dots,f(e_n))$.

\begin{prop} (th\'eor\`eme du rang) On a $$\rg(f)=\dim(E)-\dim(\ker
f)$$
\end{prop}

 Soit $E^\prime$ un suppl\'ementaire dans $E$ de $\ker f$. L'application $f$
 restreinte \`a $E'$ induit  un isomorphisme sur
$E'$. On a donc $\rg(f)=\dim(\Im f)=\dim(E)-\dim(\ker f)$.

\begin{prop} Soit $f:\, E\ra F$ une application lin\'eaire, et supposons que
$\dim E=\dim F$ et qu'elle est finie.
On a alors \'equivalence entre

(i) $f$ est injective

(ii) $f$ est surjective

(iii) $f$ est bijective
\end{prop}
\end{section}

On va maintenant consid\'erer des applications lin\'eaires
particuli\`eres les projecteurs. Soit $E=F \oplus G$  une
d\'ecomposition en somme directe. Tout vecteur $x \in E$ s'\'ecrit
$x=x_F+x_G$, $x_F \in F$, $x_G \in G$. Le projecteur
parall\`element \`a $G$ sur $F$ est l'application de $E$ dans $E$
qui a $x$ associe $x_F$, on le notera $p$. En voici les
propri\'et\'es :

\begin{itemize}
\item $p$ est lin\'eaire; \item $\Ker (p) = G$; \item $\Im (p)
=F$; \item $p^2=p$.
\end{itemize}

En fait
\begin{thm}
Une application lin\'eaire $p$ est un projecteur si et seulement
si $p^2=p$. Dans ce cas c'est le projecteur parall\`element \`a
$\Ker (p)$ sur $\Im (p)$.
\end{thm}

Si $E$ est un espace vectoriel l'ensemble des applications
lin\'eaires de $E$ dans lui m\^eme est not\'e ${\mathcal L}(E)$.


On note ${\rm GL}(E)$ l'ensemble des apliccations lin\'eaires
inversibles de $E$ dans $E$. La compos\'ee de deux applications
inversibles est inversible.




\section{Hyperplans et formes lin\'eaires, dual}


Soit $E$ un espace de dimension $n$. On appelle hyperplan de $E$
tout sous-espace vectoriel $H$ de $E$ de dimension $n-1$. \vskip 5mm Supposons que $E$ est de dimension $n$.

 On a \'equivalence entre:

(i) $H$ est un hyperplan de $E$;



(ii) Pour tout vecteur $v\in E$, $v \not \in H$ $E$ est somme
directe de $H$ et de $\R v$.


\vskip 5mm

Une frorme lin\'eaire sur $E$ est une application lin\'eaire de $E$ dans $\R$
\resp .
 Si $\phi$ une forme lin\'eaire non nulle. D'apr\`es le
th\'eor\`eme du rang, son noyau est un hyperplan de $E$.

 Soit $H$ un hyperplan de $E$. Il existe une forme lin\'eaire
non nulle $\phi$ sur $E$ telle que $H=\ker\phi$. On dit que $\phi$
est une \'equation de $H$.

 Soit $v\in E$ tel que $E=H\oplus \R v$. Soit $p$ la projection sur
$\R v$ parall\`element \`a
 $H$. Il suffit alors de prendre pour
$\phi$ l'application de $E$ dans $\R$ telle que, pour tout $x\in
E$, $p(x)=\phi(x)v$.




Par exemple dans $\R^3$, les hyperplans sont les plans passant par
l'origine. Ils ont une \'equation du type $ax+by+cz=0$ ;
$\phi(x,y,z)=ax+by+cz$ est la forme lin\'eaire correspondante.


\vskip 5mm

\begin{defi}
L'ensemble des formes lin\'eaires est un espace vectoriel sur $\R$ qu'on appelle le dual de $E$ et que l'on note $E^*$.\end{defi}



\begin{thm} Soit un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ et de base $B=(e_1,\ldots,e_n)$.
L'espace vectoriel  $E^*$ est de dimension $n$ et admet pour base (en particulier) le syst\`eme de formes lin\'eaires $(e^*_1,\ldots,e^*_n)$, o\`u
$e^*_i$ est d\'efini par $e^*_i(e_j)=\delta_{i,j}$, avec $\delta_{i,j}=1$ si $i=j$, $0$ sinon. Cette base de $E^*$ est appel\'ee base duale de la base $B$. \end{thm}

Note : $\delta_{i,j}$ est appel\'e le symbole de Kronecker.


Quelques d\'etails sur la d\'emonstration. 

D'abord une forme lin\'eaire $\phi$ est d\'etermin\'ee par ses valeurs sur la base. En efftet si $v \in E$ est donn\'e par 
$v=x_1E_1+\cdots+x_ne_n$ on a (par lin\'earit\'e) $\phi(v)=x_1\phi(e_1)+\cdots+x_n\phi(e_n)$.  Donc la forme est d\'etermin\'ee d\'es que l'on connait les valeurs 
$\phi(e_i)$ pour tout $i$.

Ensuite l'application qui \`a $v$ associe sa coordonn\'ee $x_i$ dans la base $B$ est la forme lin\'eaire $e_i^*$. Donc la formule ci dessus devient
$$\phi=\phi(e_1)e_1^*+\cdots+\phi(e_n)e_n^*$$

Le fait que la famille des $e^*_i$ soit libre r\'esulte de ce qui suit. Si on a $a_1e^*_1+\cdots+a_ne^*_n=0$, en appliquant cette identit\'e au vecteur $e_i$ on obtient
$a_i=0$. 

Le r\'esultat suit : la famille est libre et g\'en\'eratrice, donc est une base (on la note souvent $B^*$).



















\end{document}
