\documentclass[french,12pt]{article} \oddsidemargin=-0.5cm \evensidemargin=-0.5cm \topmargin=-1.5cm \parindent=0pt \textheight=25 cm \textwidth=16 cm \usepackage{amssymb,amsmath,amsthm} \newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section] \newtheorem{lem}[thm]{Lemme} \newtheorem{cor}[thm]{Corollaire} \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} \newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition} \newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition} \def\exe{{\bf Exemples}} \def\B{{\mathcal B}} \theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}} \def\Im{{\rm Im}} \newtheorem{ex}[thm]{Exemple} \theoremstyle{remark} \newtheorem{rem}[thm]{Remarque} \newtheorem{preuve}[thm]{Preuve} \def\resp{(resp. $\C$) } \numberwithin{equation}{section} \def\R{\mathbb R} \def\N{\mathbb N} \def\C{\mathbb C} \def\Q{\mathbb Q} \def\Z{\mathbb Z} \def\rg{{\rm rang}} \begin{document} \def\ra{\longrightarrow} \bigskip \begin{center} {\bf {\huge Dual d'un espace vectoriel et formes lin\'eaires}} \end{center} \vskip 2cm \begin{section}{Espace vectoriel} Dans ce cours on ne consid/`ere que des d'espaces vectoriels sur le corps $\R$ . \begin{defi} Un espace vectoriel sur $\R$ est un ensemble $E$ muni de deux op\'erations. D'abord d'une addition, c'est \`a dire qu'\`a tout couple $v,w \in E$ on peut associer $v+w \in E$ tel que les r\`egles de calcul ordinaires dans $\R^n$ aient lieu. A savoir \begin{itemize} \item $(u+v)+w=u+(v+w)$ pour tous $u,v,w \in E$; \item $u+v=v+u$ pour tous $u,v \in E$; \item $u+v=v+u$ pour tous $u,v \in E$; \item il existe un \'el\'ement not\'e $0_E$ tel que $u+0_E=u$ pour tout $u \in E$; pour tout $u \in E$ il existe un \'el\'ement $v \in E$ tel que $u+v=0_E$. \end{itemize} De plus il existe une application de $\R \times E \ra E$ not\'ee $(\lambda, v) \ra \lambda .v$, telle que pour tout $\lambda, \mu \in \R$ (resp. $\C$) et $v,w \in E$ on ait \begin{itemize} \item $1.v=v$; \item $(\lambda + \mu).v= \lambda . v + \mu .v$; \item $\lambda .(\mu .v)= (\lambda \mu).v$; \item $\lambda .(v+w)=\lambda .v + \lambda .w$. \end{itemize} \end{defi} \vskip 5mm Dans la suite $\lambda .v$ sera not\'e $\lambda v$ pour simplifier. Les \'el\'ements de $\R$ sont appel\'es les scalaires, les \'el\'ements de $E$ les vecteurs. La seconde op\'eration est la multiplication par les scalaires. Le vecteur $0_E$ est appel\'e le vecteur nul, il sera not\'e $0$ simplement, on fera attention \`a ne pas le confondre avec $0 \in \R $. On a $0_E.v=0_E$ ($0v=0$ avec les notations all\'eg\'ees). On le montre en observant que $v=1.v=(1+0).v=1.v+0.v=v+0.v$, soit $v=v+0.v$ puis en simplifiant. le vecteur $v$ tel que $u+v=0$ est appel\'e l'oppos\'e il est not\'e $-u$ car il est \'egal \`a $(-1)u$. Voici des exemples. \begin{enumerate} \item Si on consid\`ere $\R^n$ en prenant pour addition l'addition terme \`a terme : $(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)$ et pour multiplication par les scalaires $\lambda(x_1,\ldots,x_n)=(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)$ on constate qu'on a un espace vectoriel. \item L'ensemble des fonctions ${\mathcal F}(A,\R)$ d'un sous-ensemble $A$ de $\R$ (resp. $\C$) dans $\R$ (resp. $\C$). \item L'ensemble des fonctions continues ${\mathcal C}(]a,b[,\R)$ d'un intervalle $]a,b[$ de $\R$ dans $\R$.\item L'ensemble des fonctions d\'erivables ${\mathcal D}(]a,b[,\R)$ d'un intervalle $]a,b[$ de $\R$ dans $\R$. \item L'ensemble des fonctions infiniment d\'erivables ${\mathcal D^\infty}(]a,b[,\R)$ d'un intervalle $]a,b[$ de $\R$ dans $\R$. \item On peut \'evidemment consid\'erer dans les exemples pr\'ec\'edents des intervalles ferm\'es \`a gauche ou \`a droite. \item L'ensemble des fonctions polyn\^omes sur $\R$. \item Ceux de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a un entier donn\'e $n$. \item En particulier on peut consid\'erer l'ensemble des fonctions polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $1$. On les apellera fonctions affines, on peut aussi consid\'erer le sous-ensemble de celles qui sont nulles en l'origine : on les appellera formes lin\'eaires (voir plus loin). \end{enumerate} \begin{defi} Un sous-espace vectoriel $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-ensemble $F$ non-vide de $E$ tel que : \begin{itemize} \item si $u,v \in F$ alors $u+v \in F$; \item si $\lambda \in \R$, (resp $\C$) alors $\lambda u \in F$. \end{itemize} \end{defi} \begin{itemize} \item L'exemple 7 ci dessus est un sous-espace vectoriel de l'exemple 6 qui est lui m\^eme un sous-espace de l'exemple 5. \item $\R^{n-1}$ est un sous espace de $\R^{n}$, identifiant $\R^{n-1}$ aux $n$-uplets avec $x_n=0$. \item Si on consid\`ere le plan $\R^2$ avec son syst\`eme de coordonn\'ees standard toute droite distincte passant par l'origine est un sous-espace (une droite qui ne passe pas par l'origine n'est pas un sous-espace). \end{itemize} \vskip 5mm On rappelle que l'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. On notera que le sous-ensemble r\'eduit au vecteur nul $0$ est un sous-espace not\'e $\{0\}$, on l'appelle le sous-espace trivial. \vskip 5mm \begin{defi} (Somme de deux sous-espaces) Etant donn\'es deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un espace $E$ (on abr\`ege sous-espace vectoriel eu sous-espace et espace vectoriel en espace) leur somme not\'ee $F+G$ est le sous-espace constitu\'e par les vecteurs de la forme $u+v$ pour tout $u \in F$, $v \in G$. Si $F \cap G =\{0\}$ la somme est dite directe, et dans ce cas on note $F \oplus G$. On dit aussi que $F$ et $G$ sont en somme directe et le sous-espace $F \oplus G$ est appel\'e la somme directe de $F$ et $G$. \end{defi}\begin{prop} Etant donn\'ee une famille de sous-espaces $F_i$ et $i=1,\ldots,n$ d'un espace $E$ leur somme est directe si et seulement si l'une des deux conditions suivantes a lieu : \begin{itemize} \item L'\'equation $x_1+\ldots+x_n=0$ avec $x_1 \in F_1, \ldots, x_n \in F_n $ a pour seule solution $x_1=\ldots=x_n=0$. \item Pour tout $i$, $1 \leq i \leq n$, on a $$ (F_1+\ldots+F_{i-1})\cap F_i = \{0\} $$ \end{itemize} \end{prop} \begin{defi}Si $F$ et $G$ sont des sous-espaces de $E$, si ils sont en somme directe et si $F \oplus G =E$ on dit que $G$ est un suppl\'ementaire de $F$ (et $F$ un suppl\'ementaire de $G$). \end{defi} Un sous-espace a toujours un suppl\'ementaire. Mais ce suppl\'ementaire n'est pas unique. Par exemple si on consid\`ere le plan $\R^2$ avec son syst\`eme de coordonn\'ees standard pour $E$ et l'axe des abscices pour $F$, toute droite distincte passant par l'origine est un suppl\'ementaire pour $F$. Si on consid\`ere l'espace $\R^3$ avec son syst\`eme de coordonn\'ees standard pour $E$ et le plan des $x,y$ pour $F$, toute droite non contenue dans ce plan et passant par l'origine est un suppl\'ementaire pour $F$. \end{section} \begin{section}{Syst\`emes de vecteurs et dimension} Soit $E$ un espace vectoriel. Un syst\`eme de vecteurs de $E$ est une famille $(v_1,\dots,v_n)$ de vecteurs de $E$. \begin{defi}Un syst\`eme $(v_1,\dots,v_n)$ est li\'e si il existe $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ non tous nuls tels que $\lambda_1 v_1 +\ldots + \lambda_n v_n =0$. Si le syst\`eme n'est pas li\'e il est libre. Un syst\`eme $(v_i)_{i \in I}$ est li\'e si il existe $\lambda_i$, $i \in I$ presque tous nuls (nuls sauf un nombre fini d'entre eux) tels que $\sum_{i \in I} \lambda_i v_i =0$. Si le syst\`eme n'est pas li\'e il est libre. \end{defi} \begin{itemize} \item Un syst\`eme qui contient le vecteur nul est li\'e. \item Un syst\`eme qui contient deux fois le m\^eme vecteur est li\'e. \item Un syst\`eme qui contient un sous-syst\`eme li\'e est li\'e. \item Un syst\`eme qui est contenu dans un sous-syst\`eme libre est libre. \item Parmi les polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$ le syst\`eme $1,X,X^2,\dots,X^n$ est libre. \item Soit $P_i$ un polyn\^ome de la forme $X^i+a_{-1}X^{i-1}+\ldots+a_0$, parmi les polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$ le syst\`eme $P_0,P_2,\dots,P_n$ est libre. \item Parmi les fonctions de $\R$ dans $\R$ le syst\`eme $1,e^x,\dots,e^{nx}$ est libre. \end{itemize} Etant donn\'e un syt\`eme $(v_1,\dots,v_n)$ une combinaison lin\'eaire de ces vecteurs est un vecteur de la forme $\lambda_1 v_1+ \ldots + \lambda_n v_n$. L'ensemble des combinaisons lin\'eaires d'un syst\`eme de vecteurs est un sous-espace vectoriel appel\'e le sous-espace engendr\'e par le syst\`eme. \begin{defi}Un syst\`eme $(v_1,\dots,v_n)$ (resp. $(v_i)_{i \in I}$) est g\'en\'erateur pour un espace vectoriel $E$ si tout vecteur de $E$ est combinaison lin\'eaire des $v_i$. \end{defi} \begin{defi}Un syst\`eme $(v_1,\dots,v_n)$ (resp. $(v_i)_{i \in I}$) est une base d'un espace vectoriel $E$ si il est g\'en\'erateur et libre. \end{defi} Soit l'espace $\R^n$, et soit $e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$ o\`u le terme $1$ est en position $i$. Le syst\`eme $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $\R^n$ appel\'e la base standard. On appelle espace vectoriel de dimension finie tout espace vectoriel admettant une famille g\'en\'eratrice finie. Le th\'eor\`eme suivant est fondamental. \begin{thm} Toutes les bases d'un espace vectoriel de dimension finie on le m\^eme nombre d'\'el\'ements appel\'e dimension de l'espace. \end{thm} Ce th\'eor\`eme s'\'etend aux espaces vectoriels de dimension infinie. Mais on n'en parlera pas ici, donc dans toute la suite, $E$ est un espace vectoriel de dimension finie. \begin{itemize} \item Le syst\`eme $(1,X,X^2,\dots,X^n)$ est une base des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$, l'espace est de dimension $n+1$. \item Soit $P_i$ un polyn\^ome de la forme $X^i+a_{-1}X^{i-1}+\ldots+a_0$, $0 \leq i \leq n$. le syst\`eme $P_0,P_2,\dots,P_n$ est une base des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$. \item L'espace des solutions d'une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire d'ordre $n$ sans second membre est de dimension $n$. \item L'espace des suites lin\'eaires r\'ecurrentes satisfaisant \`a une relation du type : $$ u_k=a_{k-1}u_{k-1}+\ldots+a_{k-n}u_{k-n} $$ est de dimension $n$. \end{itemize} Soit $F\subset E$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors, $F$ est de dimension finie, et $$\dim(F)\leq \dim(E) $$ De plus, on a $\dim(F)=\dim(E)\iff F=E$. \begin{defi} On appelle rang d'un syst\`eme de vecteurs d'un espace $E$ la dimension du sous-espace vectoriel engendr\'e par ce syst\`eme. \end{defi} Le rang est toujours inf\'erieur au nombre de vecteurs du syst\`eme et \`a la dimension de l'espace ambiant $E$. \end{section} \begin{section} {Sous espaces et sommes directes} \begin{prop}Soient {\bf 1.} $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On a $$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).$$ {\bf 2.} $F$ et $G$ sont en somme directe si et seulement si $\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)$. {\bf 3.} On a \'equivalence entre: (i) $E=F\oplus G$ (ii) $E=F+G$ et $\dim(E)=\dim(F)+\dim(G)$ (iii) $F\cap G=\{0\}$ et $\dim(E)=\dim(F)+\dim(G)$ \end{prop} A titre d'exemple et de contre exemple on regardera la somme de deux plans distincts de $\R^3$. \begin{defi}Si $F$ et $G$ sont des sous-espaces de $E$, si ils sont en somme directe et si $F \oplus G =E$ on dit que $G$ est un suppl\'ementaire de $F$ et $F$ un suppl\'ementaire de $G$. \end{defi} La troisi\`eme partie de la proposition pr\'ec\'edente se g\'en\'eralise en \begin{prop}Soient {\bf 3.} On a \'equivalence entre: (i) $$E=\oplus_{i=1,\ldots,n} F_i$$ (ii) $$E=\sum_{i=1,\ldots,n} F_i$$ et $\dim(E)= \Sigma_{i=1,\ldots,n}\dim(F_i)$ \end{prop} La proposition suivante explique comment construire une base d'un espace vectoriel $E$ qui est somme directe de deux sous-espaces $F$ et $G$. \begin{prop} La r\'eunion d'une base quelconque de $F$ et d'une base quelconque de $G$ est une base de $E$. autrement dit si $(v_1,\ldots,v_k)$ est une base de $F$, $(w_1,\ldots,w_\ell)$ une base de $G$ $(v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_\ell)$ est une base de $E$. \end{prop} Le r\'esxultat s'\'etend \`a une somme directe de $n$ sous-espaces. \end{section} \begin{section} {Application lin\'eaire, rang, projecteurs} Dans tout ce qui suit, $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels de dimension finie. \begin{defi} Soit $f:\ E\ra F$ une application, on, dit que c'est une application lin\'eaire si les deux conditions sont satisfaites pour tout $\lambda \in \R$, $v,w \in E$ : \begin{itemize} \item $f(\lambda v)= \lambda f(v)$ \item $f(v + w)= f(v) + f(w)$. \end{itemize} \end{defi} La somme de deux applications lin\'eaires est lin\'eaire. Si on multiplie une application lin\'eaire par un scalaire on obtient encore une application lin\'eaire. L'ensemble des applications lin\'eaires de $E$ dans $F$ forme un espace vectoriel not\'e ${\mathcal L}(E,F)$. Sa dimension est ${\rm dim} (E) {\rm dim} (F)$. Si $f$ est une application lin\'eaire de $E$ dans $F$, et $g$ une application lin\'eaire de $F$ dans $G$ alors $g \circ f$ est une application lin\'eaire de $E$ dans $G$. \vskip 5mm Le noyau de $f$ est l'ensemble des $v \in E$ tels que $f(v)=0$. C'est un sous-espace vectoriel de $E$ not\'e $\Ker (f)$. \vskip 5mm L'image de $f$ est l'ensemble des $f(v)$, $v \in E$. C'est un sous-espace vectoriel de $E$ not\'e $\Im (f)$. \vskip 5mm \begin{defi}On appelle rang de $f$ la dimension de l'image de $f$. \end{defi} \begin{defi}Le rang d'un syst\`eme de vecteurs $(v_1,\dots,v_n)$ est la dimension du sous-espace qu'il engendre. \end{defi} Si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, le rang de $f$ est le rang du syst\`eme de vecteurs $(f(e_1),\dots,f(e_n))$. \begin{prop} (th\'eor\`eme du rang) On a $$\rg(f)=\dim(E)-\dim(\ker f)$$ \end{prop} Soit $E^\prime$ un suppl\'ementaire dans $E$ de $\ker f$. L'application $f$ restreinte \`a $E'$ induit un isomorphisme sur $E'$. On a donc $\rg(f)=\dim(\Im f)=\dim(E)-\dim(\ker f)$. \begin{prop} Soit $f:\, E\ra F$ une application lin\'eaire, et supposons que $\dim E=\dim F$ et qu'elle est finie. On a alors \'equivalence entre (i) $f$ est injective (ii) $f$ est surjective (iii) $f$ est bijective \end{prop} \end{section} On va maintenant consid\'erer des applications lin\'eaires particuli\`eres les projecteurs. Soit $E=F \oplus G$ une d\'ecomposition en somme directe. Tout vecteur $x \in E$ s'\'ecrit $x=x_F+x_G$, $x_F \in F$, $x_G \in G$. Le projecteur parall\`element \`a $G$ sur $F$ est l'application de $E$ dans $E$ qui a $x$ associe $x_F$, on le notera $p$. En voici les propri\'et\'es : \begin{itemize} \item $p$ est lin\'eaire; \item $\Ker (p) = G$; \item $\Im (p) =F$; \item $p^2=p$. \end{itemize} En fait \begin{thm} Une application lin\'eaire $p$ est un projecteur si et seulement si $p^2=p$. Dans ce cas c'est le projecteur parall\`element \`a $\Ker (p)$ sur $\Im (p)$. \end{thm} Si $E$ est un espace vectoriel l'ensemble des applications lin\'eaires de $E$ dans lui m\^eme est not\'e ${\mathcal L}(E)$. On note ${\rm GL}(E)$ l'ensemble des apliccations lin\'eaires inversibles de $E$ dans $E$. La compos\'ee de deux applications inversibles est inversible. \section{Hyperplans et formes lin\'eaires, dual} Soit $E$ un espace de dimension $n$. On appelle hyperplan de $E$ tout sous-espace vectoriel $H$ de $E$ de dimension $n-1$. \vskip 5mm Supposons que $E$ est de dimension $n$. On a \'equivalence entre: (i) $H$ est un hyperplan de $E$; (ii) Pour tout vecteur $v\in E$, $v \not \in H$ $E$ est somme directe de $H$ et de $\R v$. \vskip 5mm Une frorme lin\'eaire sur $E$ est une application lin\'eaire de $E$ dans $\R$ \resp . Si $\phi$ une forme lin\'eaire non nulle. D'apr\`es le th\'eor\`eme du rang, son noyau est un hyperplan de $E$. Soit $H$ un hyperplan de $E$. Il existe une forme lin\'eaire non nulle $\phi$ sur $E$ telle que $H=\ker\phi$. On dit que $\phi$ est une \'equation de $H$. Soit $v\in E$ tel que $E=H\oplus \R v$. Soit $p$ la projection sur $\R v$ parall\`element \`a $H$. Il suffit alors de prendre pour $\phi$ l'application de $E$ dans $\R$ telle que, pour tout $x\in E$, $p(x)=\phi(x)v$. Par exemple dans $\R^3$, les hyperplans sont les plans passant par l'origine. Ils ont une \'equation du type $ax+by+cz=0$ ; $\phi(x,y,z)=ax+by+cz$ est la forme lin\'eaire correspondante. \vskip 5mm \begin{defi} L'ensemble des formes lin\'eaires est un espace vectoriel sur $\R$ qu'on appelle le dual de $E$ et que l'on note $E^*$.\end{defi} \begin{thm} Soit un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ et de base $B=(e_1,\ldots,e_n)$. L'espace vectoriel $E^*$ est de dimension $n$ et admet pour base (en particulier) le syst\`eme de formes lin\'eaires $(e^*_1,\ldots,e^*_n)$, o\`u $e^*_i$ est d\'efini par $e^*_i(e_j)=\delta_{i,j}$, avec $\delta_{i,j}=1$ si $i=j$, $0$ sinon. Cette base de $E^*$ est appel\'ee base duale de la base $B$. \end{thm} Note : $\delta_{i,j}$ est appel\'e le symbole de Kronecker. Quelques d\'etails sur la d\'emonstration. D'abord une forme lin\'eaire $\phi$ est d\'etermin\'ee par ses valeurs sur la base. En efftet si $v \in E$ est donn\'e par $v=x_1E_1+\cdots+x_ne_n$ on a (par lin\'earit\'e) $\phi(v)=x_1\phi(e_1)+\cdots+x_n\phi(e_n)$. Donc la forme est d\'etermin\'ee d\'es que l'on connait les valeurs $\phi(e_i)$ pour tout $i$. Ensuite l'application qui \`a $v$ associe sa coordonn\'ee $x_i$ dans la base $B$ est la forme lin\'eaire $e_i^*$. Donc la formule ci dessus devient $$\phi=\phi(e_1)e_1^*+\cdots+\phi(e_n)e_n^*$$ Le fait que la famille des $e^*_i$ soit libre r\'esulte de ce qui suit. Si on a $a_1e^*_1+\cdots+a_ne^*_n=0$, en appliquant cette identit\'e au vecteur $e_i$ on obtient $a_i=0$. Le r\'esultat suit : la famille est libre et g\'en\'eratrice, donc est une base (on la note souvent $B^*$). \end{document}