\documentclass[french,12pt]{article}


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\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition}
\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
\def\exe{{\bf Exemples}}
\def\B{{\mathcal B}}
\theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}}
\def\Im{{\rm Im}}
\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}
\def\resp{(resp. $\C$) }

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\rg{{\rm rang}}



\begin{document}













\def\ra{\longrightarrow}

\bigskip

\begin{center}
{\bf {\huge
 Dual d'un espace vectoriel, applications duales, changement de bases}}
\end{center}
\vskip 2cm








\begin{section}{Forme bilin\'eaire canonique, orthogonalit\'e}

On ne consid\`ere que des   d'espaces vectoriels sur le corps $\R$ , cependant tous les r\'esultats ci dessous s'appliqueraient pour des espaces vectoriels sur $\C$

\begin{defi} Soit $E$ espace vectoriel et $E�*$ son dual. On appelle dans ce contexte forme bilin\'eaire canonique l'application de $E \times E^* \ra \R$ qui \`a un couple $(v,\phi)$ associe $\phi(x)$.
On note $<v,\phi>$.
\end{defi} 


Voici ses propri\'et\'es.

\begin{enumerate}

\item Soient $v_1,v_2 \in E$, $\alpha \in \R$ $\phi \in E^*$ alors 

$$<v_1+v_2, \phi>=<v_1,\phi>+<v_2,\phi>, \; \; <\alpha v_1 ,\phi>=\alpha<v_1;\phi>$$
 
 \item  Soient $\phi_1,\phi_2 \in E^* $, $\alpha \in \R$, $v \in E$ alors 

$$<v, \phi_1+\phi_2>=<v,\phi_1>+<v,\phi_2> \; \; <v ,\alpha \phi_1>=\alpha<v\phi_1>$$
 

\end{enumerate}

\vskip 5mm
\begin{defi} (Orthogonal d'un sous espace ) Etant donn\'e un
sous-espace $F$ d'un espace $E$ on appelle orthogonal de $F$ et on note 
$F^\perp$ le sous -espace de $E^*$ constitu\'e par les $\phi \in E^*$ tels que $<v,\phi>=0$ pour tout 
$v \in F$.



\end{defi}
En fait il faut montrer que c'est un sous espace.

\begin{prop}
Etant donn\'ee une famille deux  sous-espaces $F$ et $G$ de $E$
on a $$ F^\perp +G^\perp = (F \cap G)^\perp  \subset E^*$$ et
$$ F^\perp \cap G^\perp = (F + G)^\perp  \subset E^*$$
 

\end{prop}

\begin{cor}Si $F$ et $G$ 
sont en somme directe alors i $F^\perp \cap G^\perp =\{0\}$.).
\end{cor}

On remarquera que $E^\perp =\{ 0\}$ et $E=\{ 0\}^\perp$.

\begin{prop} Soit $F$ un sous-espace de $E$, alors
$$
\dim (F) + \dim (F^\perp) = \dim (E)
$$

\end{prop}



\end{section}

\begin{section}{Transposition}

Soit $ f \colon E \ra F$ une application lin\'eaire. On d\'efinit son application transpos\'ee (ou parfois appel\'ee adjointe) ${}^tf \colon F^* \ra E^*$ par
$ \phi \in F^* \mapsto \phi \circ f \in E^*$. C'est une application lin\'eaire.

\begin{prop} On a pour tout $v \in E$, $\phi \in E^*$
$$
<f(v), \phi>=<v, {}^tf\phi)>
$$
De plus soient $ f \colon E \ra F$ et $g \colon F \ra G$ des applications lin\'eaires, alors
$$
{}^t(g \circ f)={}^tf \circ {}^tg
$$
\end{prop}


On remarquera que la transpos\'ee de l'identit\'e de $E$ est l'identit\'e de $E^*$.

Le th\'eor\`eme suivant est tr\`es important :
\def\im{{\rm Im}} \def\ker{{\rm Ker}}
\begin{thm}
Le rang d'une application lin\'eaire et de sa transpos\'ee sont lse m\^emes.
\end{thm}

Ceci r\'esulte de 

\begin{thm}On a

$$
(\Im (f)^\perp =\ker {}^tf
$$

$$
(\im {}^t)^\perp = \ker (f)
$$

\end{thm}

\end{section}

\begin{section} {Un exemple important}

On consid\`ere les polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$, soit $P_n$. Rappelons que



\begin{itemize}

\item  Le syst\`eme $(1,X,X^2,\dots,X^n)$ est une base des
polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$, l'espace est
de dimension $n+1$. \item Soit $P_i$ un polyn\^ome de la forme
$X^i+a_{-1}X^{i-1}+\ldots+a_0$, $0 \leq i \leq n$. le syst\`eme
$P_0,P_2,\dots,P_n$ est une base des polyn\^omes de degr\'e
inf\'erieur ou \'egal \`a $n$. 



\end{itemize}

Si on choisit un r\'eel $a$ arbitraire. L'application de $ev_a$ $P_n$ dans $\R$ qui \`a un polyn\^ome $P$ associe $P(a)$ est une forme lin\'eaire.



\begin{itemize}

\item  Si $a_0,\ldots,a_n$ sont des r\'eels deux \`a deux distincts les formes lin\'eaires $ev_{a_0},\ldots,ev_{a_n}$ forment
une base de $P_n^*$.
\item Cette base est la duale de la base donn\'ee par les plyn\^omes suivants (dits polyn\^omes d'interpolation de Lagrange) :
$$
\frac{(X-a_0)\cdots(X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots(X-a_n)}{(a_i-a_0)\cdots(a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots(a_i-a_n)}, \; \; i=0,\ldots,n
$$




\end{itemize}

Ceci sera d\'emontr\'ee en exercice.





\end{section}

\begin{section} {Matrices et transposition}

Dans tout ce qui suit, $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels de dimension
finie respectives $n$ et $p$, on suppose donn\'ees des bases $B$ et $B'$.



\begin{prop} Soient $\varphi$ une application lin\'eaire de $E$ dans $F$, sa matrice (dans $B$ et $B'$) $A=(a_{i,j})$ a $p$ lignes et $n$ colonnes. La matrice $(b_{i,j})$ de son application transpos\'ee  ${}^t \varphi \colon F^* \ra E^*$ (dans les bases duales)
a $n$ lignes et $p$ colonnes est la matrice, est  not\'ee ${}^tA$  et est telle que $b_{i,j}=a_{j,i}$. 

\end{prop}

En effet, notons $e_i$ les vecteurs de $B$, $f_j$ ceux de $B'$,  et $e_i^*$, $f_j^*$ ceux des bases duales. par d\'efinition de $A$ $$\varphi (e_i)=\sum_{\ell=1,\ldots,p} a_{\ell,i}f_\ell$$ et
$${}^t \varphi (f_j^*)=\sum_{h=1,\ldots,n} b_{h,j}e_h$$

 On applique alors la relation
$$
<\varphi (e_i),f_j^*> = <e_i,{}^t \varphi (f_j^*)>
$$

Le premier membre est par d\'efinition \'egal \`a $a_{j,i}$ le second \`a $b_{i,j}$. Le r\'esultat suit.

On notera que si $A$ a a $q$ lignes et $p$ colonnes et $B$ a $p$ lignes et $n$ colonnes, on a $${}^t(AB)= {}^t(B){}^t(A)$$
qui a a $q$ lignes et $n$ colonnes.
De plus si $A$ est une matrice carr\'ee on a :

$$
\det(A)= \det({}^tA)
$$

Voici enfin la formule de changement de bases. Soient $B$ et $B'$ deux bases d'un m\^eme espace vectoriel. Soit $P$ la matrice de passage d\'efinie par 
$$
f_j=\sum_{\ell=1,\ldots,n}
p_{\ell,j}e_\ell$$

Soit $Q$ la matrice de passage dans le dual d\'efinie par $$
f_i^*=\sum_{h=1,\ldots,n}
q_{h,i}e_h^*$$

On calcule \`a partir de cette derni�re formule la quantit\'e 
$$
\delta_{i,j}=<f_j,f_i^*>=<f_j,\sum_{h=1,\ldots,n}q_{h,i}e_h^*>=\sum_{h=1,\ldots,n}q_{h,i}<f_j,e_h^*>=\sum_{h=1,\ldots,n}q_{h,i}p_{h,j}
$$

Cette relation dit exactement que :
$$
Q={}^t(P^{-1})=({}^tP)^{-1}
$$




\end{section}

\begin{section} {Formes bilin\'eaires, et application canonique}
Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels.

\begin{defi}
Une forme bilin\'eaire $\varphi \colon E \times F \ra \R$ est une application v\'erifiant les conditions 1 et 2 de la proposition 1.1. La plupart du temps on supposera que $E=F$.
\end{defi}

On notera souvent $<x,y>$ pour $\varphi(x,y)$.

La donn\'ee d'une forme bilin\'eaire $\varphi \colon E \times E \ra \R$ permet de d\'efinir une application lin\'eaire $\hat \varphi \colon E \ra E^*$ :


\begin{prop}
La forme bilin\'eaire $\varphi \colon E \times E \ra \R$ d\'etermine une application lin\'eaire $x \mapsto \hat \varphi (x) \in  E^*$ par la formule 
$$
\hat \varphi (x)(y)=\varphi(x,y)
$$
\end{prop}

\begin{defi}
La forme bilin\'eaire $\varphi \colon E \times E \ra \R$ est non d\'eg\'en\'er\'ee si $\hat \varphi$ est un isomorphisme.
\end{defi}


Exemple : sur $\R^n$ le produit scalaire $<v,w>= \sum_{i}
v_iw_i$ est une forme bilin\'eaire non d\'eg\'en\'er\'ee. Les $v_i, w_j$ sont les coordonn\'ees de $v$ et $w$ dans la base standard.

Si on consid�re l'espace vectoriel des fonctions int\'egrables sur un intervalle $I$ $$(f;g) \mapsto \int_I f(t)g(t)dt$$ est une forme bilin\'eaire.  Si on se restreint \`a $P_n$ elle est non d\'eg\'en\'er\'ee.







\end{section}

\begin{section} {Bidual}
Soient $E$ un espace vectoriel.
Le dual de $E^*$ est appel\'e le bidual de $E$ et not\'e $E^{**} $. La forme biln\'eaire canonique de la section 1 d\'etermine une application lin\'eaire $E \ra E^{**} $. On se contentera d'\'enoncer :




\begin{prop}
Cette application est injective. Elle est surjective si et seulement si $E$ est de dimension finie. Dans ce cas $E \cong E^{**} $. 
\end{prop}




\end{section}






\end{document}
