\documentclass[french,12pt]{article} \oddsidemargin=-0.5cm \evensidemargin=-0.5cm \topmargin=-1.5cm \parindent=0pt \textheight=25 cm \textwidth=16 cm \usepackage{amssymb,amsmath,amsthm} \newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section] \newtheorem{lem}[thm]{Lemme} \newtheorem{cor}[thm]{Corollaire} \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} \newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition} \newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition} \def\exe{{\bf Exemples}} \def\B{{\mathcal B}} \theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}} \def\Im{{\rm Im}} \newtheorem{ex}[thm]{Exemple} \theoremstyle{remark} \newtheorem{rem}[thm]{Remarque} \newtheorem{preuve}[thm]{Preuve} \def\resp{(resp. $\C$) } \numberwithin{equation}{section} \def\R{\mathbb R} \def\N{\mathbb N} \def\C{\mathbb C} \def\Q{\mathbb Q} \def\Z{\mathbb Z} \def\rg{{\rm rang}} \begin{document} \def\ra{\longrightarrow} \bigskip \begin{center} {\bf {\huge Dual d'un espace vectoriel, applications duales, changement de bases}} \end{center} \vskip 2cm \begin{section}{Forme bilin\'eaire canonique, orthogonalit\'e} On ne consid\`ere que des d'espaces vectoriels sur le corps $\R$ , cependant tous les r\'esultats ci dessous s'appliqueraient pour des espaces vectoriels sur $\C$ \begin{defi} Soit $E$ espace vectoriel et $E*$ son dual. On appelle dans ce contexte forme bilin\'eaire canonique l'application de $E \times E^* \ra \R$ qui \`a un couple $(v,\phi)$ associe $\phi(x)$. On note $$. \end{defi} Voici ses propri\'et\'es. \begin{enumerate} \item Soient $v_1,v_2 \in E$, $\alpha \in \R$ $\phi \in E^*$ alors $$=+, \; \; <\alpha v_1 ,\phi>=\alpha$$ \item Soient $\phi_1,\phi_2 \in E^* $, $\alpha \in \R$, $v \in E$ alors $$=+ \; \; =\alpha$$ \end{enumerate} \vskip 5mm \begin{defi} (Orthogonal d'un sous espace ) Etant donn\'e un sous-espace $F$ d'un espace $E$ on appelle orthogonal de $F$ et on note $F^\perp$ le sous -espace de $E^*$ constitu\'e par les $\phi \in E^*$ tels que $=0$ pour tout $v \in F$. \end{defi} En fait il faut montrer que c'est un sous espace. \begin{prop} Etant donn\'ee une famille deux sous-espaces $F$ et $G$ de $E$ on a $$ F^\perp +G^\perp = (F \cap G)^\perp \subset E^*$$ et $$ F^\perp \cap G^\perp = (F + G)^\perp \subset E^*$$ \end{prop} \begin{cor}Si $F$ et $G$ sont en somme directe alors i $F^\perp \cap G^\perp =\{0\}$.). \end{cor} On remarquera que $E^\perp =\{ 0\}$ et $E=\{ 0\}^\perp$. \begin{prop} Soit $F$ un sous-espace de $E$, alors $$ \dim (F) + \dim (F^\perp) = \dim (E) $$ \end{prop} \end{section} \begin{section}{Transposition} Soit $ f \colon E \ra F$ une application lin\'eaire. On d\'efinit son application transpos\'ee (ou parfois appel\'ee adjointe) ${}^tf \colon F^* \ra E^*$ par $ \phi \in F^* \mapsto \phi \circ f \in E^*$. C'est une application lin\'eaire. \begin{prop} On a pour tout $v \in E$, $\phi \in E^*$ $$ = $$ De plus soient $ f \colon E \ra F$ et $g \colon F \ra G$ des applications lin\'eaires, alors $$ {}^t(g \circ f)={}^tf \circ {}^tg $$ \end{prop} On remarquera que la transpos\'ee de l'identit\'e de $E$ est l'identit\'e de $E^*$. Le th\'eor\`eme suivant est tr\`es important : \def\im{{\rm Im}} \def\ker{{\rm Ker}} \begin{thm} Le rang d'une application lin\'eaire et de sa transpos\'ee sont lse m\^emes. \end{thm} Ceci r\'esulte de \begin{thm}On a $$ (\Im (f)^\perp =\ker {}^tf $$ $$ (\im {}^t)^\perp = \ker (f) $$ \end{thm} \end{section} \begin{section} {Un exemple important} On consid\`ere les polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$, soit $P_n$. Rappelons que \begin{itemize} \item Le syst\`eme $(1,X,X^2,\dots,X^n)$ est une base des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$, l'espace est de dimension $n+1$. \item Soit $P_i$ un polyn\^ome de la forme $X^i+a_{-1}X^{i-1}+\ldots+a_0$, $0 \leq i \leq n$. le syst\`eme $P_0,P_2,\dots,P_n$ est une base des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$. \end{itemize} Si on choisit un r\'eel $a$ arbitraire. L'application de $ev_a$ $P_n$ dans $\R$ qui \`a un polyn\^ome $P$ associe $P(a)$ est une forme lin\'eaire. \begin{itemize} \item Si $a_0,\ldots,a_n$ sont des r\'eels deux \`a deux distincts les formes lin\'eaires $ev_{a_0},\ldots,ev_{a_n}$ forment une base de $P_n^*$. \item Cette base est la duale de la base donn\'ee par les plyn\^omes suivants (dits polyn\^omes d'interpolation de Lagrange) : $$ \frac{(X-a_0)\cdots(X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots(X-a_n)}{(a_i-a_0)\cdots(a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots(a_i-a_n)}, \; \; i=0,\ldots,n $$ \end{itemize} Ceci sera d\'emontr\'ee en exercice. \end{section} \begin{section} {Matrices et transposition} Dans tout ce qui suit, $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels de dimension finie respectives $n$ et $p$, on suppose donn\'ees des bases $B$ et $B'$. \begin{prop} Soient $\varphi$ une application lin\'eaire de $E$ dans $F$, sa matrice (dans $B$ et $B'$) $A=(a_{i,j})$ a $p$ lignes et $n$ colonnes. La matrice $(b_{i,j})$ de son application transpos\'ee ${}^t \varphi \colon F^* \ra E^*$ (dans les bases duales) a $n$ lignes et $p$ colonnes est la matrice, est not\'ee ${}^tA$ et est telle que $b_{i,j}=a_{j,i}$. \end{prop} En effet, notons $e_i$ les vecteurs de $B$, $f_j$ ceux de $B'$, et $e_i^*$, $f_j^*$ ceux des bases duales. par d\'efinition de $A$ $$\varphi (e_i)=\sum_{\ell=1,\ldots,p} a_{\ell,i}f_\ell$$ et $${}^t \varphi (f_j^*)=\sum_{h=1,\ldots,n} b_{h,j}e_h$$ On applique alors la relation $$ <\varphi (e_i),f_j^*> = $$ Le premier membre est par d\'efinition \'egal \`a $a_{j,i}$ le second \`a $b_{i,j}$. Le r\'esultat suit. On notera que si $A$ a a $q$ lignes et $p$ colonnes et $B$ a $p$ lignes et $n$ colonnes, on a $${}^t(AB)= {}^t(B){}^t(A)$$ qui a a $q$ lignes et $n$ colonnes. De plus si $A$ est une matrice carr\'ee on a : $$ \det(A)= \det({}^tA) $$ Voici enfin la formule de changement de bases. Soient $B$ et $B'$ deux bases d'un m\^eme espace vectoriel. Soit $P$ la matrice de passage d\'efinie par $$ f_j=\sum_{\ell=1,\ldots,n} p_{\ell,j}e_\ell$$ Soit $Q$ la matrice de passage dans le dual d\'efinie par $$ f_i^*=\sum_{h=1,\ldots,n} q_{h,i}e_h^*$$ On calcule \`a partir de cette dernire formule la quantit\'e $$ \delta_{i,j}===\sum_{h=1,\ldots,n}q_{h,i}=\sum_{h=1,\ldots,n}q_{h,i}p_{h,j} $$ Cette relation dit exactement que : $$ Q={}^t(P^{-1})=({}^tP)^{-1} $$ \end{section} \begin{section} {Formes bilin\'eaires, et application canonique} Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels. \begin{defi} Une forme bilin\'eaire $\varphi \colon E \times F \ra \R$ est une application v\'erifiant les conditions 1 et 2 de la proposition 1.1. La plupart du temps on supposera que $E=F$. \end{defi} On notera souvent $$ pour $\varphi(x,y)$. La donn\'ee d'une forme bilin\'eaire $\varphi \colon E \times E \ra \R$ permet de d\'efinir une application lin\'eaire $\hat \varphi \colon E \ra E^*$ : \begin{prop} La forme bilin\'eaire $\varphi \colon E \times E \ra \R$ d\'etermine une application lin\'eaire $x \mapsto \hat \varphi (x) \in E^*$ par la formule $$ \hat \varphi (x)(y)=\varphi(x,y) $$ \end{prop} \begin{defi} La forme bilin\'eaire $\varphi \colon E \times E \ra \R$ est non d\'eg\'en\'er\'ee si $\hat \varphi$ est un isomorphisme. \end{defi} Exemple : sur $\R^n$ le produit scalaire $= \sum_{i} v_iw_i$ est une forme bilin\'eaire non d\'eg\'en\'er\'ee. Les $v_i, w_j$ sont les coordonn\'ees de $v$ et $w$ dans la base standard. Si on considre l'espace vectoriel des fonctions int\'egrables sur un intervalle $I$ $$(f;g) \mapsto \int_I f(t)g(t)dt$$ est une forme bilin\'eaire. Si on se restreint \`a $P_n$ elle est non d\'eg\'en\'er\'ee. \end{section} \begin{section} {Bidual} Soient $E$ un espace vectoriel. Le dual de $E^*$ est appel\'e le bidual de $E$ et not\'e $E^{**} $. La forme biln\'eaire canonique de la section 1 d\'etermine une application lin\'eaire $E \ra E^{**} $. On se contentera d'\'enoncer : \begin{prop} Cette application est injective. Elle est surjective si et seulement si $E$ est de dimension finie. Dans ce cas $E \cong E^{**} $. \end{prop} \end{section} \end{document}