\documentclass[french,12pt]{article}


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\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition}
\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
\def\exe{{\bf Exemples}}
\def\B{{\mathcal B}}
\theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}}
\def\Im{{\rm Im}}
\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}
\def\resp{(resp. $\C$) }

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\rg{{\rm rang}}



\begin{document}













\def\ra{\longrightarrow}

\bigskip

\begin{center}
{\bf {\huge
 Formes bilin\'eaires, changement de bases. Formes quadratiques, r\'eductions}}
\end{center}
\vskip 2cm








\begin{section}{Forme bilin\'eaire, changement de bases.}

Soient $E$ un  espace vectoriel de dimension $n$ , $\varphi$ une forme bilin\'eaire. On suppose donn\'ee une base $B$ de $E$ dont les \'el\'ements (de la base) sont not\'ees $e_i$. Soient $v, w \in E$, on notera $V$ et
$W$ les vecteurs colonnes des coordonn\'ees $\alpha_i$ (resp. $\beta_i$) de $v$ et $w$ dans la base $B$. On note $A$ pour la matrice $(\varphi(e_i, e_j)$. Alors
on notera souvent $<x,y>$ pour $\varphi(x,y)$.


$$
\varphi (v,w)={}^t VA W
$$

En effet $$\varphi(v,w)=\varphi(\sum_i \alpha_ie_i, \sum_j \beta_je_j)= \sum_{i,j} \varphi(e_i,e_j) \alpha_i\beta_j =\sum_{i,j} a_{i,j}\alpha_i\beta_j 
$$



\begin{defi}
La forme bilin\'eaire est dite sym\'etrique si pour tous les $v, w \in E$ on a $\varphi(v,w)=\varphi(w,v)$, antisym\'etrique si pour tous  $v, w \in E$ on a $\varphi(v,w)=-\varphi(w,v)$
\end{defi}
\begin{defi}
La forme bilin\'eaire est sym\'etrique si sa matrice (dans une base quelconque)  $A$ est sym\'etrique, c'est \`a dire que $a_{i,j}=a_{j,i}$ pour tout $i$ et tout $j$. la forme
est antisym\'etrique si  sa matrice (dans une base quelconque)  $A$ est antisym\'etrique, c'est \`a dire que $a_{i,j}=-a_{j,i}$ pour tout $i$ et tout $j$.
\end{defi}

Dans le cas antisym\'etrique cela implique en particulier que les termes diagonaux sont nuls. En fait pour tout $v$ on a $\varphi(v,v)=0$.

L'ensemble des formes bilin\'eaires sur un espace vectoriel $E$ est un espace vectoriel de dimension $n^2$. Toute forme bilin\'eaire peu s'\'ecrire de mani\`ere unique comme somme d'une forme sym\'etrique et d'une forme antisym\'etrique gr\^ace \`a la formule suivante :
$$
\varphi(v,w) = \frac{\varphi(v,w)+\varphi(w,v)}{2} + \frac{\varphi(v,w)-\varphi(w,v)}{2}
$$

Le sous-espace vectoriel des formes sym\'etriques est de dimension $\frac{n(n+1)}{2}$, celui des formes antisym\'etriques de dimension $\frac{n(n-1)}{2}$.

Supposons maintenant que l'on passe d'une base $B$ \`a une base $B'$ de $E$ et que la matrice de changement de base soit $P$. Soit $A$ ,  resp.$A'$,  la matrice de $\varphi$ dans $B$, resp. $B'$.

Alors
$$
A'={}^tPAP
$$



\end{section}

\begin{section}{Formes quadratiques, r\'eduction de Gauss}\def\im{{\rm Im}} \def\ker{{\rm Ker}}

Soit $E$ un espace vectoriel et soit $\varphi$ une forme bilin\'eaire sym\'etrique sur $E$.
\begin{defi}
la forme quadratique $\Phi$ associ\'ee \`a $\varphi$ est l'application de $E$ dans $\R$ donn\'ee par  P$v \mapsto  \varphi(v,v)$.
\end{defi}

On remarquera que l'on a la formule :
$$
\varphi(v,w)=\frac{\Phi(v+w)-\Phi(v)-\Phi(w)}{2}
$$

On dit que $\varphi$ est la forme polaire de $\Phi$.

On appellera plus g\'en\'eralement forme quadratique sur $E$ toute application $\Phi$ telle que l'application $\varphi \colon E \times E \ra \R$ soit une forme bilin\'eaire sym\'etrique. Evidemment si $B$ est une base de $E$ et $A$ la matrice associ\'ee \`a $\varphi$ alors $$\Phi(v)={}^tVAV$$

On montre que l'on peut trouver des bases o\`u la matrice de la forme quadratique est diagonale.

\begin{thm}
Etant donn\'ee une forme quadratique $\Phi$ on peut trouver une base $B$ de $E$ telle que si on note $x_i$ les coordonn\'ees de $x \in E$ dans cette base, alors 
$$\Phi(v) = \sum_{i=1,\dots,r} a_i x_i^2$$
o\`u les $a_i$ sont des r\'eels non nuls. L'entier $r$, appel\'e le rang de la forme quadratique est bien d\'etermin\'e.
\end{thm}

La d\'emonstration est donn\'ee dans tous les manuels. On va seulement d\'ecrire le proc\'ed\'e pratique. On part d'une base quelconque $B$, on a donc 
$$
\Phi(v)=\varphi(v,v)=\sum_{i,j} a_{i,j}x_ix_j=\sum_{i} a_{i,i}x_i^2+\sum_{i<j} 2a_{i,j}x_ix_j
$$
en tenant compte de la sym\'etrie.

Supposons que $a_{1,1} \not =0$. On regroupe alors les termes en $x_1x_i$, $i>1$ et on compl\`ete en un bin\^ome :
$$
a_{1,1}(x_1^2+\frac{1}{a_{1,1}}x_1(\sum_{i>1}a_{1,i}x_i)+\frac{1}{4a_{1,1}^2}(\sum_{i>1}a_{1,i}x_i)^2)=a_{1,1}(x_1+\frac{1}{2a_{1,1}}x_1(\sum_{i>1}a_{1,i}x_i))^2
$$
On substitue \`a $x_1$ la variable $ x'_1=x_1+\frac{1}{2a_{1,1}}(\sum_{i>1}a_{1,i}x_i)$, on laisse fixe les autres variables (on fait un changement de base dans $E^*$ en fait)
On se ram\`enedonc   \`a 
$$
a_{1,1}x_1'^2 -\frac{1}{4a_{1,1}}(\sum_{i>1}a_{1,i}x_i)^2)+\sum_{i>1,j>1}a_{i,j}x_ix_j
$$
soit
une forme du type $$\alpha x'^2_1 + q(x_2,\ldots ,x_n)$$
On peut \'evidemment it\'erer.

Cependant il peut aussi se pr\'esenter le cas o\`u tous les $a_{i,i}$ sont nuls. Dans ce cas on choisit deux indices telles que $a_{i,j}\not = 0$. Il en existe sauf si la forme est nulle. Disons $i=1, j=2$. On commence par faire un changement de variables
regroupant tous les termes pour lesquels $a_{1,j}\not = 0$ et $a_{2,j}\not = 0$.  Posons :

$$ x'_1=x_1+\frac{1}{a_{1,2}}(\sum_{i>2}a_{1,i}x_i)$$
$$ x'_2=x_2+\frac{1}{a_{1,2}}(\sum_{i>2}a_{2,i}x_i)$$

Si on fait le changement de variables qui laisse fixe les autres variables la forme quadratique devient :

$$
a_{1,2}x'_1x'_2-a_{1,2}(\frac{1}{a_{1,2}}(\sum_{i>2}a_{1,i}x_i))(\frac{1}{a_{1,2}}(\sum_{i>2}a_{2,i}x_i))+\sum_{i>2,j>2}a_{i,j}x_ix_j
$$

on obtient une expression du type $$\alpha x'_1x'_2+q(x_3,\ldots,,x_n)$$


 On pose alors 
$$
x"_1=\frac{x'_1+x'_2}{2} \; \;  x"_2=\frac{x'_1-x'_2}{2}
$$

ce changement de variables ram\`ene au cas pr\'ec\'edent.


\end{section}

\begin{section} {Signature, th\'eor\`eme de Sylvester}


\begin{thm}
Etant donn\'ee une forme quadratique $\Phi$ on peut trouver une base $B$ de $E$ telle que si on note $x_i$ les coordonn\'ees de $x \in E$ dans cette base, alors 
$$\Phi(v) = \sum_{i=1,\dots,p}  x_i^2- \sum_{i=1,\dots,q}  x_{i+p}^2$$
avec $p+q=r$ ($r$ est le rang), $(p,q)$ est appel\'e la signature de la forme quadratique et est bien d\'etermin\'ee.\end{thm}


La d\'emonstrattion proc\`ede comme suit. On suppose donn\'ee deux d\'ecompositions (associ\'ees \`a des coordonn\'ees $x_i$ et $x'_i$) avec des signatures $(p,q)$ et $(p',q')$, $p+q=p'+q'=r$. On suppose $p>p'$ et on obtient une contradiction.  Sur le sous-espace $P$ des vecteurs tels que $x_{p+1}=\cdots=x_n=0$, \`a l'exception du vecteur nul, la forme quadratique prend des valeurs strictement positives.
 Sur le sous-espace $P'$ des vecteurs tels que $x'_{p1}=\cdots=x'_{p'}=0$,  prend des valeurs strictement n\'egatives ou nulles. Mais $\dim (P) =p$, $\dim (P') =n-p'$. La condition $p>p'$ implique que $P \cap P'$ n'est pas r\'eduit au vecteur nul. Il existe donc un vecteur pour lequel la forme quadratique prend une valeur strctement positive et une valeur n\'egative ou nulle. Ce qui est impossible, donc $p=p'$.




\end{section}


\begin{section} {Formes non d\'eg\'en\'er\'ees, formes d\'efinies, produit scalaire}



Une forme bilin\'eaire sym\'etrique $\varphi$ sur un espace $E$ est dite non d\'eg\'en\'er\'ee si le seul vecteur $v \in E$ tel que $\varphi(v,w)=0$ pour tout $w \in E$ est le vecteur nul.

\begin{thm}

L'ensemble des vecteurs $v \in E$ tels que  $\varphi(v,w)=0$ pour tout $w \in E$ est un sous-espace vectoriel appel\'e le noyau de $\varphi$. Soit $d$ la dimension du noyau et $r$ le rang de la forme alors
$$
d+r = \dim (E)
$$

\end{thm}



Une forme bilin\'eaire sym\'etrique $\varphi$ sur un espace $E$ est dite non d\'eg\'en\'er\'ee si le seul vecteur $v \in E$ tel que $\varphi(v,w)=0$ pour tout $w \in E$ est le vecteur nul, soit si son noyau est trivial.

Une forme bilin\'eaire sym\'etrique $\varphi$ sur un espace $E$ est dite d\'efinie si le seul vecteur $v \in E$ tel que $\varphi(v,v)=0$ est le vecteur nul. On dit aussi que la forme quadratique $\Phi$ est d\'efinie.

\begin{thm}
Une forme quadratique $\Phi$ d\'efinie, prend des valeurs toujours positives ou nulles, ou toujours n\'egatives ou nulles. Selon le cas on dit qu'elle est d\'efinie positive ou d\'efinie n\'egative.
\end{thm}

On le d\'emontre en calculant $\Phi ( tv+(1-t)w$ $v,w \in E$, $t \in [0,1]$. Cette quantit\'e est un polyn\^ome de degr\'e $2$ en $t$ dont sait qu'il a au plus une racine (la seule valeur si elle existe  de $t$ pour laquelle
$tv+(1-t)w=0$). Donc il garde un signe constant. Donc $\Phi(v)$ et $\Phi(w)$ ont m\^eme signe ou sont nuls.

\begin{thm}
Une forme d\'efinie est non d\'eg\'en\'er\'ee.
\end{thm}

\begin{defi}
Un produit scalaire sur un espace vectoriel $E$ est la donn\'ee d'une forme bilin\'eaire $\varphi$ dont la forme quadratique associ\'ee $\Phi$ est d\'efinie positive.
\end{defi}

Le produit scalaire "standard" $<v,w>=x_1y_1+\cdots + x_ny_n$ (o\`u les $x_i$ et les $y_i$ sont les coordonn\'ees de $v$ et $w$) est \'evidemment le premier exemple.

Si on consid\`ere l'espace $P_n$ des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$ et que l'on d\'efinit $$<P,Q> =\int^1_0 P(t)Q(t) f(t) dt$$
avec $f$ une fonction continue non nulle, prenant des valeurs positives ou nulles, cela d\'efinit un produit scalaire.






\end{section}







\end{document}
