\documentclass[french,12pt]{article}


\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\topmargin=-1.5cm
\parindent=0pt
\textheight=25 cm
\textwidth=16 cm



\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition}
\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
\def\exe{{\bf Exemples}}
\def\B{{\mathcal B}}
\theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}}
\def\Im{{\rm Im}}
\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}
\def\resp{(resp. $\C$) }

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\rg{{\rm rang}}



\begin{document}













\def\ra{\longrightarrow}

\bigskip

\begin{center}
{\bf {\huge
Espaces euclidiens}}
\end{center}
\vskip 2cm








\begin{section}{Bases orthonorm\'ees}

Soient $E$ un  espace vectoriel euclidien de dimension $n$ , le produit scalaire sera not\'e comme d'habitude :  
$<x,y>$, ou $(x,y)$ ou $ <x\mid y>$ 
On note $<x,x>= \parallel x  \parallel ^2$, $\parallel x  \parallel$  est appel\'ee la norme de $x$.




Soit une base $B$ de $E$ dont les \'el\'ements (de la base) sont not\'ees $e_i$, $i=1,\ldots,n$. 

\begin{defi}
On dira que $B$ est orthorm\'ee si $\parallel e_i \parallel=1$ pour tout $i$ et $<e_i,e_j>=0$ si $i \not = j$.

\end{defi}

\begin{thm} On peut toujours 
trouver des bases orthonorm\'ees.\end{thm}

Le processus it\'eratif (dit de Gram-Schmidt) d\'ecrit ci dessous permet toujours de passer d'une base quelconque \`a une base orthonorm\'ee (orthonormale).

On peut d'abord remplacer le vecteur $e_1$ par le vecteur $e'_1=\frac{e_1}{\parallel e_1  \parallel}$ qui est de norme $1$. Puis pour tout $i \geq 2$
posons $f_i=e_i+a_i e'_1$ et imposons que $<e'_1,e'_i>$ soit nul. On obtient 
$$
<e'_1,e_i>+a_i=0
$$
On pose donc $f_i=e_i- <e'_1,e_i> e'_1$. Tous les vecteurs $f_i$ ainsi que toutes leurs combinaisons lin\'eaires sont orthogonaux \`a $e'_1$. De plus $e'_1$ et les $f_i$ constituent une base de $E$. 

Si on remplace le syst\`eme de vecteurs $f_i$ par un syst\`eme de vecteurs orthonorm\'es engendrant le m\^eme sous-espace on aura en adjoignant $e'_1$ une base orthonorm\'ee de $E$. Mais le sous-espace engendr\'e par les $f_j$ est de dimension $n-1$. On peut donc faire une r\'ecurrence descendante  sur $n$ :

On recommence  avec les vecteurs $f_2,\ldots,f_n$, en particulier poser
$e'_2=\frac{f_2}{\parallel f_2  \parallel}$ \ldots


La matrice de la forme bilin\'eaire associ\'ee au produit scalaire est la matrice $I_n$ dans une base orthonormale. Ce n'est pas le cas dans une base quelconque! C'est la matrice dite de Gram-Schmidt $A=(a_{i,j})$, avec $a_{i,j}=<e_i,e_j>$.

On rappelle enfin la formule de Cauchy-Schwarz

\begin{thm} Soit $E$ un espace euclidien pour tous $x,y \in E$ on a 
$$
<x,y>^2
\leq \parallel x \parallel ^2 \parallel y \parallel ^2$$
\end{thm}






\end{section}

\begin{section} {Applications lin\'eaires orthogonales}


\begin{defi}
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, une application lin\'eaire $f$ de $E$ dans $E$
est dite orthogonale si elle conserve la norme : si pour tout $x \in E$ $\parallel x \parallel= \parallel f(x) \parallel$
\end{defi}

En fait une application qui pr\'eserve le produit salaire seulement ( pour tout $x,y \in E$ $<x,y> = <f(x) , f(y)>$) est lin\'eaire.





\begin{prop} Les conditions suivantes sont \'equivalentes 
\begin{itemize} 
\item $f$ est orthogonale, 
\item $f$ pr\'eserve le produit scalaire : pour tous $x,y \in E$ $<x,y>=<f(x),f(y)>$.

\item La matrice repr\'esentative  $A$ de $f$ dans une base orthonorm\'ee est telle ${}^tAA=I_n$, soit $A^{-1}={}^tA$, on dit que $A$ est orthogonale.
\item La matrice repr\'esentative  $A$ de $f$ dans une base orthonorm\'ee est telle que la somme des carr\'es des \'el\'ements d'une colonne quelconque (ou d'une ligne quelconque) et les produits scalaires (standards) de deux colonnes (lignes) distinctes vaut $0$.

\end{itemize}
\end{prop}

La mention "les produits scalaires (standards) de deux colonnes (lignes) distinctes vaut $0$."  signifie que $\sum_\ell \, \, a_{\ell,i}a_{\ell,j} =0$ si $i \not = j$.

De plus

\begin{prop} 
\begin{itemize} 
\item Une application orthogonale est bijective.
\item Le d\'eterminant de $A$ vaut $1$ ou $-1$.
\item les valeurs propres de $f$ ne peuvent être que $1$ ou $-1$.
\end{itemize}
\end{prop}



\end{section}


\begin{section} {Applications et matrices orthogonales en dimension $2$ et $3$}


Dans la section suivante on rappellera les notions de base sur vecteurs propres et valeurs propres.






Soit $E$ un espace euclidien de dimension $2$
\begin{thm}
Il y a deux types d'applications orthogonales :
\begin{itemize}
\item Une application orthogonale dont le d\'eterminant vaut $1$ est une rotation d'angle $\theta$ dont la matrice dans une base orthonorm\'ee quelconque est :
$$A=\left(\begin{array} {cc} \cos (\theta) & -\sin (\theta) \\ \sin (\theta)&  \cos (\theta)\\ \end{array} \right ) $$
\item Une application orthogonale dont le d\'eterminant vaut $-1$ est une sym\'etrie orthogonale autour d'une droite. En particulier elle laisse un vecteur non nul fixe (elle a $1$ pour valeur propre) et elle nvoie un vecteur non nul sur son oppos\'e (elle a $-1$ pour valeur propre). Sa matrice est de la forme
$$A=\left(\begin{array} {cc} \cos (\theta) & sin (\theta) \\ \sin (\theta)& -\cos (\theta)\\ \end{array} \right ) $$

La droite d'angle $\theta/2$ avec l'axe des abscisses \'etant l'ensemble des vecteurs fixes.

\end{itemize}
\end{thm}


Soit $E$ un espace euclidien de dimension $3$
\begin{thm}
Il y a deux types d'applications orthogonales :
\begin{itemize}
\item Une application orthogonale $f$ dont le d\'eterminant vaut $1$ admet une droite fixe (donc $1$ pour valeur propre) et est une rotation d'angle  d'angle $\theta$ autour de cette droite. La trace de la matrice vaut $1+ 2 \cos (\theta)$. sa matrice s'\'ecrit donc  dans une base orthonorm\'ee donc le premier vecteur est port\'e par la droite fixe :

$$A= 
                         \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 
                    0 &  \cos (\theta) & -\sin (\theta) \cr         0 &  \sin (\theta)&  \cos (\theta) \cr\end{pmatrix}
                    $$
                                                

\item Une application orthogonale $f$ dont le d\'eterminant vaut $1$ est compos\'ee d'une sym\'etrie orthogonale autour d'un plan et d'une rotation autour de l'axe perpendiculaire au plan de la sym\'etrie  (donc a $-1$  pour valeur propre).
Sa matrice s'\'ecrit donc  dans une base orthonorm\'ee dont les deux derniers vecteurs correspondent au plan et le premier  est celui associ\'e � la valeur prpre $-1$   :

$$A= 
                         \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \cr 
                    0 &  \cos (\theta) & -\sin (\theta) \cr         0 &  \sin (\theta)&  \cos (\theta) \cr\end{pmatrix}
                    $$
\end{itemize}
Dans ce cas la trace est $-1+2\cos (\theta)$.

On remarquera que si $\theta = \pi$ alors  $-1$ est valeur propre double.
\end{thm}

La formule pour la trace ne d\'etermine $\theta$ que au signe pr\`es. Pour lever l'ambiguit\'e on doit utiser le produit vectoriel.

Ceci sera compl\'et\'e.



\end{section}



\begin{section}{Valeurs propres et polyn\^ome caract\'eristique}

Soient $E$ un espace vectoriel et $\varphi$ un endomorphisme de $E$ (c'est \`a dire une application
lin\'eaire de $E$ dans lui m\^eme.

\begin{defi} Si il existe un scalaire $\lambda \in \R$ \resp et un vecteur non
nul $v\in E$ tels que $\varphi(v)=\lambda v$,
on dit que $\lambda$ est une valeur propre de $u$,
et que $v$ est vecteur propre de $\varphi$, associ\'e \`a la valeur propre
$\lambda$.

\end{defi}

On consid\'erera \'egalement $0$ comme un vecteur propre de $\varphi$.

\begin{prop}
Soit $\lambda$ une valeur propre de $\varphi$, le sous ensemble des vecteurs propres
de $\varphi$ associ\'e \`a $\lambda$ est un
sous-espace vectoriel appel\'e sous-espace propre de $\varphi$ associ\'e \`a $\lambda$.

\end{prop}

L'ensemble des valeurs propres d'un endomorphisme $\varphi$
est appel\'e le spectre de $\varphi$ et est not\'e ${\rm Spec}(\varphi)$.




\begin{itemize}
\item Une homot\'ethie de rapport $\lambda$ a $\lambda$ pour seule valeur propre, le sous-espace
propre associ\'e est tout l'espace,
 \item une rotation d'angle dif\'erent de $0$ et $\pi$ du plan euclidien $\R^2$ n'a pas de valeurs
propres, \item l'endomorphisme de l'espace des fonctions
d\'erivables dans lui m\^eme qui \`a une fonction associe sa
d\'eriv\'ee admet tous les r\'eels pour valeur propre, la fonction
$x \mapsto e^{ax}$ est vecteur propre associ\'e \`a la valeur
propre $a$, \item un projecteur (diff\'erent de l'identit\'e et de
l'application nulle) a pour valeurs propres $0$ et $1$, les
sous-espaces propres associ\'es sont le noyau et l'image.
\end{itemize}

Soient $E$ un espace vectoriel et $\varphi$ un endomorphisme de $E$ et $\lambda\in \R$ (resp. $\C$)

\begin{thm} Le scalaire $\lambda$ est valeur propre de $\varphi$
si et seulement si l'endomorphisme $\varphi - \lambda {\rm Id}$ n'est pas inversible. Autrement dit si
et seulement si ${\rm det}(\varphi - \lambda {\rm Id})=0$.
\end{thm}

On sait que pour calculer ce d\'eterminant on peut choisir une base quelconque
de $E$, dans laquelle $\varphi$ a pour matrice $A$, alors la matrice de $\varphi - \lambda {\rm Id}$
est $A-\lambda I_n$. Le d\'eterminant cherch\'e est celui de cette matrice. R\'ep\`etons que le d\'eterminant
obtenu sera le m\^eme quelle que soit la base choisie.


Clairement en calculant ${\rm det}(A-X I_n)$  on obtient
un polyn\^ome en $X$ degr\'e $n$. Ce polyn\^ome est appel\'e le polyn\^ome caract\'eristique de $\varphi$
ou le polyn\^ome caract\'eristique de la matrice $A$. On le notera $c_\varphi (X)$ ou
$c_A (X)$. La notation $\chi_\varphi (X)$ (resp.
$\chi_A (X)$) est aussi utilis\'ee.

Sa valeur pour $X=0$ est ${\rm det}(A)$. Il s'\'ecrit donc :
$$
c_A (X)=(-1)^n X^n+\ldots+{\rm det}(A)
$$

\begin{prop} Le coefficient du terme de degr\'e $n-1$ est $(-1)^{n-1}{\rm Tr}(A)$.
\end{prop}

Donc
$$
c_A (X)=(-1)^n X^n+(-1)^{n-1}{\rm Tr}(A)X^{n-1}+\ldots+{\rm det}(A)
$$

Le th\'eor\`eme fondamental est le suivant :

\begin{thm} Le scalaire $\lambda$ est valeur propre de l'endomorphisme
$\varphi$  si et seulement si il est racine du polyn\^ome caract\'eristique.
\end{thm}


On appellera  valeur propre d'une matrice $A$, $(n,n)$,
les racines du polyn\^ome caract\'eristique $c_A(X)$. Ce sont les valeurs propres
de l'endomorphisme dont la matrice est $A$ dans la base standard de $\R^n$ (resp. $\C^n$).

Dans la suite on parlera donc indiff\'eremment des valeurs propres
d'un endomorphisme ou de sa matrice dans une base.


\def\dim{{\rm dim}}

\begin{cor} Un endomorphisme
$\varphi$ d'un espace vectoriel de dimension $n$ ou une matrice $A$ $(n,n)$
a au plus $n$ valeurs propres.
\end{cor}
\end{section}

\begin{section}{Matrices sym\'etriques}

\begin{thm} Toute matrice sym\'etrique r\'eelle admet une diagonalisation dans une base orthonorm\'ee pour le produit scalaire standard sur $\R^n$. En particulier toutes ses valeurs propres sont r\'eelles.
\end{thm}

On ne va pas donner toute la d\'emonstration mais seulement deux pas essentiels.

On consid\`ere l'espace euclidien $\R^n$ avec le produit scalaire standard. Soit $A$ une matrice sym\'etrique r\'eelle $n \times n$, on notera comme d'ordinaire $U$, $V$... les vecteurs colonnes dans $\R^n$.
L'application qui \`a $(U,V)$ associe ${}^tUAV$ est une forme bilin\'eaire sym\'etrique sur $\R^n$. 

Soit $\lambda$ une valeur propre (\'eventuellement complexe) de $A$, et soit $V$ un vecteur prpre associ\'e (non-nul) : $AV= \lambda V$. Attention, $V \in \C^n$. Soit $\bar V$ le vecteur propre conjugu\'e, on a :
$A \bar V = \bar \lambda \bar V$. calculons maintenant ${}^t \bar V A V$. On a
$$
{}^t \bar V A V ={}^t \bar V (A V)={}^t \bar V (\lambda V)=\lambda {}^t \bar V  V
$$
 et
 
 $$
{}^t \bar V A V =({}^t \bar V A )V)=\bar \lambda {}^t \bar VV)=\bar \lambda {}^t \bar V  V
$$
car ${}^t \bar V A ={}^t({}^tA \bar V)={}^t(A \bar V)= \bar \lambda {}^t  \bar V$ en effet $ {}^tA=A$. Il suit que $\bar \lambda = \lambda$ qui est r\'eel.

La seconde observation est que si $U$ et $V$ sont des vecteurs propres associ\'es \`a des valeurs propres distinctes $\lambda$ et $\mu$ alors $U$ et 
$V$ sont orthogonaux. En effet on calcule la quantit\'e ${}^t UAV$ de deux mani\`eres diff\'erentes comme plus haut (\`a droite puis \`a gauche). Comme $AV =\mu U$ 
$ {}^t UAV=\mu <U,V>$, comme $AU = \lambda U$ on a ${}^t UAV=\lambda <U,V$. Comme $\lambda \not = \mu$ ceci entra\^ine que $<U,V>=0$. 
\end{section}







\end{document}
