\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{amsfonts,amssymb,amsgen,theorem}
\usepackage[reqno]{amsmath}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%

%d\'efinitions des variables
%

\def\numTD{1}

\def\N{\mbox{I\hspace{-.15em}N}}
\def\Z{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}}
\def\Q{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}}
\def\R{\mbox{I\hspace{-.53em} R}}
\def\C{\mbox{\hspace{.35em}l\hspace{-.47em}C}}
%la m\^eme chose en BB
\def\BBN{\mbox{I\hspace{-.15em}N}}
\def\BBZ{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}}
\def\BBQ{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}}
\def\BBR{\mbox{I\hspace{-.53em} R}}
\def\BBC{\mbox{\hspace{.35em}l\hspace{-.47em}C}}
\def\BBU{{\rm U\mkern-10.3mu I\mkern2.5mu}}
\def\BBV{{\rm V\mkern-12mu V \mkern2.5mu }}
\def\BBF{{\rm I\!F}}
\def\BBD{{\rm I\!D}}

%
\newcounter{numexo}
\newcounter{numq}
\newcounter{numsq}
\setcounter{numexo}{0}
%
\newcommand\exo{\vskip 3mm%
\addtocounter{numexo}{1}%
\setcounter{numq}{0}%
\setcounter{numsq}{0}%
{\bf\numTD.\arabic{numexo} ---\hspace{4mm}}%
}
%
\newcommand\question{%
\addtocounter{numq}{1}%
\setcounter{numsq}{0}%
{\hspace{5mm}$\arabic{numq})$\hspace{3mm}}%
}
\newcommand\sousquestion{
\addtocounter{numsq}{1} {$\alph{numsq}) $} }
%
\def\mod{\,\,{\rm mod}\,\,}
\def\cart{\!\times\!}
\let\impl=\Rightarrow
\let\et=\wedge
\let\ou=\vee
\let\dis=\displaystyle
\def\strictsubset{\lower .1cm \hbox{${\buildrel{\subset}\over{_{\not=
}}}$}}
\let\eps=\varepsilon
\def\im{\mathop{\rm Im}}

\newcommand{\norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}}
\newcommand{\ent}[1]{{\left[{#1}\right]}}
\newcommand{\abs}[1]{{\left|{#1}\right|}}
\newcommand{\scal}[1]{{\left\langle{#1}\right\rangle}}
\newcommand{\sep}[1]{{\left({#1}\right)}}
\newcommand{\ens}[1]{{\left\{{#1}\right\}}}

\newcommand{\tg}{{\rm tan\,}}
\renewcommand{\tan}{{\rm tan\,}}
\newcommand{\Arctan}{{\rm Arctan\,}}
\newcommand{\Arctg}{{\rm Arctan\,}}
\newcommand{\Arccos}{{\rm Arccos\,}}
\newcommand{\Arcsin}{{\rm Arcsin\,}}
\newcommand{\arcs}{\mathop{\rm Arcsin\,}}
\renewcommand{\sinh}{\mathrm{sh}\,}
\renewcommand{\cosh}{\mathrm{ch}\,}
\renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,}
\newcommand{\sh}{{\rm sh\,}}
\newcommand{\ch}{{\rm ch\,}}
\newcommand{\Argsh}{{\rm Argsh\,}}

\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,}
\renewcommand{\dim}{\mathrm{dim}\,}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{empty}                % Pas d'entete et de pied de page
\topmargin 0cm                   % marge du bord haut a l'entete
\headheight 0cm                  % hauteur de l'entete
\headsep 0cm                     % espace de l'entete au texte
\textheight 25cm                 % hauteur du texte
\footskip 3cm                    % marge du bord bas au texte
%\footheight 0,5cm                % hauteur du bas de page
\oddsidemargin 0cm               % bord gauche au texte int. de marge
\evensidemargin 0cm              % bord droit au texte int. de marge
\marginparwidth 0cm              % texte de marge
\marginparsep 0cm                % bord de marge au texte
\textwidth 16cm                  % largueur du texte
\parindent 0cm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\souligne#1{$\underline{\hbox{\rm #1}}$}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}


\begin{document}

\vskip -18mm
\begin{flushleft}
{ \bf
Institut Galil\'ee\\
Licence de Math\'ematiques \\
2$^{\hbox{\rm\bf ème}}$ année\\
2009-2010\\

}
\end{flushleft}
%
\vskip 20mm
\begin{center}
\large\souligne{Feuille n$^{o}1$}
\end{center}

\vskip 20mm
%------------------------- d\'ebut des exos ---------------------------








\exo Déterminer $\lambda$ et $\mu$ de manière que les trois
vecteurs
$$a_1=(1,2,\lambda,1),\;\;\;\; a_2=(\lambda,1,2,3),\;\;\;\;
a_3=(0,1,\mu,0)$$ soient dépendants.

\exo Montrer que si $\{a_1 , a_2,a_3\}$ est un système libre, il
en est de même de $\{a_2+a_3,a_3+a_1,a_1+a_2\}$.

\exo \'Etant donnés trois vecteurs $x_1,x_2,x_3$, quelle est la
condition pour que le sous-espace engendré par $\{x_1,x_2\}$ soit
le même que celui engendré par $\{x_1,x_3\}$.


\exo Soit $V=P_4[X]$ l'espace des polynômes réels de degré $\leq
4$. Vérifier que $V$ est un espace vectoriel. Quelle est sa
dimension? Donner une vase de $V$.

Soient $A = \{P\in V |P(1) =0\}$ et $B= \{P\in V | (X^2 + 1 |
P\}$. Vérifier que $A$ et $B$ sont bien des sous-espaces
vectoriels de $V$. Donner des bases de $A,\, B, \, A\cap B$ et
$A+B$.


\exo Quel est le rang d'un système lié de $n$ vecteurs tel que
tout sous-ensemble propre de ce système soit libre.

\exo Si $L$, $M$ et $N$ sont trois sous-espaces vectoriels de $E$,
a-t'on : $L\cap\sep{M+N} = L\cap M + L\cap N$ ?

\exo Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $\varphi$
une application linéaire de $E$ dans lui-même telle que $\varphi^n
=0$ et $\varphi^{n-1} \not=0$. Montrer que la famille
$\{x,\varphi(x),\varphi^2(x),\cdots , \varphi^{n-1}(x)\}$ est une
base de $E$.






 \exo Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ et
$u$, $v$  et $w$  des applications linéaires de $E$ dans lui-même
vérifiant :

\sousquestion $v\circ w = w\circ v$

\sousquestion $\rg w = \rg (v\circ w )$

\sousquestion $u\circ v\circ w =0$

De l'hypothèse a) déduire une inclusion entre $\Im w$ et $\Im
v\circ w$.

Montrer que sous les trois hypothèses on a $u\circ w = 0$









\exo Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ et $u$
une application linéaire de $E$ dans lui-même.

\question Montrer que  $M=\{x\in E | u(x) =x\}$ est un sous-espace
vectoriel de $E$.

\question Préciser l'intersection de $M$ et du noyau $N$ de $u$.

\question On suppose $u$ idempotente (i. e. $u\circ u =u$).
Montrer que $E = M \oplus N$.







\exo Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ et $u$
et $v$  des applications linéaires de $E$ dans lui-même.

$u$ est dite involutive si $u^2 =I$. On dit que $u$ est un
projecteur si $u^2 = u $.

Montrer que si $u$ est un projecteur alors $v=2u-I$ est involutive

Montrer que si $v$ est involutive il existe un projecteur $u$ tel
que $v= 2u-I$.






\exo Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ et $u$,
$v$  et $w$  des applications linéaires de $E$ dans lui-même
vérifiant :

\sousquestion $v\circ w = w\circ v$

\sousquestion $\rg w = \rg (v\circ w )$

\sousquestion $u\circ v\circ w =0$

De l'hypothèse a) déduire une inclusion entre $\Im w$ et $\Im
v\circ w$.

Montrer que sous les trois hypothèses on a $u\circ w = 0$


\exo Calculer les d\'eterminants de :

$$
\left ( \begin{array} {c c}
2 & 1 \\
3 & -1\\
\end{array} \right )
\, , \, \left ( \begin{array} {c c}
1 & 2 \\
-1 & 3\\
\end{array} \right )
\, , \, \left ( \begin{array} {c c}
1 & 1 \\
3 & 2\\
\end{array} \right )
$$



\exo Calculer de plusieurs fa\c cons les d\'eterminants des
matrices suivantes :

$$ \left ( \begin{array}
{c c c}
1 & 2 &0\\
-1 & 0 & -2\\
-1 & -2 &1 \\
\end{array} \right ) \, , \,
\left ( \begin{array} {c c c}
1 & 2 &1 \\
-1 & 0 & -2\\
3 & -2 &1 \\
\end{array} \right ) \, , \,
\left ( \begin{array} {c c c}
1 & 2 &5 \\
-1 & 3 & -2\\
-1 & -2 &1 \\
\end{array} \right )$$

\exo Montrer que les d\'eterminants ci-dessous sont nuls :

$$ \left \vert \begin{array}
{c c c}
1 & a & b+c \\
1 & b & c+a\\
1 & c & a+b \\
\end{array} \right \vert \, , \,
\left \vert \begin{array} {c c c c}
1 & 12&8&13 \\
15 &6 &10 & 3 \\
14 & 7 &11 & 2 \\
4 & 9 & 5 & 16 \\
\end{array} \right \vert $$

\exo Les nombres 546, 273 et 169 \'etant divisibles par 13,
montrer, sans le calculer, que le d\'eterminant suivant est
divisble par  13 :

$$ \left \vert \begin{array}
{c c c}
5 & 2 & 1 \\
4 & 7 & 6 \\
6 & 3 & 9 \\
\end{array} \right \vert$$





\exo Montrer que le déterminant suivant est nul :
$$\left \vert \begin{array} {c c c c}
1 & 12&8&13 \\
15 &6 &10 & 3 \\
14 & 7 &11 & 2 \\
4 & 9 & 5 & 16 \\
\end{array} \right \vert $$



\exo Calculer comme produit de facteurs le polyn\^{o}me :
$$P(x) = \left \vert \begin{array}
{c c c}
x+2 & 2x+3 & 3x+4 \\
2x+3 & 3x+4 & 4x+5 \\
3x+5 & 5x+8 & 10x+17 \\
\end{array} \right \vert $$

\end{document}








\exo Calculer le déterminant :
$$\left \vert \begin{array} {c c c c}
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & -1 \\
\end{array} \right \vert $$



\exo Calculer le d\'eterminant :

$$ \left \vert \begin{array}
{c c c c}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 6 & 10 \\
1 & 4 & 10 & 20 \\
1 & 5 & 15 & 35 \\
\end{array} \right \vert$$
