\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage{amsfonts,amssymb,amsgen,theorem} \usepackage[reqno]{amsmath} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} % %d\'efinitions des variables % \def\numTD{1} \def\N{\mbox{I\hspace{-.15em}N}} \def\Z{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}} \def\Q{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}} \def\R{\mbox{I\hspace{-.53em} R}} \def\C{\mbox{\hspace{.35em}l\hspace{-.47em}C}} %la m\^eme chose en BB \def\BBN{\mbox{I\hspace{-.15em}N}} \def\BBZ{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}} \def\BBQ{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}} \def\BBR{\mbox{I\hspace{-.53em} R}} \def\BBC{\mbox{\hspace{.35em}l\hspace{-.47em}C}} \def\BBU{{\rm U\mkern-10.3mu I\mkern2.5mu}} \def\BBV{{\rm V\mkern-12mu V \mkern2.5mu }} \def\BBF{{\rm I\!F}} \def\BBD{{\rm I\!D}} % \newcounter{numexo} \newcounter{numq} \newcounter{numsq} \setcounter{numexo}{0} % \newcommand\exo{\vskip 3mm% \addtocounter{numexo}{1}% \setcounter{numq}{0}% \setcounter{numsq}{0}% {\bf\numTD.\arabic{numexo} ---\hspace{4mm}}% } % \newcommand\question{% \addtocounter{numq}{1}% \setcounter{numsq}{0}% {\hspace{5mm}$\arabic{numq})$\hspace{3mm}}% } \newcommand\sousquestion{ \addtocounter{numsq}{1} {$\alph{numsq}) $} } % \def\mod{\,\,{\rm mod}\,\,} \def\cart{\!\times\!} \let\impl=\Rightarrow \let\et=\wedge \let\ou=\vee \let\dis=\displaystyle \def\strictsubset{\lower .1cm \hbox{${\buildrel{\subset}\over{_{\not= }}}$}} \let\eps=\varepsilon \def\im{\mathop{\rm Im}} \newcommand{\norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\ent}[1]{{\left[{#1}\right]}} \newcommand{\abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\scal}[1]{{\left\langle{#1}\right\rangle}} \newcommand{\sep}[1]{{\left({#1}\right)}} \newcommand{\ens}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\tg}{{\rm tan\,}} \renewcommand{\tan}{{\rm tan\,}} \newcommand{\Arctan}{{\rm Arctan\,}} \newcommand{\Arctg}{{\rm Arctan\,}} \newcommand{\Arccos}{{\rm Arccos\,}} \newcommand{\Arcsin}{{\rm Arcsin\,}} \newcommand{\arcs}{\mathop{\rm Arcsin\,}} \renewcommand{\sinh}{\mathrm{sh}\,} \renewcommand{\cosh}{\mathrm{ch}\,} \renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,} \newcommand{\sh}{{\rm sh\,}} \newcommand{\ch}{{\rm ch\,}} \newcommand{\Argsh}{{\rm Argsh\,}} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,} \newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,} \renewcommand{\dim}{\mathrm{dim}\,} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \pagestyle{empty} % Pas d'entete et de pied de page \topmargin 0cm % marge du bord haut a l'entete \headheight 0cm % hauteur de l'entete \headsep 0cm % espace de l'entete au texte \textheight 25cm % hauteur du texte \footskip 3cm % marge du bord bas au texte %\footheight 0,5cm % hauteur du bas de page \oddsidemargin 0cm % bord gauche au texte int. de marge \evensidemargin 0cm % bord droit au texte int. de marge \marginparwidth 0cm % texte de marge \marginparsep 0cm % bord de marge au texte \textwidth 16cm % largueur du texte \parindent 0cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\souligne#1{$\underline{\hbox{\rm #1}}$} \def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits} \begin{document} \vskip -18mm \begin{flushleft} { \bf Institut Galil\'ee\\ Licence de Math\'ematiques \\ 2$^{\hbox{\rm\bf ème}}$ année\\ 2009-2010\\ } \end{flushleft} % \vskip 20mm \begin{center} \large\souligne{Feuille n$^{o}1$} \end{center} \vskip 20mm %------------------------- d\'ebut des exos --------------------------- \exo Déterminer $\lambda$ et $\mu$ de manière que les trois vecteurs $$a_1=(1,2,\lambda,1),\;\;\;\; a_2=(\lambda,1,2,3),\;\;\;\; a_3=(0,1,\mu,0)$$ soient dépendants. \exo Montrer que si $\{a_1 , a_2,a_3\}$ est un système libre, il en est de même de $\{a_2+a_3,a_3+a_1,a_1+a_2\}$. \exo \'Etant donnés trois vecteurs $x_1,x_2,x_3$, quelle est la condition pour que le sous-espace engendré par $\{x_1,x_2\}$ soit le même que celui engendré par $\{x_1,x_3\}$. \exo Soit $V=P_4[X]$ l'espace des polynômes réels de degré $\leq 4$. Vérifier que $V$ est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension? Donner une vase de $V$. Soient $A = \{P\in V |P(1) =0\}$ et $B= \{P\in V | (X^2 + 1 | P\}$. Vérifier que $A$ et $B$ sont bien des sous-espaces vectoriels de $V$. Donner des bases de $A,\, B, \, A\cap B$ et $A+B$. \exo Quel est le rang d'un système lié de $n$ vecteurs tel que tout sous-ensemble propre de ce système soit libre. \exo Si $L$, $M$ et $N$ sont trois sous-espaces vectoriels de $E$, a-t'on : $L\cap\sep{M+N} = L\cap M + L\cap N$ ? \exo Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $\varphi$ une application linéaire de $E$ dans lui-même telle que $\varphi^n =0$ et $\varphi^{n-1} \not=0$. Montrer que la famille $\{x,\varphi(x),\varphi^2(x),\cdots , \varphi^{n-1}(x)\}$ est une base de $E$. \exo Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ et $u$, $v$ et $w$ des applications linéaires de $E$ dans lui-même vérifiant : \sousquestion $v\circ w = w\circ v$ \sousquestion $\rg w = \rg (v\circ w )$ \sousquestion $u\circ v\circ w =0$ De l'hypothèse a) déduire une inclusion entre $\Im w$ et $\Im v\circ w$. Montrer que sous les trois hypothèses on a $u\circ w = 0$ \exo Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ et $u$ une application linéaire de $E$ dans lui-même. \question Montrer que $M=\{x\in E | u(x) =x\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \question Préciser l'intersection de $M$ et du noyau $N$ de $u$. \question On suppose $u$ idempotente (i. e. $u\circ u =u$). Montrer que $E = M \oplus N$. \exo Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ et $u$ et $v$ des applications linéaires de $E$ dans lui-même. $u$ est dite involutive si $u^2 =I$. On dit que $u$ est un projecteur si $u^2 = u $. Montrer que si $u$ est un projecteur alors $v=2u-I$ est involutive Montrer que si $v$ est involutive il existe un projecteur $u$ tel que $v= 2u-I$. \exo Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ et $u$, $v$ et $w$ des applications linéaires de $E$ dans lui-même vérifiant : \sousquestion $v\circ w = w\circ v$ \sousquestion $\rg w = \rg (v\circ w )$ \sousquestion $u\circ v\circ w =0$ De l'hypothèse a) déduire une inclusion entre $\Im w$ et $\Im v\circ w$. Montrer que sous les trois hypothèses on a $u\circ w = 0$ \exo Calculer les d\'eterminants de : $$ \left ( \begin{array} {c c} 2 & 1 \\ 3 & -1\\ \end{array} \right ) \, , \, \left ( \begin{array} {c c} 1 & 2 \\ -1 & 3\\ \end{array} \right ) \, , \, \left ( \begin{array} {c c} 1 & 1 \\ 3 & 2\\ \end{array} \right ) $$ \exo Calculer de plusieurs fa\c cons les d\'eterminants des matrices suivantes : $$ \left ( \begin{array} {c c c} 1 & 2 &0\\ -1 & 0 & -2\\ -1 & -2 &1 \\ \end{array} \right ) \, , \, \left ( \begin{array} {c c c} 1 & 2 &1 \\ -1 & 0 & -2\\ 3 & -2 &1 \\ \end{array} \right ) \, , \, \left ( \begin{array} {c c c} 1 & 2 &5 \\ -1 & 3 & -2\\ -1 & -2 &1 \\ \end{array} \right )$$ \exo Montrer que les d\'eterminants ci-dessous sont nuls : $$ \left \vert \begin{array} {c c c} 1 & a & b+c \\ 1 & b & c+a\\ 1 & c & a+b \\ \end{array} \right \vert \, , \, \left \vert \begin{array} {c c c c} 1 & 12&8&13 \\ 15 &6 &10 & 3 \\ 14 & 7 &11 & 2 \\ 4 & 9 & 5 & 16 \\ \end{array} \right \vert $$ \exo Les nombres 546, 273 et 169 \'etant divisibles par 13, montrer, sans le calculer, que le d\'eterminant suivant est divisble par 13 : $$ \left \vert \begin{array} {c c c} 5 & 2 & 1 \\ 4 & 7 & 6 \\ 6 & 3 & 9 \\ \end{array} \right \vert$$ \exo Montrer que le déterminant suivant est nul : $$\left \vert \begin{array} {c c c c} 1 & 12&8&13 \\ 15 &6 &10 & 3 \\ 14 & 7 &11 & 2 \\ 4 & 9 & 5 & 16 \\ \end{array} \right \vert $$ \exo Calculer comme produit de facteurs le polyn\^{o}me : $$P(x) = \left \vert \begin{array} {c c c} x+2 & 2x+3 & 3x+4 \\ 2x+3 & 3x+4 & 4x+5 \\ 3x+5 & 5x+8 & 10x+17 \\ \end{array} \right \vert $$ \end{document} \exo Calculer le déterminant : $$\left \vert \begin{array} {c c c c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right \vert $$ \exo Calculer le d\'eterminant : $$ \left \vert \begin{array} {c c c c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20 \\ 1 & 5 & 15 & 35 \\ \end{array} \right \vert$$