\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{amsfonts,amssymb,amsgen,theorem}
\usepackage[reqno]{amsmath}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%

%d\'efinitions des variables
%

\def\numTD{2}

\def\N{\mbox{I\hspace{-.15em}N}}
\def\Z{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}}
\def\Q{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}}
\def\R{\mbox{I\hspace{-.53em} R}}
\def\C{\mbox{\hspace{.35em}l\hspace{-.47em}C}}
%la m\^eme chose en BB
\def\BBN{\mbox{I\hspace{-.15em}N}}
\def\BBZ{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}}
\def\BBQ{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}}
\def\BBR{\mbox{I\hspace{-.53em} R}}
\def\BBC{\mbox{\hspace{.35em}l\hspace{-.47em}C}}
\def\BBU{{\rm U\mkern-10.3mu I\mkern2.5mu}}
\def\BBV{{\rm V\mkern-12mu V \mkern2.5mu }}
\def\BBF{{\rm I\!F}}
\def\BBD{{\rm I\!D}}

%
\newcounter{numexo}
\newcounter{numq}
\newcounter{numsq}
\setcounter{numexo}{0}
%
\newcommand\exo{\vskip 3mm%
\addtocounter{numexo}{1}%
\setcounter{numq}{0}%
\setcounter{numsq}{0}%
{\bf\numTD.\arabic{numexo} ---\hspace{4mm}}%
}
%
\newcommand\question{%
\addtocounter{numq}{1}%
\setcounter{numsq}{0}%
{\hspace{5mm}$\arabic{numq})$\hspace{3mm}}%
}
\newcommand\sousquestion{
\addtocounter{numsq}{1} {$\alph{numsq}) $} }
%
\def\mod{\,\,{\rm mod}\,\,}
\def\cart{\!\times\!}
\let\impl=\Rightarrow
\let\et=\wedge
\let\ou=\vee
\let\dis=\displaystyle
\def\strictsubset{\lower .1cm \hbox{${\buildrel{\subset}\over{_{\not=
}}}$}}
\let\eps=\varepsilon
\def\im{\mathop{\rm Im}}

\newcommand{\norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}}
\newcommand{\ent}[1]{{\left[{#1}\right]}}
\newcommand{\abs}[1]{{\left|{#1}\right|}}
\newcommand{\scal}[1]{{\left\langle{#1}\right\rangle}}
\newcommand{\sep}[1]{{\left({#1}\right)}}
\newcommand{\ens}[1]{{\left\{{#1}\right\}}}

\newcommand{\tg}{{\rm tan\,}}
\renewcommand{\tan}{{\rm tan\,}}
\newcommand{\Arctan}{{\rm Arctan\,}}
\newcommand{\Arctg}{{\rm Arctan\,}}
\newcommand{\Arccos}{{\rm Arccos\,}}
\newcommand{\Arcsin}{{\rm Arcsin\,}}
\newcommand{\arcs}{\mathop{\rm Arcsin\,}}
\renewcommand{\sinh}{\mathrm{sh}\,}
\renewcommand{\cosh}{\mathrm{ch}\,}
\renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,}
\newcommand{\sh}{{\rm sh\,}}
\newcommand{\ch}{{\rm ch\,}}
\newcommand{\Argsh}{{\rm Argsh\,}}

\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,}
\renewcommand{\dim}{\mathrm{dim}\,}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{empty}                % Pas d'entete et de pied de page
\topmargin 0cm                   % marge du bord haut a l'entete
\headheight 0cm                  % hauteur de l'entete
\headsep 0cm                     % espace de l'entete au texte
\textheight 25cm                 % hauteur du texte
\footskip 3cm                    % marge du bord bas au texte
%\footheight 0,5cm                % hauteur du bas de page
\oddsidemargin 0cm               % bord gauche au texte int. de marge
\evensidemargin 0cm              % bord droit au texte int. de marge
\marginparwidth 0cm              % texte de marge
\marginparsep 0cm                % bord de marge au texte
\textwidth 16cm                  % largueur du texte
\parindent 0cm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\souligne#1{$\underline{\hbox{\rm #1}}$}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}


\begin{document}

\vskip -18mm
\begin{flushleft}
{ \bf
Institut Galil\'ee\\
Licence de Math\'ematiques \\
2$^{\hbox{\rm\bf ème}}$ année\\
2009-2010\\

}
\end{flushleft}
%
\vskip 20mm
\begin{center}
\large\souligne{Feuille n$^{o}\numTD$}
\end{center}

\vskip 20mm
%------------------------- d\'ebut des exos ---------------------------





\exo Montrer qu'une forme linéaire non identiquement nulle est
surjective.

\exo Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur $K$.Montrer que
$u\in {\cal L}(E,F)-\{ 0 \}$ est de rang $r$ si, et seulement si,
il existe des formes linéaires $\varphi_1, \cdots,\varphi_r$
linéairement indépendantes dans $E^*$ et des vecteurs $y_1,\cdots
,y_r$  linéairement indépendants dans $F$ tels que :
$$ \forall x\in E,\\ u(x) = \sum_{i=1}^r \varphi_i(x)y_i$$
Montrer que dans ce cas, on a :

$$\ker u = \bigcap_{i=1}^r \ker \varphi_i$$


 \exo  Vérifier que la base duale de la base canonique de $K_n[X]$ est
 définie par :
 $$  e_j^*(P) = a_j  \;\ (0\leq j\leq n)$$
où $ \dis P=\sum_{i=0}^n a_iX^i $


\exo Soient $x_0,x_1,\cdots,x_n$ $n+1$ éléments de $K$ deux à deux
distincts. Montrer que la famille ${\cal L} = (L_i)_{0\leq i\leq
n}$ de polynômes définis par :
$$L_i(X) = \prod_{\buildrel{j=0}\over{j\not=i }}^n  \dfrac {X-x_j}{x_i-x_j}$$

est une base de $K_n[X]$.

Montrer que la base duale de $\cal L$ est définie par $L_i^*(P)
=P(x_i)$

\exo On désigne par $(e_i)_{1\leq i\leq n}$ la base canonique de
$K^n$ et par $(E_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ celle de ${\cal
M}_n(K)$.

\question Montrer que pour $i\not = j$, on a :

\sousquestion $E_{i,j} E_{j,i} = E_{i,i}$ \;\ \sousquestion
$E_{i,j} E_{j,j} = E_{i,j}$\;\; \sousquestion $E_{j,j} E_{i,j} =
0$

\question Soit $\varphi$ une forme linéaire sur ${\cal M}_n(K)$
telle que $\varphi(AB) = \varphi(BA)$ pour toutes matrices $A$ et
$B$ dans ${\cal M}_n(K)$.

\sousquestion Montrer que $\varphi(E_{i,i})=\varphi(E_{j,j}$ pour
tous $i$, $j$ compris entre $1$ et $n$. On note $\lambda$ cette
valeur commune.

\sousquestion Montrer que $\varphi(E_{i,j})=0$ pour tous $i\not =
j$.

\sousquestion Montrer que $\varphi(A) = \lambda Tr(A)$

\question Soit $u$ un endomorphisme de ${\cal M}_n(K)$ tel que
$u(I_n) = I_n$ et $u(AB) = u(BA)$ pour toutes matrices $A$ et$B$
dans ${\cal M}_n(K)$. Montrer que $u$ conserve la trace.




 \exo Montrer que deux formes linéaires définissent le même
 hyperplan si, et seulement si, elles sont proportionnelles.


\exo Soient $\varphi, \psi \in E^*$ telles que $\ker \varphi
\subset \ker \psi$.

\question Montrer que $\varphi$ et $\psi$ sont proportionnelles.

\question Montrer que, si $\psi \not = 0 $,  $\ker \varphi = \ker
\psi$.

L'orthogonal d'une partie non vide $X$ de $E$ est l'ensemble
$X^\bot = \{\varphi\in E^*| \forall x\in X, \varphi(x) = 0\}$

L'orthogonal d'une partie non vide $Y$ de $E^*$ est l'ensemble
$Y^\bot = \{x\in E\;|\; \forall \varphi\in Y, \varphi(x) = 0\}$

\exo Soient $A$, $B$ des parties non vides de $E$ et $U$, $V$ des
parties non vides de $E^*$. Montrer que :

\question Si $A\subset B$, alors $B^\bot \subset A^\bot$.

\question Si $U\subset V$, alors $V^\bot \subset U^\bot$.

\question  $A^\bot = \sep{Vect(A)}^\bot$.

\question $U^\bot = \sep{Vect(U)}^\bot$.

\question $\{0\}^\bot = E^*$, $E^\bot = \{0\}$, $\{0\}^\bot = E$
et $\sep{E^*}^\bot = \{0\}$.

\exo Montrer que si $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on a
alors $H=\{0\}$ si, et seulement si, $H^\bot = E^*$.




\exo Montrer que :

\question Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, on a :
$$\dim F + \dim F^\bot = \dim E$$

\question Pour tout sous-espace vectoriel $G$ de $E^*$, on a :
$$\dim G + \dim G^\bot = \dim E$$

\question Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ et tout
sous-espace vectoriel $G$ de $E^*$, on a :
$$F= \sep{F^\bot}^\bot \hbox{ \rm et } G= \sep{G^\bot}^\bot $$

\question Pour toute partie $X$ de $E$, on a :
$$\sep{X^\bot}^\bot =Vect(X)$$

\question Pour tous sous-espaces vectoriels $F_1$ et $F_2$ de $E$,
on a :
$$\sep{F_1+F_2 } = F_1^\bot \cap F_2^\bot \hbox{ \rm et } \sep{F_1\cap F_2 } = F_1^\bot +
F_2^\bot$$

\question Pour tous sous-espaces vectoriels $G_1$ et $G_2$ de
$E^*$, on a :
$$\sep{G_1+G_2 } = G_1^\bot \cap G_2^\bot \hbox{ \rm et } \sep{G_1\cap G_2 } = G_1^\bot +
G_2^\bot$$



















\end{document}