\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage{amsfonts,amssymb,amsgen,theorem} \usepackage[reqno]{amsmath} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} % %d\'efinitions des variables % \def\numTD{3} \def\N{\mbox{I\hspace{-.15em}N}} \def\Z{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}} \def\Q{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}} \def\R{\mbox{I\hspace{-.53em} R}} \def\C{\mbox{\hspace{.35em}l\hspace{-.47em}C}} %la m\^eme chose en BB \def\BBN{\mbox{I\hspace{-.15em}N}} \def\BBZ{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}} \def\BBQ{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}} \def\BBR{\mbox{I\hspace{-.53em} R}} \def\BBC{\mbox{\hspace{.35em}l\hspace{-.47em}C}} \def\BBU{{\rm U\mkern-10.3mu I\mkern2.5mu}} \def\BBV{{\rm V\mkern-12mu V \mkern2.5mu }} \def\BBF{{\rm I\!F}} \def\BBD{{\rm I\!D}} % \newcounter{numexo} \newcounter{numq} \newcounter{numsq} \setcounter{numexo}{0} % \newcommand\exo{\vskip 3mm% \addtocounter{numexo}{1}% \setcounter{numq}{0}% \setcounter{numsq}{0}% {\bf\numTD.\arabic{numexo} ---\hspace{4mm}}% } % \newcommand\question{% \addtocounter{numq}{1}% \setcounter{numsq}{0}% {\hspace{5mm}$\arabic{numq})$\hspace{3mm}}% } \newcommand\sousquestion{ \addtocounter{numsq}{1} {$\alph{numsq}) $} } % \def\mod{\,\,{\rm mod}\,\,} \def\cart{\!\times\!} \let\impl=\Rightarrow \let\et=\wedge \let\ou=\vee \let\dis=\displaystyle \def\strictsubset{\lower .1cm \hbox{${\buildrel{\subset}\over{_{\not= }}}$}} \let\eps=\varepsilon \def\im{\mathop{\rm Im}} \newcommand{\norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}} \newcommand{\ent}[1]{{\left[{#1}\right]}} \newcommand{\abs}[1]{{\left|{#1}\right|}} \newcommand{\scal}[1]{{\left\langle{#1}\right\rangle}} \newcommand{\sep}[1]{{\left({#1}\right)}} \newcommand{\ens}[1]{{\left\{{#1}\right\}}} \newcommand{\tg}{{\rm tan\,}} \renewcommand{\tan}{{\rm tan\,}} \newcommand{\Arctan}{{\rm Arctan\,}} \newcommand{\Arctg}{{\rm Arctan\,}} \newcommand{\Arccos}{{\rm Arccos\,}} \newcommand{\Arcsin}{{\rm Arcsin\,}} \newcommand{\arcs}{\mathop{\rm Arcsin\,}} \renewcommand{\sinh}{\mathrm{sh}\,} \renewcommand{\cosh}{\mathrm{ch}\,} \renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,} \newcommand{\sh}{{\rm sh\,}} \newcommand{\ch}{{\rm ch\,}} \newcommand{\Argsh}{{\rm Argsh\,}} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,} \newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,} \renewcommand{\dim}{\mathrm{dim}\,} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \pagestyle{empty} % Pas d'entete et de pied de page \topmargin 0cm % marge du bord haut a l'entete \headheight 0cm % hauteur de l'entete \headsep 0cm % espace de l'entete au texte \textheight 25cm % hauteur du texte \footskip 3cm % marge du bord bas au texte %\footheight 0,5cm % hauteur du bas de page \oddsidemargin 0cm % bord gauche au texte int. de marge \evensidemargin 0cm % bord droit au texte int. de marge \marginparwidth 0cm % texte de marge \marginparsep 0cm % bord de marge au texte \textwidth 16cm % largueur du texte \parindent 0cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\souligne#1{$\underline{\hbox{\rm #1}}$} \def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits} \begin{document} \vskip -18mm \begin{flushleft} { \bf Institut Galil\'ee\\ Licence de Math\'ematiques \\ 2$^{\hbox{\rm\bf ème}}$ année\\ 2009-2010\\ } \end{flushleft} % \vskip 15mm \begin{center} \large\souligne{Feuille n$^{o}\numTD$} \end{center} \vskip 10mm %------------------------- d\'ebut des exos --------------------------- \exo Soit $\varphi$ la forme bilinéaire de $\R^2$ définie par : $$\varphi\sep{(x_1,x_2),(y_1,y_2} = 2x_1y_1-3x_1y_2+x_2y_2$$ \question Trouver la matrice $A$ de $\varphi$ dans la base ${\cal B} =\{ (1,0),(1,1)\}$ \question Trouver la matrice $B$ de $\varphi$ dans la base ${\cal B'} =\{ (2,1),(1,-1)\}$ \question Trouver la matrice de passage $P$ de la base $\cal B$ à la $\cal B'$ et vérifier que $B=\, ^tP A P$ \exo Les fonctions suivantes $E\times E \rightarrow \R$ sont-elles des formes bilinéaires sur l'espace de dimension finie $E$? Si oui, écrire leur matrice dans la base canonique. Sont-elles symétriques? Lorsque $E=\R^3$, donner leurs matrices dans la base : $(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)$. \begin{tabular} {ll} \question $\varphi(x,y) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$& $E=\R^3$.\\ \question $\varphi(x,y) = x_1y_1+y_1y_2$& $E=\R^2$.\\ \question $\varphi(x,y) = x_2y_1+3 x_2y_2$& $E=\R^3$.\\ \question $\varphi(x,y) = x_1y_2-2x_3(y_2+2y_1)+4x_3y_2-x_2y_1$& $E=\R^3$.\\ \question $\displaystyle \varphi(P,Q) = \int_0^1 P(x) Q(x) dx$& $E=\R_3[X]$.\\ \end{tabular} \exo $E=K_2[X]$ est l'espace des polynômes de degré $\leq 2$. $a$ et $b$ sont des éléments de $K$. On pose $$\varphi(P,Q) = \dfrac{1}{2}\sep{ P(a)Q(b)+P(b)Q(a)}$$ \question Montrer que $\varphi$ est une forme bilinéaire symétrique. \question Donner sa matrice dans la base canonique. Quel est son rang? \question Soit $\cal B$ la base des polynômes d'interpolation de $0, 1, 3$. Donner la matrice de $\varphi$ dans cette base. \question Vérifier la formule de changement de base. \exo Soit $q$ la forme quadratique définie sur $\R^3$ par : $$ q(x,y,z) = 2x^2-y^2+2xy-2xz+6yz$$ \question Définie la forme polaire $\varphi$ de $q$ et écrire la matrice $A$ de $\varphi$ dans la base canonique de $\R^3$. \question Déterminer le noyau de $\varphi$ et préciser si $\varphi$ est dégénérée. \question Décomposer $q$ en une combinaison linéaire de carrés indépendants. \exo Soit $q$ la forme quadratique définie sur $\R^4$ par : $$ q(x,y,z,t) = xz+xt+yz+yt$$ \question Décomposer $q$ en une combinaison linéaire de carrés indépendants. \question En déduire les vecteurs isotropes de $q$. \exo Pour les formes quadratiques suivantes, déterminer une décomposition de Gauss et en déduire noyau, rang, signature : \question $q : \R^3 \rightarrow \R : (x,y,z) \mapsto x^2+2y^2+2z^2+2xy-4xz-6yz$ \question $q : \R^3 \rightarrow \R : (x,y,z) \mapsto xy+xz$ \question $q : \R^4 \rightarrow \R : (x,y,z,t) \mapsto x^2+y^2+2xy+2xz+2xt+2yz+2yt+4zt$ \exo Soit $q$ la forme quadratique définie sur $\R^3$ par $q(x,y,z) = x^2+3y^2-4xy+2xz+2yz$. Trouver tous les plans vectoriels de $\R^3$ sur lesquels la restriction de $q$ est définie positive. \exo Soit $\phi$ la forme bilinéaire symétrique sur $\BBR^2$ de matrice : $\left ( \begin{array}{ll} 0&1\\1&0\end{array}\right )$. Déterminer le rang, le noyau, les vecteurs isotropes, la signature \dots \exo $E$ est un $\C$-espace vectoriel et $\varphi : E\times E \rightarrow \C$ une forme bilinéaire symétrique telle que pour tout $x\in E$, $\varphi(x,x)\geq 0$. Montrer que $\varphi$ est nulle. \exo Soit $\phi$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. On dit qu'un vecteur $u$ de $E$ est isotrope si il est orthogonal à lui-même. Montrer que le noyau de $\phi$ est constitué de vecteurs isotropes. La réciproque est-elle vraie? \exo Soit $E$ un $K$-espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire symétrique $\varphi$. Soient $x$ et $y$ deux vecteurs isotropes. Montrer que $x+y$ est isotrope si, et seulement si, $x$ et $y$ sont orthogonaux. \exo Soit $E$ un $K$-espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire symétrique $\varphi$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ tel que $F\cap F^{\bot} \not = \{0\}$. Montrer $$F^{\bot}\cap F^{\bot\bot} \not = \{0\}$$ \exo Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est dit anisotrope s'il ne contient aucun vecteur isotrope non nul. Montre qu'un espace réel est anisotrope si, et seulement si, la forme est définie positive ou définie négative. Donner un exemple d'un espace vectoriel sur $\BBQ$ muni d'un produit scalaire indéfini mais qui est anisotrope. \exo Un espace de dimension $2$ sur un corps de caractéristique $\not = 2$, muni d'une forme bilinéaire symétrique régulière, qui contient un vecteur isotrope non nul s'appelle un plan hyperbolique. Montrer que tout plan hyperbolique possède une base $\{u,v\}$ telle que $ = =0$ et $ = 1$. Montrer que tout espace de dimension 2 possédant une telle base est un plan hyperbolique. \exo Montrer qu'un espace muni d'une forme bilinéaire symétrique régulière peut s'écrire comme somme directe orthogonale de plans hyperboliques et d'un espace anisotrope. \end{document}