\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\usepackage[reqno]{amsmath}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%

%d\'efinitions des variables
%

\def\numTD{3}

\def\N{\mbox{I\hspace{-.15em}N}}
\def\Z{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}}
\def\Q{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}}
\def\R{\mbox{I\hspace{-.53em} R}}
\def\C{\mbox{\hspace{.35em}l\hspace{-.47em}C}}
%la m\^eme chose en BB
\def\BBN{\mbox{I\hspace{-.15em}N}}
\def\BBZ{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}}
\def\BBQ{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}}
\def\BBR{\mbox{I\hspace{-.53em} R}}
\def\BBC{\mbox{\hspace{.35em}l\hspace{-.47em}C}}
\def\BBU{{\rm U\mkern-10.3mu I\mkern2.5mu}}
\def\BBV{{\rm V\mkern-12mu V \mkern2.5mu }}
\def\BBF{{\rm I\!F}}
\def\BBD{{\rm I\!D}}

%
\newcounter{numexo}
\newcounter{numq}
\newcounter{numsq}
\setcounter{numexo}{0}
%
\newcommand\exo{\vskip 3mm%
\addtocounter{numexo}{1}%
\setcounter{numq}{0}%
\setcounter{numsq}{0}%
{\bf\numTD.\arabic{numexo} ---\hspace{4mm}}%
}
%
\newcommand\question{%
\addtocounter{numq}{1}%
\setcounter{numsq}{0}%
{\hspace{5mm}$\arabic{numq})$\hspace{3mm}}%
}
\newcommand\sousquestion{
\addtocounter{numsq}{1} {$\alph{numsq}) $} }
%
\def\mod{\,\,{\rm mod}\,\,}
\def\cart{\!\times\!}
\let\impl=\Rightarrow
\let\et=\wedge
\let\ou=\vee
\let\dis=\displaystyle
\def\strictsubset{\lower .1cm \hbox{${\buildrel{\subset}\over{_{\not=
}}}$}}
\let\eps=\varepsilon
\def\im{\mathop{\rm Im}}

\newcommand{\norm}[1]{{\left\|{#1}\right\|}}
\newcommand{\ent}[1]{{\left[{#1}\right]}}
\newcommand{\abs}[1]{{\left|{#1}\right|}}
\newcommand{\scal}[1]{{\left\langle{#1}\right\rangle}}
\newcommand{\sep}[1]{{\left({#1}\right)}}
\newcommand{\ens}[1]{{\left\{{#1}\right\}}}

\newcommand{\tg}{{\rm tan\,}}
\renewcommand{\tan}{{\rm tan\,}}
\newcommand{\Arctan}{{\rm Arctan\,}}
\newcommand{\Arctg}{{\rm Arctan\,}}
\newcommand{\Arccos}{{\rm Arccos\,}}
\newcommand{\Arcsin}{{\rm Arcsin\,}}
\newcommand{\arcs}{\mathop{\rm Arcsin\,}}
\renewcommand{\sinh}{\mathrm{sh}\,}
\renewcommand{\cosh}{\mathrm{ch}\,}
\renewcommand{\th}{\mathrm{th}\,}
\newcommand{\sh}{{\rm sh\,}}
\newcommand{\ch}{{\rm ch\,}}
\newcommand{\Argsh}{{\rm Argsh\,}}

\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}\,}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,}
\renewcommand{\dim}{\mathrm{dim}\,}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{empty}                % Pas d'entete et de pied de page
\topmargin 0cm                   % marge du bord haut a l'entete
\headheight 0cm                  % hauteur de l'entete
\headsep 0cm                     % espace de l'entete au texte
\textheight 25cm                 % hauteur du texte
\footskip 3cm                    % marge du bord bas au texte
%\footheight 0,5cm                % hauteur du bas de page
\oddsidemargin 0cm               % bord gauche au texte int. de marge
\evensidemargin 0cm              % bord droit au texte int. de marge
\marginparwidth 0cm              % texte de marge
\marginparsep 0cm                % bord de marge au texte
\textwidth 16cm                  % largueur du texte
\parindent 0cm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\souligne#1{$\underline{\hbox{\rm #1}}$}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}


\begin{document}

\vskip -18mm
\begin{flushleft}
{ \bf
Institut Galil\'ee\\
Licence de Math\'ematiques \\
2$^{\hbox{\rm\bf ème}}$ année\\
2009-2010\\

}
\end{flushleft}
%
\vskip 15mm
\begin{center}
\large\souligne{Feuille n$^{o}\numTD$}
\end{center}

\vskip 10mm
%------------------------- d\'ebut des exos ---------------------------





\exo Soit $\varphi$ la forme bilinéaire de $\R^2$ définie par :
$$\varphi\sep{(x_1,x_2),(y_1,y_2} = 2x_1y_1-3x_1y_2+x_2y_2$$

\question Trouver la matrice $A$ de $\varphi$ dans la base ${\cal
B} =\{ (1,0),(1,1)\}$

\question Trouver la matrice $B$ de $\varphi$ dans la base ${\cal
B'} =\{ (2,1),(1,-1)\}$

\question Trouver la matrice de passage $P$ de la base $\cal B$ à
la $\cal B'$ et vérifier que $B=\, ^tP A P$


\exo Les fonctions suivantes $E\times E \rightarrow \R$ sont-elles
des formes bilinéaires sur l'espace de dimension finie $E$? Si
oui, écrire leur matrice dans la base canonique. Sont-elles
symétriques? Lorsque $E=\R^3$, donner leurs matrices dans la base
: $(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)$.

\begin{tabular} {ll}

 \question $\varphi(x,y) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$& $E=\R^3$.\\

\question $\varphi(x,y) = x_1y_1+y_1y_2$& $E=\R^2$.\\

 \question $\varphi(x,y) = x_2y_1+3 x_2y_2$& $E=\R^3$.\\
  \question $\varphi(x,y) = x_1y_2-2x_3(y_2+2y_1)+4x_3y_2-x_2y_1$& $E=\R^3$.\\
 \question $\displaystyle \varphi(P,Q) = \int_0^1 P(x) Q(x) dx$& $E=\R_3[X]$.\\


\end{tabular}

\exo $E=K_2[X]$ est l'espace des polynômes de degré $\leq 2$. $a$
et $b$ sont des éléments de $K$. On pose $$\varphi(P,Q) =
\dfrac{1}{2}\sep{ P(a)Q(b)+P(b)Q(a)}$$

\question Montrer que $\varphi$ est une forme bilinéaire
symétrique.

\question Donner sa matrice dans la base canonique. Quel est son
rang?

\question Soit $\cal B$ la base des polynômes d'interpolation de
$0, 1, 3$. Donner la matrice de $\varphi$ dans cette base.

\question Vérifier la formule de changement de base.

\exo Soit $q$ la forme quadratique définie sur $\R^3$ par :
$$ q(x,y,z) = 2x^2-y^2+2xy-2xz+6yz$$
\question Définie la forme polaire $\varphi$ de $q$ et écrire la
matrice $A$ de $\varphi$ dans la base canonique de $\R^3$.

\question Déterminer le noyau de $\varphi$ et préciser si
$\varphi$ est dégénérée.

\question Décomposer $q$ en une combinaison linéaire de carrés
indépendants.

\exo Soit $q$ la forme quadratique définie sur $\R^4$ par :
$$ q(x,y,z,t) = xz+xt+yz+yt$$

\question Décomposer $q$ en une combinaison linéaire de carrés
indépendants.

\question En déduire les vecteurs isotropes de $q$.


\exo Pour les formes quadratiques suivantes, déterminer une
décomposition de Gauss et en déduire noyau, rang, signature :

\question $q : \R^3 \rightarrow \R : (x,y,z) \mapsto
x^2+2y^2+2z^2+2xy-4xz-6yz$

\question $q : \R^3 \rightarrow \R : (x,y,z) \mapsto xy+xz$

\question $q : \R^4 \rightarrow \R : (x,y,z,t) \mapsto
x^2+y^2+2xy+2xz+2xt+2yz+2yt+4zt$

\exo Soit $q$ la forme quadratique définie sur $\R^3$ par
$q(x,y,z) = x^2+3y^2-4xy+2xz+2yz$. Trouver tous les plans
vectoriels de $\R^3$ sur lesquels la restriction de $q$ est
définie positive.

\exo Soit $\phi$ la forme bilinéaire symétrique sur $\BBR^2$ de
matrice : $\left ( \begin{array}{ll} 0&1\\1&0\end{array}\right )$.

Déterminer le rang, le noyau, les vecteurs isotropes, la signature
\dots

\exo $E$ est un $\C$-espace vectoriel et $\varphi : E\times E
\rightarrow \C$ une forme bilinéaire symétrique telle que pour
tout $x\in E$, $\varphi(x,x)\geq 0$. Montrer que $\varphi$ est
nulle.



\exo Soit $\phi$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. On dit
qu'un vecteur $u$ de $E$ est isotrope si il est orthogonal à
lui-même. Montrer que le noyau de $\phi$ est constitué de vecteurs
isotropes. La réciproque est-elle vraie?

\exo Soit $E$  un $K$-espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire
symétrique $\varphi$. Soient $x$ et $y$ deux vecteurs isotropes.
Montrer que $x+y$ est isotrope si, et seulement si, $x$ et $y$
sont orthogonaux.

\exo Soit $E$  un $K$-espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire
symétrique $\varphi$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ tel
que $F\cap F^{\bot} \not = \{0\}$. Montrer  $$F^{\bot}\cap
F^{\bot\bot} \not = \{0\}$$

\exo Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est dit
anisotrope s'il ne contient aucun vecteur isotrope non nul. Montre
qu'un espace réel est anisotrope si, et seulement si, la forme est
définie positive ou définie négative.

Donner un exemple d'un espace vectoriel sur $\BBQ$ muni d'un
produit scalaire indéfini mais qui est anisotrope.

\exo Un espace de dimension $2$ sur un corps de caractéristique
$\not = 2$, muni d'une forme bilinéaire symétrique régulière, qui
contient un vecteur isotrope non nul s'appelle un plan
hyperbolique.

Montrer que tout plan hyperbolique possède une base $\{u,v\}$
telle que $<u,u> = <v,v>=0$ et $<u,v> = 1$. Montrer que tout
espace de dimension 2 possédant une telle base est un plan
hyperbolique.

\exo Montrer qu'un espace muni d'une forme bilinéaire symétrique
régulière peut s'écrire comme somme directe orthogonale de plans
hyperboliques et d'un espace anisotrope.




\end{document}
