\documentclass[a4paper,12pt]{article}

%\usepackage{french}

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\def\saut{\vskip 5mm}
\def\R{{\mathbf R}}
\def\Z{{\mathbf Z}}
\def\Q{{\mathbf Q}}
\def\Ga{{\mathbf Z}[i]}
\def\ra{\longrightarrow}

\begin{document}

\begin{center}
\topskip 5mm {\bf L3 Math\'ematiques}

\end{center}
\begin{center}
{\bf Groupes \`a $8$ \'el\'ements}
\end{center}
\vskip 1cm

\def\C{{\bf C}}
\def\S{{\mathcal S}}
\def\A{{\mathcal A}}
\def\N{{\bf N}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\F{{\bf F}}


{\bf 1.0.} Soit $G$ un groupe ab\'elien et $H$ un sous-groupe de $G$. On note $K$ pour le quotient $G/H$ et $p \, : \, G \ra K$ l'homomorphisme quotient.
On suppose qu'il existe un homomorphisme $s$ de $K$ dans $G$ tel que $p \circ s = {\rm Id}_K$. Montrer que $G$ est isomorphe \`a $H \times K$.

$G$ d\'esigne dor\'enavant dans toute cette feuille un groupe \`a $8$
\'el\'ements.

\saut On suppose  $G$ ab\' elien dans la partie 1.

 {\bf 1.1.}  Soit $G$ un
groupe dont tous les \'el\'ements sont d'ordre $2$. Montrer que $G$
est ab\'elien.

{\bf 1.2.}On suppose $G$ fini. Montrer par r\'ecurrence sur le
cardinal que $G$ est isomorphe \`a $(\Z/2\Z)^n$. On chosira un
\'el\'ement d'ordre $2$, soit $x \in G$. Puis on consid\'erera le
quotient $G/<x>$ auquel on appliquera l'hypoth\`ese de r\'ecurrence.
Donc $G/<x> \cong (\Z/2\Z)^{n-1}$. Soit $a_1,\ldots,a_{n-1}$ des
g\'en\'erateurs de $G/<x>$, on en choisira des images inverses par
$p \, : \, G \ra G/<x>$ et on conclura.

En particulier si $G$ est d'ordre $8$ et si tous ses \'el\'ements
sont d'ordre $2$ il est isomorphe \`a $(\Z/2\Z)^3$.

{\bf 1.3.} D\'emontrer que si $G$ a un \'el\'ement d'ordre $8$ il
est isomorphe \`a $\Z/8\Z$.

{\bf 1.4.} Supposons que $G$ ait un \'el\'ement d'ordre $4$, et pas d'\'el\'ement d'ordre $8$. Soit
$a$ un \'el\'ement d'ordre $4$. Soit $\bar b  \in G/<a>$  d'ordre $2$. Montrer qu'il existe un \'el\'ement $b \in G$ tel que $p(b)=\bar b$ et $b$ est d'ordre $2$. On choisira un \'el\'ement $b \in G$ tel que $p(b)=\bar b$, puis on montrera que $b$ est d'ordre $2$ ou $4$, si $b$ est d'ordre $4$ on montrera que $b+a$ est d'odre $2$. En utilisant 1.0 conclure que  $G$ est isomorphe \`a $\Z/\Z \times \Z/4\Z$.

En d\'eduire que $G \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$.


\saut

\saut

{\bf 2.1.} Groupe i\'edral : par d\'efinition
$$D_8=\{1,\rho,\rho^2,\rho^3,s,s\rho,s\rho^2,s\rho^3\}
$$
avec la relation  $s\rho s=\rho^3$. Donner la table du groupe.
Montrer que le centre est isomorphe \`a  $\Z/2\Z$ et engendr\'e par
$\rho^2$.

Montrer que le quotient par le centre est isomorphe \`a $\Z/2\Z
\times \Z/2\Z$. D\'eterminer les \'el\'ements d'odre $2$ et $4$
($\rho, \rho^3$).

D\'ecrire les classes de conjugaisons : $\{1\},\{\rho^2\} \{\rho,
\rho^3\}, \{s, s\rho^2\}, \{s\rho,s\rho^3\}$

D\'eterminer les sous-groupes. Lesquels sont distingu\'es?



Comparer au groupe du carr\'e.



{\bf 2.2.} Groupe quaternionien : par d\'efinition
$$Q=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\} $$

On rappelle que $i^2=j^2=k^2=-1$, $ij=k,jk=i, ki=j$ et $ij=-ji,
jk=-kj, ki=-ik$.

Donner la table du groupe. Montrer que le centre est isomorphe \`a
$\Z/2\Z$ et engendr\'e par $-1$. Montrer que le quotient par le
centre est isomorphe \`a $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$.

D\'eterminer les \'el\'ements d'ordre $2$ et $4$
$($i,-i,j,-j,k,-k$)$.


D\'ecrire les classes de conjugaisons : $\{1\},\{\-1\} \{i, -i\},
\{j, -j\}, \{k,-k\}$

D\'eterminer les sous-groupes. Lesquels sont distingu\'es?



\end{document}
