\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{pdfsync} \def\b{\bf \Large} %\usepackage{french} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\pagestyle{empty} % Pas d'entete et de pied de page \topmargin 0cm % marge du bord haut a l'entete \headheight 0cm % hauteur de l'entete \headsep 0cm % espace de l'entete au texte \textheight 23cm % hauteur du texte \footskip 3cm % marge du bord bas au texte %\footheight 0,5cm % hauteur du bas de page \oddsidemargin 0cm % bord gauche au texte int. de marge \evensidemargin 0cm % bord droit au texte int. de marge \marginparwidth 0cm % texte de marge \marginparsep 0cm % bord de marge au texte \textwidth 16cm % largueur du texte \parindent 0cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newfont{\titref}{cmbx12 scaled \magstephalf} \newfont{\titrer}{cmbx10} \def\saut{\vskip 3mm} \def\R{{\mathbf R}} \def\Z{{\mathbf Z}} \def\Q{{\mathbf Q}} \def\Ga{{\mathbf Z}[i]} \begin{document} \begin{center} \topskip 3mm {\bf L3 Math\'ematiques, Structures alg\'ebriques} \end{center} \begin{center} {\bf Epreuve du 21 Janvier 2009} \end{center} \vskip 1cm \def\C{{\bf C}} \def\S{{\mathcal S}} \def\A{{\mathcal A}} \def\N{{\bf N}} \def\Z{{\bf Z}} \def\F{{\bf F}} \textbf{1.} {\bf Cours} Donner la d\'efinition d'un anneau principal. Donner la d\'efinition d'un \'el\'ement irr\'eductible. D\'emontrer que si $A$ est un anneau principal et si $a \in A$ est un \'el\'ement (non-nul, non-inversible) les trois conditions suivantes sont \'equivalentes : l'\'el\'ement $a$ est irr\'eductible, l'id\'eal $(a)$ est premier, l'id\'eal $(a)$ est maximal. \vskip 3mm \textbf{2.} Montrer que le polyn\^ome $P=X^2+ \bar 3X+ \bar 3$ dans le corps $\F_5$ est irr\'eductible. Puisque c'est un polyn\^ome de degr\'e $2$ il suffit de v\'erifier qu'il n'a pas de racines. Or $P(0)=3$, $P(\bar 1)=\bar 2$, $P(\bar 2)=\bar 3$, $P(\bar 3)=\bar 1$, $P(\bar 4)=\bar 1$. Quel est le nombre d'\'el\'ements de $ k = \F_5[X]/(P)$? C'est $|k|^{{\rm deg }(P)}=5^2=25$. Soit $\alpha= \bar X \in k = \F_5[X]/(P)$. Montrer que $\alpha$ est d'ordre $24$ dans le groupe $k^*$. Les ordres possibles sont les diviseurs de $24$, or \begin{itemize} \item $\alpha^2 = 2\alpha +2$, \item $\alpha^3 = \alpha +4$, \item $\alpha^4 = \alpha +2$, \item $\alpha^6 = 3$, \item $\alpha^8 = \alpha + 1$, \item \b $\mathbf{\alpha^{12}} = 4$. \end{itemize} Combien y a t'il d'\'el\'ements d'ordre $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$ dans $\Z/24\Z$ (on rappelle que dans $\Z/n\Z$ l'ordre de $\bar k$ est $\frac{n}{pgcd(k,n)}$). On trouve \begin{itemize} \item ${\rm ord }(\bar k)=24$ est \'equivalent \`a $ pgcd{\mbox{\b)}}(k,24)=1$. Donc $k$ n'est pas divisible par $2$ et $3$. On trouve $\varphi(24)=8$ \'el\'ements : $1, 5,7,11, 13,17, 19, 23$. \item ${\rm ord }(\bar k)=12$ est \'equivalent \`a $ pgcd(k,24)=2$. Donc $k$ n'est pas divisible par $3$, et l'est par $2$ mais pas par $4$. On trouve $4$ \'el\'ements : $2, \mbox{\LARGE, }10,14, 22$. \item ${\rm ord }(\bar k)=8$ est \'equivalent \`a $pgcd(k,24)=3$. Donc $k$ n'est pas divisible par $2$, et l'est par $3$. On trouve $4$ \'el\'ements : $3,9,15,21$. \item ${\rm ord }(\bar k)=6$ est \'equivalent \`a $ pgcd(k,24)=4$. Donc $k$ n'est pas divisible par $3$, et l'est par $4$ mais pas par $8$. On trouve $2$ \'el\'ements : $4, 20$. \item ${\rm ord} (\bar k)=4$ est \'equivalent \`a $ pgcd(k,24)=6$. Donc $k$ est divisible par $3$, et l'est par $2$ mais pas par $4$. On trouve $2$ \'el\'ements : $6, 18$. \item ${\rm ord }(\bar k)=3$ est \'equivalent \`a $ pgcd(k,24)=8$. Donc $k$ n'est pas divisible par $3$, et l'est par $8$ . On trouve $2$ \'el\'ements : $8, 16$. \item ${\rm ord }(\bar k)=2$ est \'equivalent \`a $ pgcd(k,24)=12$. Donc On trouve $1$ \'el\'ement : $12$. \end{itemize} Donner la liste des d'\'el\'ements d'ordre $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$ dans $k^*$ (cette derni\`ere question est r\'ep\'etitive et un peu longue, on pourra donc se contenter de donner le nombre d'\'el\'ements d'ordre $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$ et des exemples). Puisqu'il y a un \'el\'ement d'ordre $24$ dans $k^*$ ce groupe qui a $24$ \'el\'ements est isomorphe \`a $\Z/24\Z$. Il y a donc autant d'\'el\'ements d'ordre $2$, $3$, etc que dans $\Z/24\Z$. En particulier $\alpha$ est d'ordre $24$, $\alpha^2=2\alpha+2$ est d'ordre $12$, $\alpha^3 =\alpha + 4$ d'ordre $8$, \ldots , $4$ d'ordre $2$. \vskip 3mm \textbf{3.} Donner la liste des polyn\^omes irr\'eductibles sur le corps $\F_2$ de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $2$, $3$ et $4$. En degr\'e $2$ et $3$ ceux qui n'ont pas de racines, ce sont $X^2+X+1$, $X^3+X+1$, $X^3+X^2+1$ (on devait donner quelques pr\'ecisions). En degr\'e $4$ on a montr\'e en cours qu'il fallait \'eliminer, outre les polyn\^omes qui ont des racines, ceux qui sont le produit de deux polyn\^omes irr\'eductibles de degr\'e $2$. Ce qui revient \`a \'eliminer $(X^2+X+1)^2=X^4+X^2+1$. La condition sur les racines pour $X^4+aX^3+bX^2+cX+d$ s'\'ecrit $d \not=0$, donc $d=1$, et $1+a+b+c+1 \not = 0$. il reste donc la condition $a+b+c \not =0$. On trouve (\'eliminant $X^4+X^2+1$) $X^4+X+1$, $X^4+X^3+1$, $X^4+X^3+X^2+X+1$. On pourra admettre dans la suite que le polyn\^ome $P=X^4+X^3+1$ est irr\'eductible. Quel est le nombre d'\'el\'ements du corps $L=\F_2[X]/(X^4+X^3+1)$. On notera comme il est d'usage $\alpha$ la classe $\bar X$, si bien que $\{1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3\}$ est une base de $L$ sur $\F_2$. Calculer l'inverse de $\alpha +1$ et celui de $\alpha^2+1$ dans cette base (on partira soit de $P$, soit on cherchera \`a r\'esoudre un syst\`eme lin\'eaire appropri\'e) et celui de $\alpha^2+1$ dans cette base. Soit $\alpha^4+\alpha^3=1$ donc $\alpha^3(\alpha+1)=1$, et $\alpha^6(\alpha^2+1)=1$, $\alpha^6=\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1$. \smallskip {\em J'ai du mal \`a comprendre les calculs qui suivants (est-ce que tu veux dire que $\alpha^6 = a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d$ et calculer $a, b, c$ et $d$?) Mais je suis d'accord : $\alpha^6=\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1$. A mon avis le mieux pour le trouver serait de faire une division de polyn\^omes et de prendre le reste. Il y a donc des corrections \`a faire dans ce qui suit, mais je ne sais pas exactement lesquelles :} \smallskip Soit on r\'esout le syst\`eme lin\'eaire { \b $(\alpha^2+1)(\alpha^6=\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1\biggr)=1$}, $a,b,c,d \in \F_2$, soit $c=0$, $b+c=0$, $a+b${\b$\mathbf{=}$}$0$, $a+d=1$. \smallskip \smallskip Soit (utilisant Fermat) (ce n'est pas aussi ag\'eable, et est juste donn\'e pour m\'emoire) on note que $(1+\alpha)^{\mathbf 15}=1$ et donc l'inverse est $(1+\alpha)^{\mathbf 14}$ qui est \'egal \`a $(1+\alpha)^8(1+\alpha)^4(1+\alpha)^2=(1+\alpha^8)(1+\alpha^4)(1+\alpha^2)$ qui, comme $\alpha^4=\alpha^3+1$, est encore \'egal \`a $(1+\alpha^8)(1+\alpha^4)(1+\alpha)^2=\alpha^6\alpha^3(1+\alpha^2)=\alpha^{9}(1+\alpha)^2$. Mais $\alpha^{9}= \alpha^8\alpha=(\alpha^6+1)\alpha=\alpha^7+\alpha$, on calcule $\alpha^7=\alpha^2+\alpha+1$. Il suit que $\alpha^{9}=\alpha^2+1$. Donc $\alpha^{9}(1+\alpha)^2=(1+\alpha)^4=1+\alpha^4=\alpha^3$. Quel est l'ordre de $\alpha $ dans $L^*$? Donner les \'el\'ements d'ordre $3$, $5$ et $15$ dans $L^*$. On a fait des calculs plus haut, les ordres possibles sont $3$, $5$ et $15$, or $\alpha^3$ est dans la base et $\alpha^5=\alpha^3+\alpha+1$. Donc $\alpha$ est d'ordre $15$. Comme plus haut on trouve les \'el\'ements de la forme $\alpha^i$, avec $pgcd(1,15)=1$ d'ordre $15$, il y en a $\varphi(15)=8$ : $\alpha,\alpha^2,\alpha^4=\alpha^3+1,\alpha^8=\alpha+\alpha^2+\alpha^3$, et $\alpha^7=1+\alpha+\alpha^2$ (voir plus haut), $\alpha^{11}=1+\alpha+\alpha^3$, $\alpha^{13}=\alpha+\alpha^2$, $\alpha^{14}=\alpha^2+\alpha^3$. Egalement $\alpha^3$, $\alpha^6$, $\alpha^9$, $\alpha^{12}$ sont d'ordre $5$ (on laisse l'\'ecriture dans la base \`a faire). Trouver dans $L$ une racine du polyn\^ome $X^4+X^3+X^2+X+1$ (on pourra se servir de l'identit\'e $(X+1)(X^4+X^3+X^2+X+1)=1=X^5+1$). A cause de l'identit\'e on voit que l'on cherche un \'el\'ement d'ordre $5$, $\alpha^3$ convient. Trouver dans $L$ une racine du polyn\^ome $X^2+X+1$. A cause de $(X+1)(X^2+X+1)=1=X^3+1$ on cherche un \'el\'ement d'ordre $5$, $\alpha^5=1+\alpha+\alpha^3$ convient. \vskip 3mm \saut \textbf{4.} On admet dans la suite que l'anneau $\Ga$ des entiers de Gauss est principal. D\'ecomposer $x=5+3i$ en produit d'\'el\'ements irr\'eductibles. (N'\'etait pasz dans l'\'epreuve) \smallskip On a $N(x) = 5^2 + 3^2 = 34 = 2 \times 17$. D'o\`u $x \bar x = (1+i)(1-i)(4+i)(4-i)$. Les \'el\'ements $1+i$, $1-i$, $4+i$ et $4-i$ sont irr\'eductibles dans $\Ga$ car ils sont de la forme $a+ib$ avec $a^2+b^2$ premiers. Par unicit\'e de la d\'ecomposition en irr\'eductibles dans un anneau principal, on sait que $x$ (ainsi que $\bar x$) est un produit de certains d'entre eux. On voit imm\'ediatement que $5+3i=(1+i)(4-i)$ (ou bien que $5+3i=(1-i)(4+i)$ - ce qui donne la m\^eme r\'eponse du fait que $(1+i)$ et $(1-i)$ sont associ\'es). \saut \textbf{5.} Soit l'entier de Gauss $3+2i$. On cherche \`a montrer que $\Ga/(3+2i)$ est isomophe \`a $\F_{13}$. A cette fin, montrer que l'application $\phi$ de $\Ga$ dans $\F_{13}$, donn\'ee par $a+ib \mapsto \overline{a +5b}$ est un homomorphisme d'anneaux, dans la formule $\overline{a +5b}$ d\'esigne la classe de congruence modulo $13$ de $a+5b$. On v\'erifiera en particulier que $\phi(xx')=\phi(x)\phi(x')$. Pour cette derni\`ere formule il faut montrer que si on a $x=a+ib$ et $x'=a'+ib'$, alors $$ aa'-bb'+5(ab'+a'b) \cong (a+5b)(a'+5b') \, \, \, \, {\rm mod} \, \, \, \, 13 $$ soit $ -bb' \cong 25 bb' \, \, \, \, {\rm mod} \, \, \, \, 13 $. Montrer qu'elle est surjective sur $\F_{13}$. Il suffit de prendre la classe de $a \in \Z$. Montrer que $3+2i$ est dans son noyau, $3+2 \times 5= 13$ puis que ce noyau est l'id\'eal $(3+2i)$ (on pourra se servir du fait que $3+2i$ est irr\'eductible, en le justifiant). Un \'el\'ement $a+ib$ de $\Ga$ tel que $a^2+b^2$ est premier (dans $\Z$!) est irr\'eductible. Le noyau de $\phi$ contient l'id\'eal maximal $(3+2i)$ (citer le cours, voir 1!) , n'est pas \'egal \`a $\Ga$ et est \'egal \`a $(3+2i)$. En d\'eduire que que $\Ga/(3+2i)$ est isomorphe \`a $\F_{13}$. Th\'eor\`eme d'isomorphisme. \end{document}