\documentclass[french,12pt]{article}


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\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition}
\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
\def\exe{{\bf Exemples}}
\def\B{{\mathcal B}}
\theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}}
\def\Im{{\rm Im}}
\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}
\def\resp{(resp. $\C$) }

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\rg{{\rm rang}}



\begin{document}













\def\ra{\longrightarrow}

\bigskip

\begin{center}
{\bf {\huge
 G\'en\'eralit\'es sur les ensembles et les relations d'\'equivalence et d'ordre}}
\end{center}
\vskip 2cm








\begin{section}{G\'n\'eralit\'es, equipotence}

Notion d'ensemble, sous-ensemble, ensemble produit, ensemble des
parties. Inclusion, intersection.





Partition d'un ensemble.

Applications, injectives, surjectives, bijectives.

Composition d'applications, $ f \circ g$ injective implique $g$
injective, $ f \circ g$ surjective implique $f$ surjective.


Une application d'un ensemble fini dans lui m\^eme est bijective si et seulement si elle est injective ou surjective.

Image d'une partie, image inverse. Comportement aux unions et
intersections.






\begin{itemize}
\item Ensembles \'equipotents. \item ensemble d\'enombrables \item
$\Z$, $\Q$ sont d\'enombrables. \item Le produit de deux ensembles
d\'enombrables est d\'enombrable. 

\item Un sous-enesemble infini d'un ensemble d\'enombrable est d\'enombrable.

\item $E$ n'est jamais
\'equipotent \`a $\mathcal{P}(E)$.   \item $\R$ n'est pas d\'enombrable.
\end{itemize}




\end{section}

\begin{section}{Relation d'\'equivalence}

D\'efinition (sous-ensemble de $E \times E$ ou relation binaire)
\begin{itemize}
\item Classes d'\'equivalence. \item Partition par les classes
d'\'equivalence.
\end{itemize}

Exemple : Classes de congruences modulo $k$. partition de $\Z$


\end{section}

\begin{section} {Relations d'ordre}

D\'efinition. Ordre partiel ou total.
\begin{itemize}
\item Le cas de $\R$. \item le cas de $\N$ et la divisiblit\'e.
\item $\mathcal{P}(E)$ et l'inclusion. \item L'ordre
lexichographique.
\end{itemize}







\end{section}

%\begin{section} {Coefficients binomiaux et formule de Newton}

%D\'efinition du coefficient binomial ${n \choose p}$.

%\begin{itemize}
%\item Formule $${n \choose p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$$

%\item La formule
%$$
%{n \choose p}={n-1 \choose p-1}+{n-1 \choose p}
%$$

%\item Le triangle de Pascal.

%\item La formule de Newton.

%\end{itemize}

%\end{section}


\end{document}
