\documentclass[french,12pt]{article}


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\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition}
\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
\def\exe{{\bf Exemples}}
\def\B{{\mathcal B}}
\theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}}
\def\Im{{\rm Im}}
\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}
\def\resp{(resp. $\C$) }

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\rg{{\rm rang}}
\def\ch{\mathrm ch}
\def\sh{\mathrm sh}



\begin{document}













\def\ra{\longrightarrow}

\bigskip

\begin{center}
{\bf {\huge
 Groupes, exemples et d\'efinitions, th\'eor\` eme de Lagrange}}
\end{center}
\vskip 2cm
















\begin{section}{D\'efinitions}

\begin{itemize}
\item Associativit\'e. \item El\'ement neutre. \item Oppos\'e ou
inverse. \item Commutativit\'e. $\times$.
\end{itemize}

D\'efinition d'un groupe.

Sous-groupes.

Exemples :

\begin{itemize}
\item $(n)=n\Z$,   $\R \subset \C$  \item $\R^{n-1 }\subset \R^n$
\item $S^1 \subset \C^*$. \item Matrices orthogonales dans les
matrices  inversibles. \item Translations du plan. \item Rotations
du plan.
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item $\Z$, $\Q$, $\R$ \item $\Z/n\Z$ \item $\R^n$ \item
$\{+1,-1\}$. \item Nombres complexes non nuls avec la loi
$\times$. 
\item $S^1$ : nombres complexes de module $1$ avec la loi
$\times$. 
\item Matrices inversibles.

\end{itemize}

\end{section}

\begin{section}{Homorphismes}

Homomorphismes (endomorphisme, isomorphisme, automorphisme)

Exemples :

\begin{itemize}
\item  $\Z/m\Z \ra \Z/mn\Z $  \item  $\Z/mn\Z \ra \Z/m\Z $ 
\item $t \mapsto e^t$ de $\R$ dans $\R^{*+}$.
\item $t \mapsto e^{2\pi it}$ de $\R$ dans $S^1$.
\item
${\rm det}:{\rm GL}(n,\R) \ra \R^*$ \item ${\rm det}:{\rm
GL}(n,\C) \ra \C^* $ \item $\{+1,-1\}$ et $\Z/2\Z$.
\end{itemize}

Noyau et image d'un homorphisme.

Sous-groupe distingu\'e ou normal.




\end{section}

\begin{section} {Relation d'\'equivalence modulo un sous-groupe}


$G$ un groupe $H$ un sous-groupe.

D\'efinition $x\mathcal{R}y \Leftrightarrow x^{-1}y \in H$

Classes d'\'equivalence $xH=\{xh \,| \, h \in H \}$,  les classes d'\'equivalence ont le
m\^eme nombre d'\'el\'ements : le cardinal de $H$.

\vskip 1cm

Th\'eor\`eme de Lagrange : l'ordre (c'est-\` a-dire le cardinal) d'un sous-groupe divise l'ordre (c'est-\` a-dire le cardinal) du groupe.


\vskip 1cm

On peut aussi introduire la relation d'\'equivalence $x\mathcal{R}y \Leftrightarrow xy^{-1} \in H$. Les classes sont alors les sous-ensembles 
$Hx=\{hx \,| \, h \in H \}$. 

Proposition : Un sous-groupe $H$ est distingu\'e si et seulement si les classes \` a gauche $xH$ coincident aux classes \` a droite $Hx$.










\end{section}

\begin{section} {Ordre d'un \'el\'ement}
D\'efinition. ${\rm ord}(x)$.
\begin{itemize}
\item Sous-groupe engendr\'e par un \'el\'ement $x$ : $<x>$.
Cardinal de $<x>$. \item $$ <x> \cong \Z/{\rm ord}(x)\Z
$$

\item L'ordre d'un \'el\'ement divise le cardinal du groupe.


\item Groupes dont tous les \'el\'ements sont d'ordre $2$.
\end{itemize}

\end{section}
\begin{section}{Groupes particuliers et compl\'ements}
 Groupes \`a $p$ \'el\'ements $p$ premier.

 Groupes \`a $4$ \'el\'ements.

 Table d'un groupe.

 Groupe engendr\'e par une famille d'\'el\'ements. G\'en\'erateurs.
 \end{section}



\begin{section}{Exemples supppl\'ementaires}

\begin{itemize}
\item Montrer que les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont des
ismorphiosmes r\'eciproques de $\R^+$ sur $\R$. \item Montrer que
l'application $t \mapsto \exp (2\pi it)$ est un homomorphisme
surjectif de $\R$ sur $S^1$ (nombres complexes de module $1$),
quel est son noyau? \item Montrer que l'ensemble des matrices de
la forme
$$
\begin{pmatrix}1 & t \cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix}
$$
est un groupe isomorphe \`a $\R$. \item Montrer que l'ensemble des
matrices de la forme
$$
\begin{pmatrix}\cos (\theta) & \sin (\theta)  \cr- \sin (\theta)  & \cos (\theta) \cr \end{pmatrix}
$$
est un groupe isomorphe \`a $S^1$. \item Montrer que l'ensemble
des matrices de la forme
$$
\begin{pmatrix}\ch (t) & \sh (t)  \cr- \sh (t)  & \ch (t) \cr \end{pmatrix}
$$
est un groupe isomorphe \`a $\R$. \item Montrer que l'ensemble des
racines $n$-i\`emes de $1$ dans $\C^*$ est un sous-groupe
isomorphe \`a $\Z/n\Z$. \end{itemize}


\end{section}

\end{document}
