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\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
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\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
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\def\B{{\mathcal B}}
\theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}}
\def\Im{{\rm Im}}
\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}
\def\resp{(resp. $\C$) }

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\rg{{\rm rang}}



\begin{document}













\def\ra{\longrightarrow}

\bigskip

\begin{center}
{\bf {\huge
 Groupes quotients, sous-groupes distingu\'es}}
\end{center}
\vskip 2cm




\begin{section} {Sous-groupes distingu\'es}

D\'efinition d'un sous-groupe distigu\'e \`a partir du noyau d'un
homomorphisme (introduction du noyau et de l'image).

D\'efinition : $H$ est distingu\'e dans $G$ si pour tout $x \in G$ $xHx^{-1} \subset H$.


{\bf Exemples et r\'esultats}


\begin{itemize}

\item Cas des groupes ab\'eliens : tout sous-groupe est distingu\'e.

\item Le centre d'un groupe $Z(G)$.

\item un sousq-groupe $H$ est distingu\'e si et seulement si les classes \`a gauche $xH$  et \`a droite $Hx$ coincident.

\item Tout sous-groupe d'indice $2$ est distingu\'e.

\item Groupe simple (d\'efinition).


\item Automorphismes int\'erieurs et ext\'erieurs d'un groupe.

\end{itemize}

{\bf En seconde lecture}

\begin{itemize}

\item
 Quotient par le groupe d\'eriv\'e.

 \item Matrices triangul\` eres sup\'erieures.
\end{itemize}



\end{section}
\begin{section} {Groupes quotients}
L'ensemble des classes d'\'equivalence modulo un sous-groupe
distingu\'e a une structure de groupe qui fait de la projection
canonique un homomorphisme.

Le produit sur les classes est donn\'e par $xH*yH=xyH$.


D\'ecomposition canonique d'un homomorphisme.

Propri\'et\'e de factorisation des homomorphismes.

Soit $\phi \, : \, G \ra H$ un homomorphisme de noyau $K$. Alors il existe un unique homomorphisme injectif $\tilde \phi \, : \, G/K \ra H$
tel que $\tilde \phi \circ p =\phi$. Si $\phi $ est surjectif $\tilde \phi$ est un isomorphisme.

{\bf En seconde lecture}






\end{section}



\begin{section}{Exemples}
\begin{itemize}
\item


Le groupe $\mathcal{S}_3$. Le groupe du triangle \'equilat\'eral.


\item Les matrices inversibles de d\'eterminant $1$.


\item Le groupe des transformations affines $Y=AX+B$.
\end{itemize}


On profite de cette section pour introduire les groupes
sym\'etriques et calculer leur cardinal.

\end{section}

\begin{section}{Groupes \`a $6$ \'el\'ements et \`a $8$ \'el\'ements}

Le groupe di\'edral, le groupe quaternionien.

D\'efinitions. Centre, ordre des \'el\'ements, sous-groupes etc
\`a faire en d\'etails en cours et \`a refaire en TD.

Di\'edral : $\{1,\rho,\rho^2,\rho^3,s,s\rho,s\rho^2,s\rho^3\}$,
$s\rho s=\rho^3$. Centre $\Z/2\Z$ engendr\'e par $\rho^2$.
Quotient $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$. Elts d'ordre $4$ $\rho, \rho^3$.

Groupe du carr\'e.

Quaternionien $\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$. Centre $\Z/2\Z$
engendr\'e par $-1$. Quotient $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$. Elts d'ordre
$4$ $i,-i,j,-j,k,-k$.

Chercher les sous-groupes.
\end{section}






\end{document}