\documentclass[french,12pt]{article}


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\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition}
\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
\def\exe{{\bf Exemples}}
\def\B{{\mathcal B}}
\theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}}
\def\Im{{\rm Im}}
\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}
\def\resp{(resp. $\C$) }

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\rg{{\rm rang}}



\begin{document}













\def\ra{\longrightarrow}

\bigskip

\begin{center}
{\bf {\huge
 Actions de groupes}}
\end{center}
\vskip 2cm




\begin{section} {D\'efinitions}

D\'efinition.

Seconde d\'efinition.

\begin{itemize}
 \item Le groupe lin\'eaire sur l'espace vectoriel. \item Le
groupe orthogonal sur l'espace vectoriel. \item Action sur un
produit. \item Polyyn\^omes en plusieurs variables.

\end{itemize}


Orbites, d\'ecomposition en orbites.


Sous-groupe fixateur. Points fixes.

Application : le petit th\'eor\`eme de Fermat.


\end{section}




\begin{section}{Action par conjugaison d'un groupe sur lui m\^eme.}

\begin{itemize}
 \item D\'efinition  \item Classes de conjugaison La classe de conjugaison $Cl_G(x)$  de $x \in G$ est le sous-ensemble de $G$ constitu\'e par les \'el\'ements de $G$ de la forme
 $gxg{}-1$, $g \in G$ quelconque. On a 
 $$
 |Cl_G(x)|= \frac{|G|}{|C_G(x)|}
 $$
 o\` u $C_G(x)$ est le centralisateur de $x$ dans $G$, soit le sous-ensemble de $G$ constitu\'e par les \'el\'ements $g$ tels que $gx=xg$. C'est un sous-groupe de $G$.
 \item La formule des classes.
 
 $$
 |G| = |Z(G)| + \sum_i \frac{|G|}{|C_G(x_i)|}
 $$
 $x_i$ d\'ecrivant un syst\` eme de repr\'esentans des classes de conjugaison de $G$ non contenues dans le centre $Z(G)$.

\end{itemize}
Le cas de l'action du groupe lin\'eaire sur les matrices,
diagonalisation, jordanisation.

Le cas des matrices $(2,2)$.
\end{section}


\begin{section}{Applications aux $p$-groupes}

D\'efinition d'un $p$-groupe. Centre d'un $p$-groupe.

\end{section}


\begin{section}{Le th\'eor\`eme de Gauss.}

Tout groupe fini dont l'ordre est divisible par un nombre premier $p$ admet au moins un \'e\'elment d'ordre $p$.



Le premier et le second th\'eor\`eme de Sylow (en seconde lecture).


\end{section}




\end{document}
