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\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
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\def\Im{{\rm Im}}
\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}
\def\resp{(resp. $\C$) }

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
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\def\Z{\mathbb Z}
\def\rg{{\rm rang}}



\begin{document}













\def\ra{\longrightarrow}

\bigskip

\begin{center}
{\bf {\huge
 Groupes sym\'etriques}}
\end{center}
\vskip 2cm




\begin{section} {D\'efinitions}

D\'efinition du groupe sym\'etrique $\cal S_n$


\begin{itemize}
 \item $|{\cal S}_n|=n!$
 \item Le centre de ${\cal S}_n$ est trivial si $n>2$.

\end{itemize}

Grpoupe des pemutations d'un ensemble fini.

Etude des groupes ${\cal S}_3$ et${\cal S}_4$.

Définition d'une transposition, il y a $C^2_n$ transpositions dans ${\cal S}_n$. Les transpositions engendrent le groupe symétrique.


\end{section}




\begin{section}{Cycles et d\'ecomposition en cycles}

\begin{itemize}
 \item support d'une substitution,   \item transpositions et $k$-cycles,
 \item tous les $k$-cycles sont conjugu\'es, un $k$-cycle est d'ordre $k$,
 \item il y  a $(k-1)!C^k_n$ $k$-cycles,
 \item il y  a $3C^4_n$ produit de transpositions à supports disjoints,
 \item d\'ecomposition en cycles \`a supports disjoints, caract\'erisation des classes de conjugaison,
 \item le nombre de classes de conjugaison du groupe $\cal S_n$ est le nombre de partition de l'entier $n$.
 

\end{itemize}

\end{section}


\begin{section}{Signature d'une transposition et compl\'ements}

d\'efinition à partir du nombre d'inversions, c''est un homomorphisme de ${\cal S}_n$ dans $\{+1,-1\}$.

Groupe altern\'e ${\cal A}_n$.

Compl\'ements (sans d\'emonstration) : th\'eor\` eme de Galois et automorphismes des groupes sym\'etriques (on traitera les cas $n=3,4,5$ en exercice).



\end{section}





\end{document}