\documentclass[french,12pt]{article}


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\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
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\newtheorem{td}[thm]{Th\'eor\`eme et D\'efinition}
\def\exe{{\bf Exemples}}
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\theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}}
\def\Im{{\rm Im}}
\newtheorem{ex}[thm]{Exemple}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
\newtheorem{preuve}[thm]{Preuve}
\def\resp{(resp. $\C$) }

\numberwithin{equation}{section}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\C{\mathbb C}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\rg{{\rm rang}}



\begin{document}













\def\ra{\longrightarrow}

\bigskip

\begin{center}
{\bf {\Large
 Polyn\^omes, corps finis, exemples divers}}
\end{center}
\vskip 2cm

 


\begin{section} { Polyn\^omes, s\'eries formelles}

\begin{itemize}

\item Polyn\^omes sur un corps ou un anneau int\`egre, \'el\'ements inversibles, int\'egrit\'e, division euclidienne.

\item El\'ements irr\'eductibles dans un anneau, polyn\^omes irr\'eductibles : $X^2+1$, degr\'e $2$, $3$, $4$. Exemples divers.

\item Racines d'un polyn\^ome, th\'eor\` eme fondamental de l'alg\`ebre.
m S\'eries formelles, exemples. El\'ements inversibles, id\'eaux, composition, exemples suppl\'ementaires.

\end{itemize}





\end{section}

\begin{section}{Exemples de corps finis}

Exemples de corps finis en caract\'eristique $2$, $3$ et $5$. G\'en\'erateur du groupe multiplicatif.

Nombre d'\'el\'ements d'un corps de rupture d'un polyn\^ome irr\'eductible $P$ \`a coefficients dans un corps $k$ de caract\'eristique $p$ :

$$
|k[X]/(P)| \cong |k|^{deg(P)}
$$



\end{section}









\end{document}
