\documentclass[10pt,french]{article} \textwidth 465pt %\textheight 5pt \oddsidemargin 18pt \evensidemargin 18pt \usepackage{amssymb,amsmath,amsthm, amscd} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[all]{xy} \usepackage{amssymb} \usepackage{pstricks} \usepackage{amsmath} \usepackage{array} \usepackage{indentfirst} \usepackage{hyperref} \usepackage{graphicx} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amssymb} \usepackage{pstricks} \usepackage{amsmath} \usepackage{array} \usepackage{indentfirst} \usepackage{hyperref} \usepackage{graphicx} \newcommand{\e}{\epsilon} \newcommand{\F}{{\mathbb F}_2} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \def\M{{\mathbf M}} \def\Mc{{\mathcal M}} \newcommand{\m}{\mathrm{M}} \def\L{{\mathbf L}} \def\Sb{{\mathbf S}} \def\Sc{{\mathcal S}} \def\St{{\rm St}} \def\Hom{{\rm Hom}} \newcommand\End{{\rm End}} \newcommand{\Ext}{{\rm Ext}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\gl}{\mathrm{GL}} \newcommand{\im}{\mathrm{im}} \newcommand{\coker}{\mathrm{coker}} \newcommand{\map}{\mathrm{map}} \newcommand{\U}{\mathcal U} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand\ra{\rightarrow} \newcommand\K{{\mathcal K}} \newcommand\C{{\mathcal C}} \newcommand\J{{\mathcal J}} \newcommand\Sq{\mathrm{Sq}} \newcommand{\A}{\mathcal A} \newcommand{\diag}{\mathrm{diag}} \newcommand{\pis}{\pi} \newcommand{\reg}{\widetilde{reg}} \newcommand{\Abs}[1]{\vert #1 \vert} \newcommand{\lr}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand\Hb{\bar{H}} \newcommand\Ht{\widetilde{H}} \newcommand{\proofof}[1]{{\noindent \it D\'emonstration de #1 \quad}} \newcommand{\bqn}{\begin{eqnarray*}} \newcommand{\eqn}{\end{eqnarray*}} \def \fin{\hfill $\square$} \def \ker{\mathrm{Ker}} \def\a {\mathcal{A}_{2}} \def \d{\mathrm{d}} \def\k {\mathcal{K}} \def\n{\mathbb{N}} \def \s{\mathrm{s}} \def\u {\mathcal{U}} \def\nil {\mathcal{N} il} \def\unil {\u/\nil} \def\un {\mathcal{U}_n} \def\up {\mathcal{U}_p} \def \B{\mathrm{B}} \def \C{\mathrm{C}} \def \F{\mathrm{F}} \def \H{\mathrm{H}} \def \N{\mathrm{N}} \def \P{\mathrm{P}} \def \R{\mathrm{R}} \def \Z{\mathbb{Z}} \def \Hom{\mathrm{Hom}} \def\Soc{{\rm Soc}} \def\Fun{\rm{F}(1)} \def \wS{\widehat{\mathcal{S}}} \def\spro {\widehat{\mathcal{S}}} \def\sens {\mathcal{S}} \def\sfin {\mathcal{S}_f} \def\ensfin{\mathcal{E}} \def\enspro{\widehat{\mathcal{E}}} \def \lra {\longrightarrow} \def \hra {\hookrightarrow} \def \era {Twoheadrightarrow} \def \colim{\mathrm{colim}} \def \cS{\mathcal{S}} \def \E{\mathrm{E}} \def \hom{\mathrm{hom}} \def \hompt{\mathbf{hom}_{\mathrm{pt}}} \def \I{\mathcal{I}} \def \Im{\mathrm{Im}} \def \J{\mathcal{J}} \def \proo{\mathrm{pro-}} \def \pt{\mathrm{pt}} \def \r{\rule{0ex}{1.5ex}} \def \res{\mathrm{Res}^{\bullet}} \def \ce{\mathrm{S}^{1}} \def \Sim#1{Triangle[#1]} \def \Sk{\mathrm{Sk}} \def \Tor{\mathrm{Tor}} \def \Tot{\mathrm{Tot}} \def \n{\mathbb{N}} \def \cod{\mathrm{H}} \def \fp{\mathbb{F}_p} \def \NN{\mathbb{N}} \def \dright{\def \arraystretch{.2} \begin{array}{c} \rightarrow \\ \rightarrow \end{array}} \def \carre#1#2#3#4{\arraycolsep=.25em\begin{array}[t]{ccc} #1 & To & #2 \\ \downarrow & & \downarrow \\ #3 & To & #4 \end{array}} \def \barN{\bar{\mathbb{N}}} \def\U{\mathcal{U}} \def\hocolim {\mathrm{hocolim}} \def\hatY{\widehat{Y}} \def \underline#1{\underset{\widetilde{~}}{#1}} \def \zmoddeux {\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \def \rpinf {\mathbb{R}P^\infty} \def\mappt{\mathrm{map}_*} \def\Sq{\mathrm{Sq}} \def\rp {B\Z/p} \title{Applications depuis $K(\Z/p,2)$ et une conjecture de N. Kuhn} \author{G. Gaudens, L. Schwartz} \begin{document} \maketitle \begin{abstract} On d\'emontre une conjecture due \`a N. Kuhn concernant la cohomologie singuli\`ere \`a coefficients mod $p$ des espaces, comme module instable sur l'alg\`ebre de Steenrod. Notre d\'emonstration de ce r\'esultat, d\'ej\`a connu en caract\'eristique $2$, fait appel \`a une m\'ethode nouvelle qui fonctionne en toute caract\'eristique. De cette mani\`ere on r\'etablit un r\'esultat de \cite{S98} dont la preuve est incompl\`ete dans le cas d'un nombre premier impair. \end{abstract} \renewcommand{\abstract}{ \begin{center} {\bf Abstract} \end{center}} \begin{abstract}{\small We settle a conjecture due to N. Kuhn about the mod $p$ cohomology of spaces considered as unstable modules over the Steenrod algebra. This result is already known to hold in characteristic $2$. The method presented here is essentially new and works in all characteristics. In doing so we fix a gap in \cite{S98} concerning the odd prime case. } \end{abstract} \tableofcontents \oddsidemargin=-0.5cm \evensidemargin=-0.5cm \topmargin=-1.5cm \parindent=0pt \textheight=25 cm \textwidth=16 cm \newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section] \newtheorem{lem}[thm]{Lemme} \newtheorem{cor}[thm]{Corollaire} \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} \newtheorem{defi}[thm]{D\'efinition} \newtheorem{rmq}[thm]{Remarque} \def\exe{{\bf Exemples}} \def\B{{\mathcal B}} \theoremstyle{definition} \def\Ker{{\rm Ker}} \def\Im{{\rm Im}} \newtheorem{ex}[thm]{Exemple} \theoremstyle{remark} \newtheorem{rem}[thm]{Remarque} \newtheorem{preuve}[thm]{Preuve} \def\resp{(resp. $\C$) } \numberwithin{equation}{section} \def\R{\mathbb R} \def\N{\mathbb N} \def\F{{\mathbb F}_p} \def\U{\mathcal U} \def\Z{\mathbb Z} \def\rg{{\rm rang}} \def\A{{\mathcal A}_p} \def\NK{{\mathcal N \mathcal K}} \def\An{{\bf An.}} \def\I{{\bf Inv.}} \begin{section}{Introduction, la conjecture de Kuhn.} Soit $p$ un nombre premier. La cohomologie $H^* (X; \F)$ d'un espace $X$, que l'on notera $H^*X$, est naturellement un objet de la cat\'egorie $\U$ des modules instables sur l'alg\`ebre de Steenrod \cite{S94}. Cette cat\'egorie est munie, comme toute cat\'egorie ab\'elienne, d'une filtration naturelle, dite de Krull, par des sous-cat\'egories \'epaisses stables par colimites : $$ \U _0 \subset \U _1 \subset \U _2 \subset \ldots \subset \U $$ La sous-cat\'egorie $\U _0$ est exactement la sous-cat\'egorie pleine form\'ee des modules instables localement finis \cite{S94} obtenue comme colimite de modules finis. Autrement dit cette sous-cat\'egorie est obtenue \`a partir des objets simples de $\U$, les modules $\Sigma^n\F$, par extensions et colimites. Les termes suivants sont d\'efinis it\'erativement comme suit: $\U _n$ est `l'image inverse' dans $\U$ de la sous-cat\'egorie ab\'elienne $\mathcal C$ du quotient $\U/\U_{n-1}$ obtenue \`a partir des objets simples de $\U/\U_{n-1}$ par extensions et colimites. La cat\'egorie $\U$ \emph{n'est pas} la r\'eunion des $\U_n$. La filtration de Krull est caract\'eris\'ee par : \begin{thm}\label{krull}\cite{S94} \label{theorem:filtration:krull} {\it Soit $\bar T$ le foncteur de Lannes r\'eduit, adjoint \`a gauche du produit tensoriel par $\tilde H^*(B\Z/p)$. Un module instable $M$ est dans $\U_n$ si et seulement si $\bar T^{n+1} (M)=\{0\}$.} \end{thm} Un bref rappel de la th\'eorie de Lannes appara\^{\i}t en section \ref{cohomologie:des:espaces:d:applications:pointees}. Tout module instable $M$ est \'egalement muni de sa filtration nilpotente $\{M_s\}_{s\geq 0}$ qui est d\'ecroissante, s\'epar\'ee et naturelle, et dont les sous-quotients sont les suspensions it\'er\'ees de modules instables r\'eduits, plus pr\'ecis\'ement: $$ M_s/M_{s+1}= \Sigma ^s R_s M $$ o\`u $R_sM$ est r\'eduit (voir \cite{S94}). Cette filtration est celle correspondant \`a la filtration nilpotente de la cat\'egorie $\U$ \cite{S94}. C'est une filtration d\'ecroissante par des sous-cat\'egories ${\mathcal N}il_s$, $s \geq 0$, $$ \U = {\mathcal N}il_0 \supset {\mathcal N}il_1 \supset {\mathcal N}il_2 \supset \ldots \supset {\mathcal N}il_s \supset \ldots $$ ${\mathcal N}il_s$ est la plus petite sous-cat\'egorie \'epaisse, stable par colimite et contenant les suspensions $s$-i\`emes des modules instables. Un module instable dans ${\mathcal N}il_s$ est $(s-1)$-connexe. L'objet du pr\'esent article est de d\'emontrer le r\'esultat suivant, conjectur\'e par N. Kuhn. \begin{thm} \label{theoreme:principal} {\it Soit $X$ un espace. Si la cohomologie $H^* X$ est dans un cran fini de la filtration de Krull, alors $H^* X$ est localement finie. En d'autres termes, si $H^* X$ est dans $\U_n$ pour un certain $n$, alors $H^* X$ est dans $\U_0$.} \end{thm} Cet \'enonc\'e ne fait appara\^itre que la filtration de Krull; on verra cependant que la d\'emonstration en repose sur les rapports entre filtration de Krull et filtration nilpotente. Afin de donner du relief \`a ce r\'esultat, observons que la cat\'egorie $\U$ poss\`ede une infinit\'e d'objets qui sont dans un cran fini de la filtration de Krull et qui ne sont pas localement finis, par exemple les g\'en\'erateurs projectifs $F(n)$ et leurs suspensions \cite{S94}; et qu'\`a l'inverse, la cohomologie modulo $p$ d'un espace d'Eilenberg-Mac Lane $K(\Z/p , n)$ pour $n>0$, ainsi que la cohomologie modulo $p$ d'un groupe fini d'ordre divisible par $p$, sont des modules instables qui n'appartiennent \`a $\U _n$ pour aucun entier $n$. Ce r\'esultat \'etait d\'ej\`a connu pour $p=2$ \cite{S01, DG03}. Il corrige une erreur qui concerne le cas d'un nombre premier impair dans l'article \cite{S98} du second auteur. On reviendra plus loin sur ce point. L'approche pr\'esent\'ee ici est nouvelle et unifie le cas $p=2$ avec le cas o\`u $p$ est impair. Ce r\'esultat a le corollaire suivant (\'egalement conjectur\'e par Kuhn) : \begin{cor} \label{corollaire:theoreme:principal} {\it Soit $X$ un espace. Si la cohomologie $H^* X$ a une famille finie de g\'en\'erateurs comme module instable sur l'alg\`ebre de Steenrod, alors $H^* X$ est de dimension finie comme $\fp$-espace vectoriel.} \end{cor} Observons que ce r\'esultat est essentiellement instable: la cohomologie modulo $p$ d'un spectre d'Eilenberg-Mac Lane $H\Z/p$ est monog\`ene comme module instable sur l'alg\`ebre de Steenrod, mais n'est pas de dimension finie comme $\fp$-espace vectoriel. On d\'erive le Corollaire \ref{corollaire:theoreme:principal} du Th\'eor\`eme \ref{theoreme:principal} en observant que la cat\'egorie $\U$ poss\`ede un syst\`eme de g\'en\'erateurs projectifs, et que chacun d'entre eux est dans un cran fini de la filtration de Krull \cite{S94}. Il s'ensuit qu'un module instable finiment engendr\'e est dans un cran fini de la filtration de Krull, car celle-ci est une filtration croissante par des sous-cat\'egories \'epaisses. Suivant le Th\'eor\`eme \ref{theoreme:principal}, si la cohomologie $H^* X$ a un nombre fini de g\'en\'erateurs comme module instable, alors elle est localement finie. Mais un module instable finiment engendr\'e et localement fini doit \^etre de dimension finie comme $\fp$-espace vectoriel. \vskip 5mm L'article est organis\'e comme suit. Dans la fin de l'introduction on explique o\`u se situe l'erreur dans \cite{S98}. Dans la premi\`ere partie on rappelle bri\'evement \emph{la r\'eduction de Kuhn du probl\`eme}. On se donne un module instable $M$ satisfaisant aux hypoth\`eses requises, et \'etant en particulier la cohomologie d'un espace $X$; la cohomologie de $X$ est de plus supppos\'ee $s$-nilpotente (avec $s>0$) exactement -voir \cite{S01} pour cette terminologie. Puis on construit une application alg\'ebrique, r\'ealisable topologiquement par une application $\varphi$, de $\tilde H^*(\Omega \Sigma X)$ vers $\Sigma^s \tilde H^*B\Z/p$. On montre ensuite que l'application $\varphi$ ne peut s'\'etendre \`a $\Sigma^{s-1} K(\Z/p,2)$ le long de l'application naturelle $\Sigma^{s-1}\psi:\Sigma^{s} B\Z/p \to \Sigma^{s-1}K(\Z/p, 2)$, car l'action des op\'erations de Steenrod ne serait pas respect\'ee. Dans les deux parties finales on montre que les groupes d'obstruction \`a l'extension sont nuls, ce qui m\`ene \`a la contradiction. La derni\`ere construction est r\'eminiscente de celle de H. Miller \`a la fin de son article sur la conjecture de Sullivan \cite{Mil84}. \vskip 5mm Le corollaire est d\'ej\`a d\'emontr\'e pour $p=2$ via la non-r\'ealisabilit\'e comme cohomologie d'un espace topologique de certains modules instables finis dans \cite{S98} et \cite{K08}. Cette approche ne fonctionne en l'\'etat que pour $p=2$, il n'est pas imm\'ediatement clair comment appliquer les techniques ci-dessous aux complexes finis bien quelques faits sugg\`erent que des adaptations puissent \^etre trouv\'ees. La preuve donn\'ee pour le cas o\`u $p$ impair dans \cite[Section 3]{S98} contient une erreur. L'approche de \cite{K08} ne traite que le cas $p=2$ et pr\'esenterait une difficult\'e analogue \`a celle de \cite{S98} pour $p$ impair d'apr\`es M. Stelzer. L'objet du pr\'esent article est donc \'egalement de montrer comment \'eviter le probl\`eme rencontr\'e dans \cite{S98}. Expliquons maintenant pourquoi la m\'ethode utilis\'ee pour le cas $p=2$ ne peut l'\^etre pour $p$ impair sans modification. L'analogue (impair) des classes consid\'er\'ees pour traiter du cas $p=2$ se trouvent sur la colonne $-p$ de la suite spectrale d'Eilenberg-Moore et peuvent donc supporter une diff\'erentielle $d_{p-1}$ non triviale, pour $p=2$ il n'y a \'evidement pas de diff\'erentielle! En fait on a la formule (voir \cite{Sm}) $$ d_{p-1}(x \otimes \ldots \otimes x)= \lambda \beta P^k(x) $$ avec $k=\frac{\vert x \vert-1}{ 2}$. Si l'homomorphisme de Bockstein est trivial dans le module instable consid\'er\'e la m\'ethode fonctionne comme pour $p=2$ et redonne le r\'esultat de \cite{K95} sans faire appel au th\'eor\`eme sur l'invariant de Hopf ou \`a d'autres r\'esultats profonds de th\'eorie de l'homotopie. En fait ceci \'etend m\^eme le th\'eor\`eme de Kuhn de \cite{K95} qui montre que pour qu'un module (ou une alg\`ebre instable) du type consid\'er\'e soit (\'eventuellement) r\'ealisable il faut que des homomorphismes de Bockstein soient non triviaux entre deux \'etages de la filtration nilpotente du module consid\'er\'e, la m\'ethode ci-dessus montre que ce doit \^etre le cas entre les deux premiers \'etages non triviaux. Par contre la m\'ethode propos\'ee dans \cite{S98} pour `\'eliminer' le Bockstein : prendre le plan projectif sur l'espace des lacets est inexacte, et \'echoue sans argument suppl\'ementaire. Il reste qu'en examinant de plus pr\`es des cas particuliers on voit rapidement appara\^itre des contradictions qui forcent la nullit\'e de l'homomorphisme de Bockstein et permettent donc de se ramener au cas pr\'ec\'edent. A titre d'exemple consid\'erons le cas o\`u l'alg\`ebre instable initialement consid\'er\'ee a un quotient non-trivial dans ${\mathcal N}il_1$ et que tous les produits sont nuls. Cette derni\`ere condition est facile \`a assurer en remplacant l'espace suppos\'e exister par un quotient. Soit $x$ la classe consid\'er\'ee plus haut, de degr\'e $2k+1$ et $y=P^kx$, $k=p^h$ pour un certain $h$. Si l'homomorphisme de Bockstein est non trivial sur $x$ il l'est sur $y$ car le module instable consid\'er\'e est de la forme $A \otimes \Phi^{h+1} F(1)$ (voir \cite{S98}). Rappelons que $F(1)$ est le module instable librement engendr\'e en degr\'e $1$, qui s'identifie au module des primitifs de la coalg\`ebre $H^* B\Z/p$. L'\'el\'ement $y ^{\otimes p-1} \otimes x$ existe sur la colonne $-p$ du terme $E_2$ de la suite spectrale et ne peut \^etre tu\'e par une diff\'erentielle $d_i$, $i \leq p-1$ pour des raisons de degr\'es, quitte encore une fois \`a prendre un quotient de l'espace initial. Toutes les diff\'erentielles sont nulles sur cet \'el\'ement (en particulier il n'y a pas de place pour des produits de Massey non triviaux, voir \cite{Cleary85}, chapitres 7 et 8). On a, comme plus haut, $$ d_{p-1}(y \otimes \ldots \otimes y)= \lambda \beta P^{pk}(y) $$ et donc : $$ 0=P^kd_{p-1}( y \otimes \ldots \otimes y \otimes x)=d_{p-1}P^k( y \otimes \ldots \otimes y \otimes x)= \lambda \beta P^{pk}(y) \not = 0 $$ On a donc une contradiction si $\lambda \not =0$. Cependant, pour \'etablir le r\'esultat en toute g\'en\'eralit\'e, il convient de proc\'eder autrement, comme il va d\'ecrit ci-dessous. \vskip 4mm On fixe dans la suite un nombre premier $p$ et on suppose que les espaces sont $p$-complets. Ceci n'entra\^ine pas de perte de g\'en\'eralit\'e. On supposera aussi que l'homologie modulo $p$ des espaces consid\'er\'es est de dimension finie en chaque degr\'e et que cette propri\'et\'e persiste si on applique le foncteur $T$ de Lannes. On montrera dans une derni\`ere section comment s'affranchir de cette condition en utilisant la th\'eorie des espaces profinis suivant \cite{DG03}. \vskip 4mm {\bf Remerciments.} Le premier auteur remercie le Mathematisches Institut de l'universit\'e de Bonn ou ce travail a est arriv\'e \`a maturation, ainsi que le Max-Planck Institut f\"ur Mathematik o\`u il a \'et\'e achev\'e. Une version l\'eg\'erement simplifi\'ee et traduite en anglais appara\^{i}t dans l'Habilitationsschift du premier auteur. Des discussions avec les auteurs de \cite{CCS07} ont \'et\'e importantes. \end{section} \section{Construction d'applications et th\'eorie d'obstruction} \label{constr:obstr} On revient dans cette section sur la strat\'egie de d\'emonstration du th\'eor\`eme. On \'etablit le r\'esultat par l'absurde: on suppose qu'il existe un espace dont la cohomologie n'est pas localement finie mais appartient \`a un cran fini de la filtration de Krull $\U_n$ avec $n>0$. Dans \cite{K95} Kuhn montre que l'on peut se ramener au cas o\`u $n=1$. On suppose donc donn\'e un espace dont la cohomologie est dans $\U_1$, mais pas dans $\U_0$. On montre alors qu'il existe une application de cet espace (ou d'un espace d\'eduit de cet espace) vers une suspension de l'espace d'Eilenberg-MacLane $K(\Z/p,2)$ telle que l'application induite en cohomologie ne commute pas aux op\'erations de Steenrod. On ne rappelle pas ici en d\'etail comment se ramener \`a supposer que le module instable est dans $\U_1$, ceci est fait dans \cite{K95} et repris dans les articles suivants. Simplement pour montrer la filiation de la construction ci-dessous avec celle de Kuhn observons que son outil central est l'application du th\'eor\`eme de Lannes sur la cohomologie des espaces fonctionnels de source $B\Z/p$ \`a la cofibre de $X \ra \map(B\Z/p,X)$, dont la cohomologie est donn\'ee par $\bar T(H^*X)$ sous des hypoth\`eses favorables. On commence par montrer comment construire des applications r\'ealisant certaines fl\`eches alg\'ebriques. \subsection{Application alg\'ebrique} Soit $X_s$ un espace $s$-connexe dont la cohomologie r\'eduite est exactement $s$-nilpotente avec $s>0$ et non localement finie (voir \cite{S01} pour cette terminologie). On suppose de plus que $R_s H^*X_s$ est dans $\U_1$. Un module instable r\'eduit dans $\U_1$ est la somme d'un module concentr\'e en degr\'e $0$ et d'un sous-module non trivial d'une somme directe $\oplus _{\lambda \in \Lambda} F(1)$ \cite{S98}. En s\'electionnant un $\lambda_0$ dans l'ensemble d'indices $\Lambda$ de la somme on a une application alg\'ebrique non triviale $$ \varphi^*_s: H^* X_s \to \Sigma ^s R_s H^* X_s \to \Sigma ^s F(1) \subset \Sigma^s \tilde H^* B\Z/p~. $$ Cette application est d'alg\`ebres instables (avec un petit abus de terminologie car il faudrait rajouter une unit\'e \`a droite). Il suffit de montrer qu'elle factorise par les ind\'ecomposables de l'alg\`ebre. Mais les propri\'et\'es de multiplicativit\'e de la filtration nilpotente montrent que c'est le cas. Dans la sous-section qui suit, on montre que l'application $\varphi_s^* $ est induite par une application d'espaces : \begin{lem}Il existe une application $\varphi_s : \Sigma ^s B\Z/p \to X_s $ induisant l'application $\varphi_s^*$ en cohomologie modulo $p$. \end{lem} \subsection{Construction de l'application $\varphi_s$} \label{construction} Nous donnons deux solutions pour l'existence d'une telle application, voici la premi\`ere. On suppose donc $R_s H^* X_s $ est dans $\U_1$, avec $H^* X_s$ exactement $s$-nilpotent. Posons $X_t =\Omega^{s-t}X_s$. D'apr\`es \cite[Th\'eor\`emes 1.5 et 1.6]{S01} l'espace $ \Omega^{s-1} X_s$ poss\`ede une cohomologie r\'eduite exactement $1$-nilpotente, et l'application naturelle $R_s H^* X_s \ra R_1 H^* X_1 $ a un noyau et un conoyau nilpotent. Ce `F-isomorphisme' selon la terminologie de \cite{S01} est induit par l'\'evaluation $$ \Sigma^{s-1}\Omega^{s-1} X_s = \Sigma^{s-1} X_1 \to X_s ~. $$ De $\varphi_s^*$ on d\'eduit alors $\varphi_1^*$, $$ \varphi^*_1: H^* X_1 \to \Sigma ^1 R_1 H^* X_1 \to \Sigma F(1) \subset H^* \Sigma B\Z/p~. $$ Ceci ram\`ene au cas o\`u on veut construire $$ \varphi_1 : \Sigma B\Z/p \to X_1= \Omega ^{s-1} X_s~, $$ car si on y parvient, l'application adjointe $$ \varphi_s : \Sigma^s B\Z/p \to X_s $$ jouit des propri\'et\'es d\'esir\'ees. Rappelons maintenant que $H^*\Sigma B\Z/p $ est $\U$-injectif. Il s'ensuit que le morphisme de Hurewicz $$ \map (\Sigma B\Z/p , X) \to \hom _{\mathcal{K}} (H^* X , H^* \Sigma B\Z/p) $$ est surjectif \cite{LS89, GL87}. Ici $\mathcal{K}$ d\'esigne la cat\'egorie des alg\`ebres instables \cite{S94}. Ceci assure l'existence d'une application $\varphi_1$, une fois observ\'e que $\varphi_1^*$ est un morphisme dans $\mathcal{K}$. \vskip 2mm Que l'application alg\'ebrique $\varphi_s^*$ soit r\'ealisable topologiquement r\'esulte \'egalement de l'argument ci-dessous. On suppose que $X_s$ est un $H$-espace et que l'on peut calculer la cohomologie de $\map _*(B\Z/p,X_s)$ comme il est indiqu\'e en section 3. En particulier la cohomologie de cet espace est exactement $(s-1)$-connexe. On peut choisir une classe dans le $s$-i\`eme groupe d'homologie et la repr\'esenter par une application de $S^s$ dans $\map_*(B\Z/p, X_s)$. On consid\`ere l'application adjointe $S^s \times B\Z/p \ra X_s$. Elle est triviale sur $S^s \times *$, car c'est l'adjointe d'une application \`a valeurs dans l'espace des applications point\'ees. %<<,rn-Elle est homotopiquement triviale sur $S^s \times *$ car on peut supposer sans restriction que $X_s$ est au moins $2s$-connexe. Par le th\'eor\`eme de Lannes sur les applications de source $B\Z/p$ \cite{La92}, puisque $\tilde H^*X_s$ est nilpotente, elle est homotopiquement triviale sur $* \times B\Z/p$. On r\'ecup\`ere donc une application $\Sigma^s B\Z/p= S^s \wedge B\Z/p \ra X_s$ qui a l'action prescrite en cohomologie. \subsection{Impossibilit\'e d'\'etendre $\varphi_s$ et cons\'equences} \begin{lem}L'application $\varphi_s: \Sigma^s B\Z/p \to X_s$ ne s'\'etend pas en une application $\Sigma ^{s-1}K(\Z/p, 2) \to X_s$ le long de l'application $\Sigma^{s-1}\psi: \Sigma^s B\Z/p \to \Sigma^{s-1} K(\Z/p, 2)$. \end{lem} En effet, l'existence d'une telle extension permettrait de factoriser le morphisme de modules instables non trivial $\varphi_s^* :\tilde H^*X_s \ra \Sigma \tilde H^*B\Z/p$ au travers de $ \tilde H^* \Sigma ^{s-1} K(\Z/p, 2) $ ce qui est impossible, car il n'y a pas d'applications non triviales d'une suspension $s$-i\`eme (et donc d'un module instable $s$-nilpotent) vers la suspension $(s-1)$-i\`eme d'un module r\'eduit. \vskip 2mm L'espace $K(\Z/p,2)$ se reconstruit \`a partir $B\Z/p$ \`a l'aide de la construction de Milnor. On a une filtration $* =C_0 \subset C_1= \Sigma B\Z/p \subset C_2 \subset \ldots \subset \cup_n C_n=K(\Z/p,2)$, et un diagramme o\`u les fl\`eches de la ligne sup\'erieure sont homotopiquement triviales (et $B$ d\'esigne $B\Z/p$) : \begin{equation*} \begin{CD} \cdots@>{}>> B^{*n} @>{}>>B^{*n+1}@>{}>>\cdots\\ @VVV @VVV @VVV @ VVV \\ \cdots@>{}>> C_{n} @>{}>>C_{n+1} @> >> \cdots\\ \end{CD} \end{equation*} d'o\`u on d\'eduit des cofibrations \`a homotopie pr\`es : $$ \Sigma^{n-1}B^{\wedge n} \ra C_n \ra C_{n+1} \ra \Sigma^n B^{\wedge n} $$ Puisque l'application consid\'er\'ee plus haut ne peut s'\'etendre \`a $\Sigma^{s-1} K(\Z/p, 2)$ on a n\'ecessairement : \begin{lem} Il existe un entier $n\geq 2$ tel que le groupe $[\Sigma ^{n+s-2} (B\Z/p)^{\wedge n}, X_s]$ est non trivial. \end{lem} On a $[\Sigma ^{n+s-2} (B\Z/p)^{\wedge n}, X_s]= \pi_{n+s-2} \map_* ( B\Z/p^{\wedge n}, X_s)$. \begin{lem} \label{lemme:non:trivial} Il existe un entier $n\geq 2$ tel que $H^{*} \map_* ( B\Z/p^{\wedge n}, X_s)$ n'est pas $(n+s-2)$-connexe. \end{lem} \begin{section}{Cohomologie des espaces d'applications point\'ees} \label{cohomologie:des:espaces:d:applications:pointees} La r\'ef\'erence pour le foncteur $T$ et ses propi\'et\'e est evidemment \cite{La92}. Soit $H$ la cohomologie modulo $p$ de l'espace classifiant $B\Z/p$, et soit $\bar H$ sa cohomologie r\'eduite. Les endofoncteurs de la categorie $\U$ $$ M\mapsto M \otimes H; ~~~~ M \mapsto M \otimes \bar H $$ poss\`edent des adjoints \`a gauche respectifs $T$ et $\bar T$. Les foncteurs $T$ et $\bar T$ sont tous deux exacts. De plus $T$ commute aux produits tensoriels dans le sens o\`u l'application naturelle $$T (M_1)\otimes T (M_2)\to T (M_1\otimes M_2)$$ donn\'ee formellement par les propri\'et\'es d'adjonction, est un isomorphisme pour tous $M_1$ et $M_2$. Le scindement naturel $H\cong \F \oplus \bar H$ dans la cat\'egorie $\U$ conduit \`a un scindement naturel $$ TM \cong \bar T M \oplus M . $$ Supposons que l'espace $X$ est $p$-complet, $1$-connexe et que $TH^*X$ est de dimension finie en chaque degr\'e. Alors, \cite{La92}, l'application naturelle : $$ T H^*X \to H^* \map (B\Z/p,X) $$ adjointe de l'application induite en cohomologie par l'\'evaluation $B\Z/p \times \map (B\Z/p, X) \to X$, est un isomorphisme d'alg\`ebres instables. De plus le facteur $\bar T H^* \subset T H^* X$ identifie $\bar T H^* X$ avec la cohomologie r\'eduite de $\Delta X$, la cofibre homotopique de l'application naturelle $X\subset \map (B\Z/p, X)$ donn\'ee par les applications constantes. Soit $X$ un H-espace, typiquement un espace de lacets. On a alors un scindement $$ \map (B\Z/p, X)\cong \map _* (B\Z/p, X) \times X. $$ Suivant \cite{CCS07} on en d\'eduit: \begin{lem}\label{indec}{\it $Q H^* \map _* (B\Z/p^{\wedge n}, X )= \bar{T}^n QH^* X$.} \end{lem} La connexit\'e de l'id\'eal d'augmentation d'une alg\`ebre connexe co\"{\i}ncide avec celle de ses ind\'ecomposables. En particulier, on obtient: \begin{prop}\label{nc} Supposons que l'espace $X_s$ consid\'er\'e en Section \ref{constr:obstr} soit de plus un H-espace. Alors il existe un $n$ tel que $QH^{*} \map_* ( B\Z/p ^{\wedge n+1}, X_s)= \bar T ^ {n+1} Q H^* X_s $ ne soit pas $(n+s-2)$-connexe. \end{prop} On va montrer que dans le cas consid\'er\'e ceci n'a pas lieu, ce qui ach\`evera la d\'emonstration. \begin{rmq} En g\'en\'eral on ne sait pas calculer la cohomologie de l'espace des applications point\'ees. Il se trouve que sous les hypoth\`eses sur le module $A$ est de la forme $\Phi^k F(1) \otimes F$, $F$ fini, et que l'on consid\`ere (s'il en existe) un espace $p$-complet $X$ tel que $\tilde H^*X \cong A$ on peut calculer $H^* \map _*(B\Z/p,X)$ comme module instable. On commence par supposer que les conditions d'application du th\'eor\`eme de Lannes sont satisfaites (et que l'entier $k$ est grand relativement \`a $F$). Notons $Y$ la cofibre de l'application $X \ra \map (B\Z/p,X)$. On montre alors que $\map (B\Z/p,X)$ est, \`a $p$-compl\'etion pr\`es, homotopiquement \'equivalent au bouquet $X \vee Y$. Il r\'esulte alors, par exemple, de \cite{Strom03} que la suspension de l'espace d'applications point\'ees est homotopiquement \'equivalent \`a $\Sigma Y \vee (\Sigma Y \wedge \Omega X)$. On n'\'echappe pas donc \`a calculer la cohomologie de $\Omega X$ (de laquelle on tirera la contradiction). Il vaut donc mieux consid\'erer la d'embl\'ee comme il est fait ci-dessous le cas de l'espace des fonctions dans un espace de lacets. \end{rmq} \end{section} \begin{section}{Conjecture de Kuhn} \subsection{R\'eduction du probl\`eme} Supposons donn\'e un espace $Z$ tel que $H^* Z$ n'est pas localement finie, mais appartienne \`a un cran fini $\U _n$ de la filtration de Krull. Le module $R_0 \tilde H^* Z$ est n\'ecessairement trivial, car dans le cas contraire, l'existence d'une classe non-r\'eduite contredit le fait que $H^* Z$ est de filtration de Krull finie. Ce point est amplement document\'e dans les articles pr\'ec\'edents sur le sujet, ou simplement dans \cite{S94}; cela suit egalement de \cite{DG03}. En utilisant les r\'eductions donn\'ees dans \cite{K95, DG03}, on obtient qu'il existe un espace connexe $Z'$ dont la cohomologie r\'eduite est exactement $s$-nilpotente avec $s>0$, dans $\U_1$ et non localement finie. De plus on peut supposer la cohomologie de $Z'$ est $2s$-connexe et donc $R_s H^*Z'$ est non trivial dans $\U_1$. On pose alors $X_s:= \Omega \Sigma Z'$. \subsection{Connexit\'e de $\bar T^{n+1}H^* X_s$ et contradiction} La structure de $H^* X_s$ comme module instable, en fonction de $H^* X$ est tr\`es classique et donn\'ee par le th\'eor\`eme de Bott-Samelson (voir \cite{GW}) : \begin{thm} Soit $K:= H^* X_s$, c'est une alg\`ebre de Hopf. Elle est isomorphe \`a l'alg\`ebre tensorielle $\mathbb{T}H^* Z'$ \begin{itemize} \item comme $\fp$-espace vectoriel, \item comme module instable, \item la diagonale est la d\'econcat\'enation, un gradu\'e du produit est donn\'e par le produit de battage. \end{itemize} \end{thm} Rappelons que $\tilde H^*X_s$, que l'on notera $ \tilde K$, est suppos\'ee $s$-nilpotente. L'alg\`ebre de cohomologie est le produit tensoriel d'alg\`ebres ext\'erieures et d'alg\`ebres polynomiales tronqu\'ees \`a hauteur $p$, nous n'en aurons pas besoin, mais seulement de la description comme module instable. Pour une telle alg\`ebre instable on va montrer que: \begin{lem}\label{alg}{\it Pour tout $n\geq 1$, $\bar T^{n+1} QK$ est $((n+1)s-1)$-connexe}. \end{lem} Pour $s>0$, l'in\'egalit\'e $(n+1)s-1\geq n+s-1$ produit une contradiction entre la Proposition \ref{nc} et le Lemme \ref{alg}, ce qui \'etablit le th\'eor\`eme. Il reste donc \`a d\'emontrer le Lemme \ref{alg} . On consid\`ere la sous-alg\`ebre $K_h$ de $K $ engendr\'ee par le sous-module $M_h$ des tenseurs de longueur non-nulle inf\'erieure ou \'egale \`a $h$. On a donc par construction pour $h\geq 1$ un \'epimorphisme $$ M_h \to QK_h $$ Comme $M_h$ est dans $\U_h$, il en est de m\^eme pour $QK_h$, de sorte que $\bar T^{h+1}QK_h=0$. On a ${\mathrm{colim}_h } \, Q K_h = QK$, et comme $\bar T$ commute aux colimites, on a $$ \bar T ^{n+1} Q K \cong \bar T ^{n+1}Q (\colim_h K_h)\cong \colim_h (\bar T^{n+1} Q K_h) \cong \bar T^{n+1} \colim_{h>n} QK_h $$ On a un diagramme commutatif $$ \xymatrix{ M_h \ar[r]\ar[d]& M_{h+1} \ar[r]\ar[d]& M_{h+1}/M_h \ar[d]\ar[r]&\{0\}\\ QK_h \ar[r] & Q K_{h+1} \ar[r]& Q (K_{h+1}/(\bar K_h.{K}_{h+1})) \ar[r]&\{0\}} $$ dont les fl\`eches verticales sont des \'epimorphismes, et dont les suites horizontales sont exactes, et ce pour tout $h\geq 1$. En appliquant le foncteur exact $\bar T^{n+1}$ \`a suite exacte horizontale inf\'erieure du diagramme pour $h=n$, on voit que $$ \bar T^{n+1} Q K_{ n+1} \cong \bar T^{n+1} Q (K_{n+1}/(\bar{K}_n.K_{n+1}))~. $$ $ M_{n+1}/M_ n$ s'identifie comme module instable avec $(\tilde H^* X )^{\otimes n+1}$- qui est $(n+1)s$-nilpotent, donc $((n+1)s-1)$-connexe. Il suit que $\bar T^{n+1} Q K_{ n+1}$ est $((n+1)s-1)$-connexe. Ensuite pour $h\geq n+1$, en utilisant la suite exacte $$ \bar T^{n+1} QK_h \to \bar T^{n+1} Q K_{h+1} \to \bar T^{n+1} Q (K_{h+1}/(\bar K_h.{K}_{h+1})) \ra \{0\} $$ et le fait que $\bar T^{n+1}Q (K_{h+1}/(\bar K_h.K_{h+1}))$ est un quotient de $\bar T^{n+1}(\tilde H^* Z' )^{\otimes h+1}$- qui est $((h+1)s-1)$, connexe on voit que $\bar T^{n+1}QK_{h+1}$ est $((n+1)s-1)$-connexe si $\bar T^{n+1}QK_h$ l'est. Par r\'ecurrence sur $h\geq n+1$ et passage \`a la colimite, on en d\'eduit que $ \bar T^{n+1} QK_h$ est $((n+1)s-1)$-connexe, comme annonc\'e. Pour $s>0$, l'in\'egalit\'e $(n+1)s-1\geq n+s-1$ produit une contradiction entre la Proposition \ref{nc} et le lemme \ref{alg}, ce qui \'etablit le th\'eor\`eme. \end{section} %\begin{section}{Taille des indecomposables} %Soit $X$ un espace dont la cohomologie r\'eduite est nilpotente, non-localement finie. La conjecture de r\'ealisation forte non-born\'ee de N. Kuhn \cite[Unbounded strong realization conjecture]{K95} pr\'edit comme cons\'equence que le module $QH^* X$ n'est dans aucun cran fini de la filtration de Krull, ce qui est plus pr\'ecis que le Th\'eor\`eme %\ref{corollaire:theoreme:principal}. Dans le cas o\`u $X$ est un H-espace tel que $H^* $ est de dimension finie en chaque degr\'es, les m\'ethodes de cet article conduisent facilement \`a ce r\'esultat, qui peut \^etre consid\'er\'e dans une certaine mesure comme une version faible de la conjecture de r\'ealisation forte non-born\'ee, car \cite{S98} montre qu'il suffit d'\'etablir la conjecture pour les espaces de lacets, qui sont des H-espaces. En effet, supposons que la cohomologie r\'eduite de $X$ est nilpotente et non-localement finie, mais est dans un cran fini de la filtration de Krull. La formule $\bar T H^* X \cong H^* \mappt (B\Z/p , X)$ montre qu'on peut supposer que que $H^*X$ est dans le premier cran $\U _1$ de la filtration de Krull. Supposons que $H^* X$ est $s$-nilpotente exactement. On construit alors une application $\varphi_s$ comme dans la Section \ref{construction}. Cette fois-ci %Les groupes d'obstruction $[B\Z/p^{\wedge n}, X_s]$ sont \emph{nuls}, car $\bar T^n H^* X=0$ pour $n\geq 2$. %On obtient \`a nouveau une contradiction. L'hypoth\`ese de finitude ne peut dans ce cas pas \^etre enlev\'ee, car %la compl\'etion profinie qui sera \'evoqu\'ee en prochaine section ne commute pas aux produits, et ne preserve donc pas la notion de H-espace. Suivant la conjecture, ce r\'esultat doit \^etre correct \emph{sans hypth\`eses de finitude ni la restriction aux H-espaces}. %\end{section} \begin{section}{De l'utilisation des espaces profinis} Nous donnons dans cette derni\`ere section, comme annonc\'e en introduction, les \'el\'ements de la th\'eorie des espaces profinis qui nous permettent de travailler sans hypoth\`ese de finitude, et qui n'apparaissent pas d\'ej\`a dans \cite{MO, DG03}- auxquels nous renvoyons pour plus de d\'etails. Rappelons qu'un ensemble profini est un espace topologique muni d'une topologie qui le rend compact et compl\'etement discontinu. La cohomologie modulo $p$ $H^* X$d'un espace profini $X$, d\'efinie dans \cite{MO}, est naturellement munie d'une structure d'alg\`ebre instable sur l'alg\`ebre de Steenrod. Morel a montr\'e que les isomorphismes en cohomologie continue modulo $p$ et les monomorphismes sont les \'equivalences faibles et les cofibrations d'une cat\'egorie de mod\`eles simpliciale sur la cat\'egorie des espaces profinis, pour laquelle il existe un remplacement fibrant fonctoriel $Y\to \hatY$ (voir \cite{DG03}). Le foncteur d'oubli de la topologie des espaces profinis dans les espaces ordinaires poss\`ede un adjoint \`a gauche $X\to \widehat{X}$ appel\'e \emph{compl\'etion profinie}. L'application naturelle $H^* Y\to H^*\hatY$ est un \emph{isomorphisme} d'alg\`ebres instables, donc de modules instables. En utilisant les remarques qui suivent sur les espaces fonctionnels et la connexit\'e pour les espaces profinis, le lecteur se convaincra qu'on montre le r\'esultat suivant, en rempla\c{c}ant \emph{espace} par \emph{espace profini} dans le corps de l'article. \begin{thm} {\it Soit $X$ un espace profini. Si la cohomologie $H^* X$ est dans un cran fini de la filtration de Krull, alors $H^* X$ est localement finie. En d'autres termes, si $H^* X$ est dans $\U_n$ pour un certain $n$, alors $H^* X$ est dans $\U_0$.} \end{thm} Avec l'observation que la cohomologie d'un espace ordinaire est canoniquement isomorphe \`a celle de sa compl\'etion profinie, on obtient les r\'esultats \'enonc\'es en introduction \emph{sans recourir \`a aucune hypoth\`ese de finitude}. Pour tout espace profini $Y$ et tout ensemble fini simplicial, on peut former un espace profini fonctionnel $\map (X, Y)$, limite inverse du syst\`eme $\map (X, \hatY (-))$, o\`u $\hatY (-)$ d\'esigne le remplacement fibrant fonctoriel de \cite{MO}, voir \'egalement \cite{DG03}. On n'aura uniquement \`a consid\'erer le cas o\`u $X= \Sigma ^s B\Z/p^{\wedge n}$, qui est bien un ensemble fini simplicial. Pour $X$ et $Y$ des espaces profinis point\'es, on a la notion d'un espace profini fonctionnel point\'e $\map_*(X, Y):= \lim \map_* (X, \hatY (-))$. Dans le cas o\`u $X= S^1$, on obtient $\Omega Y := \map_* (S^1, Y)$. On peut d\'efinir la suspension d'un espace profini point\'e $X= \lim X(-)$ comme $\Sigma X := \lim \Sigma X(-)$; la formule d'adjonction usuelle $\map_* (\Sigma Z, Y) \cong\map_* ( Z, \Omega Y) $ est alors valide. Le foncteur $\mappt (-, Y)$ transforme les suites de Puppe de cofibrations en suite de Puppe de fibrations. Pour tout ensemble profini point\'e $Y$, on peut introduire la notion d'ensembles/groupes d'homotopie profinis $\pi_n (Y):= \lim \pi_n \hatY (-)$. Ces derniers sont munis d'une topologie profinie naturelle. Une fibration entres espaces point\'es induit une suite exacte longue sur les groupes d'homotopie, tout comme dans le cas usuel. Soit $[X, Y]$ l'ensemble des classes d'homotopie simpliciale d'applications continues point\'ees $X \to \hatY$. On a une formule $[X, Y ]:= \pi_0\map_* (X, Y)$ et il s'ensuit que: $$ [\Sigma^n X , Y]\cong \pi_0 \map_*(\Sigma_n X, Y)\cong \pi_0 \map_*(X, \Omega ^n Y)\cong \pi_0 \Omega^n \map_* (X, Y)\cong \pi_n \map _* (X, Y) $$ Nous notons enfin la version profinie du th\'eor\`eme de Hurewicz: \begin{thm}Soit $n\geq 0$ et soit $X$ un espace profini connexe point\'e. Alors $\pi_i X $ est trivial pour tout $i\leq n$ si et seulement si $\tilde{H} ^i X$ est trivial pour tout $i\leq n$. Enfin, si $\pi_l X$ est le groupe d'homotopie de $X$ non trivial de plus bas degr\'e, alors $H^l(X)$ s'identifie au groupe des homomorphismes continus $\pi_l X \to \Z/p$. \end{thm} \end{section} \bibliographystyle{amsalpha} \providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}Thinspace} \providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR } % \MRhref is called by the amsart/book/proc definition of \MR. \providecommand{\MRhref}[2]{% \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2} } \providecommand{\href}[2]{#2} \begin{thebibliography}{} \bibitem[CCS07]{CCS07} Nat\`alia Castellana, Juan A. Crespo, J\'erome Scherer, \emph{Deconstructing Hopf spaces}, Invent. 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