Cours : Algèbre II

Groupes Topologiques

(Master I, 1er semestre, 2015-2016)

Plan du cours     

       Chapitre 1 : Le groupe linéaire

                                1. Matrices saison 1
                                    Matrice associée à une application linéaire, changement de base, matrices équivalentes, matrices semblables.
                                2. Arithmétique des anneaux [P]
                                    a) Idéaux et divisibilité
                                    b) Factoriel, principal, euclidien.
                                3. Facteurs invariants [S]
                                4. SL(E) >-> GL(E) ->> PGL(E) [P]
                                5. Cas des corps finis [P]
                                6. Topologie des endomorphismes [CG, G]
                                    a) Normes
                                    b) Densité
                                    c) Connexité
                                7. Exponentielle de matrices [G, CG]
                                    a) Définition
                                    b) Difféomorphisme local
                                    c) Sous-groupes fermés et algèbre de Lie

       Chapitre 2 : Formes quadratiques

                                1. Formes bilinéaires [P, G]
                                2. Matrices saison 2 [P, G]
                                    Matrice associée à une application bilinéaire et à une forme quadratique.
                                3. Classification [CG]
                                    Sur les complexes, les réels et les corps finis. Application : loi de réciprocité quadratique.
                                4. Décomposition polaire [CG, G]
                                5. Sous-groupes compacts de GLn(R) [Al]

Feuilles de Travaux Dirigés

       Feuille n°1 : Le groupe linéaire     
       Feuille n°2 : Le groupe linéaire sur les corps finis     
       Feuille n°3 : Topologie des endomorphismes et exponentielle     
       Feuille n°4 : Exponentielle et algèbre de Lie     
       Feuille n°5 : Formes quadratiques     
       Feuille n°6 : Décomposition polaire et groupes d'isométries     

Sujet Maison

       Le résultant    

Ce sujet est tiré des réferences suivantes :
 Algèbre commutative de Remi Goblot, Théorie de Galois de Jean-Pierre Escofier et Algèbre pour la Licence 3 de Pascal Boyer et Jean-Jacques Risler.
Un grand merci à Pascal Boyer pour m'avoir fait découvrir l'application à la loi de réciprocité quadratique : source sur sa page internet

Annales

       Examen (décembre 2015) :  Sujet               Correction     

Références

Références principales
Références secondaires

Un bon endroit pour les consulter : Library Genesis 

Organisation

Mardis : cours & vendredis : exercices.

Enseignant

       Bruno Vallette (Cours/TDs)



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Dernières modifications : le 21 décembre 2015