Groupe de Travail

Catégories Infinies



Programme : Le but de ce groupe de travail est d'étudier les définitions et propriétés des catégories infinies afin de pouvoir dans l'avenir lire les articles utilisant ce contexte "supérieur" (que ce soit par nécessité d'avoir un bon langage pour exprimer certains résultats ou pour avoir de nouveaux outils à portée de main pour établir certaines démonstrations).
Les exposés seront organisés en deux sessions. Au premier semestre, nous rappelerons certains prérequis (ensembles simpliciaux, catégories de modèles) avant de définir quatres modèles pour les catégories infinies. Au second semestre, nous étudierons un ou plusieurs articles (pas encore choisis) qui utilisent les catégories supérieures d'abord sur le thème de la théorie de la déformation puis sur la K-théorie. Ceci nous permettra de nous familiariser avec les propriétés (adjonction, limite-colimite, etc.) d'un des quatres modèles : les infinies-catégories, appelées aussi quasi-catégories.

Organisation : Les exposés auront lieu les jeudis à partir de 14 heures en salle B405 du LAGA (Paris 13).

Notes
: Les notes des différents exposés sont téléchargeables ici :     PDF     [Version du ?/?/16]

Exposés

Partie 2 : La théorie de la déformation

     2 février 2017 : Introduction à la théorie de déformation classique et dérivée par Bruno Vallette

Résumé : Introduction à la théorie de la déformation classique avec des algèbres de Lie différentielles gradueés puis dérivée avec les catégories supérieures.

     9 février 2017 : Représentation de l'infini-groupoïde de déformation par Daniel Robert-Nicoud

Résumé : A suivre.

     2 mars 2017 : Limites, colimites et adjonction dans les quasi-catégories par Baptiste Calmès

Résumé : On étudie les notions des limites, colimites et adjonction dans les quasi-catégories. (Réf. : Groth Section 2, Lurie HTT Chapitre 4).

     16 mars 2016 : L'approche de Lurie-Pridham I par ??? ???

Résumé : On essayera d'expliquer une partie des travaux de Lurie et de Pridham qui formulent et démontrent le principal fondamental de la théorie de la déformation à savoir que "tout problème de déformation en caractéristique 0 est codé par une algèbre de Lie différentielle graduée". (Réf : Lurie SAG Chapitre 4 et Pridham).

Partie 1 : Les différents modèles de catégories infinies.

      29 septembre 2016 : Introduction aux catégories infinies par Bruno Vallette.

Résumé : Motivation pour considérer des catégories avec des morphismes en dimension quelconque à travers plusieurs exemples. Réponses apportées par quatres modèles. Méthodes utilisées pour travailler avec (structure de catégories de modèles).

      6 octobre 2016 : Ensembles simpliciaux par Daniel  Robert-Nicoud.

Résumé : Fibrations de Kan, classes d'homotopie des morphismes, catégorie homotopique des ensembles simpliciaux. (Réf. : Goerss--Jardine [Chapitre 1])

      10 novembre 2016 : Catégories de modèles par Bruno Stonek

Résumé : Définition et motivation de la notion de structure de modèles (fibration, cofibration, adjonction/équivalence de Quillen, catégorie homotopique), exemples des espaces topologiques, des ensembles simpliciaux et des complexes de chaînes.  (Réf. : Dwyer--Spalinski, Goerss, Hovey)

      24 novembre 2016 : Localisation de Dwyer--Kan par Eric Hoffbeck

Résumé : Catégories simpliciales, localisation de Dwyer--Kan, localisation hamac. (Réf. : Dwyer--Kan, Barwick--Kan).

      15 décembre 2016 : Quatres modèles équivalents de catégories infines par Christian Ausoni

Résumé : Catégories simpliciales, catégories de Rezk (espaces de Segal complets), catégories de Segal, quasi-catégories. Leurs structures de catégorie de modèles Quillen équivalentes. Axiomatisation de Toën et de Riehl--Verity (Réf. : Bergner, Toën, Riehl--Verity).

                Comparaisons
    Equivalences de Quillen entre les différents modèles de catégories infinies
    Source : On the unicity of the homotopy theory of higher categories, Clark Barwick et Chris Schommer-Pries.

Partie 3 : La K-théorie

[à suivre]

Références

Articles d'introduction sur les catégories infinies

  A Whirlwind Tour of the World of (∞,1)-categories, Omar Antolín Camarena.   PDF
  A survey of infinity-one categories, Julia Bergner.   PDF
  A short course on infinity categories, Moritz Groth.   PDF
  Higher topos theory [Chapitre 1], Jacob Lurie.  PDF
  Workshop on the homotopy theory of homotopy theories, Julia Bergner.   PDF  

Articles de fondation sur les infinies-catégories 

  A model category structure on the category of simplicial categories, Julia Bergner.   PDF
  Three models for the homotopy theory of homotopy theories, Julia Bergner.   PDF

  Simplicial localizations of categories, Bill Dwyer et Dan Kan.   PDF
  Function complexes in homotopical algebra, Bill Dwyer et Dan Kan.   PDF
  Calculating simplicial localizations, Bill Dwyer et Dan Kan.   PDF

  Partial model categories and their simplicial nerve, Clark Barwick et Dan Kan.   PDF
  Relative categories: Another model for the homotopy theory of homotopy theories, Clark Barwick et Dan Kan.   PDF

  Vers une axiomatisation de la théorie des catégories supérieures, Bertrand Toën.   PDF
(La généralisation aux catégories (infinies, n) se trouve dans : On the unicity of the homotopy theory of higher categories, Clark Barwick et Chris Schommer-Pries.  PDF )

  A model for the homotopy theory of homotopy theory, Charles Rezk.   PDF
  Stuff about quasicategories, Charles Rezk.   PDF

Pour des références sur les catégories de modèles, on renvoie à GdT 2006-2007

  Infinity category theory from scratch, Emily Riehl et Dominique Verity.   PDF
  The 2-category theory of quasi-categories, Emily Riehl et Dominique Verity.   PDF

Livres de fondation sur les catégories infinies

  Notes on quasicategories, André Joyal.   PDF
  Higher topos theory, Jacob Lurie. PDF
  Higher algebra, Jacob Lurie.  PDF
  Descente pour les n-champs, vers une axiomatisation de la théorie des catégories supérieures, André Hirschowitz et Carlos Simpson.   PDF
  Homotopy theory of Higher Categories, Carlos Simpson.  PDF
  Categorical homotopy theory, Emily Riehl.   PDF
  Simplicial Homotopy Theory, Paul Goerss et John Jardine. PDF

Articles d'application (faire un choix pour janvier 2017) :

Théorie de la déformation :

  Formal moduli problems [Chapter IV], Jacob Lurie.   PDF   [Quasi-catégories]
  Unifying derived deformation theories, Jon Pridham.   PDF   [Catégories de modèles, catégories simpliciales]
  Problèmes de modules formels (Séminaire Bourbaki), Bertrand Toën.   PDF   [Catégories de modèles]
  Moduli stacks of algebraic structures and deformation theory, Sinan Yalin.   PDF   [Catégories de modèles, catégories simpliciales]

Algèbre quantique :

  Deformation theory of bialgebras, higher Hochschild cohomology and formality, Gregory Ginot et Sinan Yalin.   PDF  [catégories de modèles, catégories relatives]

K-théorie et spectres en anneaux :

  A remark on K-theory and S-categories, Bertrand Toën et Gariele Vezzosi.   PDF   [Catégories simpliciales]
  Algebraic K-theory and abstract homotopy theory, Andrew Blumberg et Michael Mandell.   PDF   [Catégories simpliciales]
  Universality of multiplicative infinite loop space machines, David Gepner, Moritz Groth et Thomas Niklaus.   PDF   [Quasi-catégories]
  On the Q construction for exact quasicategories, Clark Barwick.   PDF  [Quasi-catégories]  Démonstration d'une conjecture d'Ausoni--Rognes !
  Multiplicative structures on algebraic K-theory, Clark Barwick.   PDF  [Quasi-catégories]
  Uniqueness of the multiplicaitve cyclotomic trace, Andrew Blumberg, David Gepner et Gonçalo Tabuada.   PDF  [Quasi-catégories]

Caractères de Chern, homologie cyclique et géométrie algérique dérivée :

  Caractères de Chern, traces équivariantes et géométrie algébrique dérivée, Bertrand Toën et Gariele Vezzosi.   PDF   [Catégories de Segal]

Géométrie algébrique dérivée :

  Higher topos theory, Jacob Lurie.   PDF  [Quasi-catégories]
  Higher algebra, Jacob Lurie.   PDF  [Quasi-catégories]
  Homotopical Algebraic Geometry I: Topos theoryBertrand Toën et Gabriele Vezzosi.   PDF  [Catégories simpliciales]
  Descente pour les n-champs, vers une axiomatisation de la théorie des catégories supérieures, André Hirschowitz et Carlos Simpson.   PDF  [Catégories de Segal]

Homologie de factorisation :

  Higher algebra [Chapter 5], Jacob Lurie.   PDF  [Quasi-catégories]
  Factorisation homology of topological manifolds, David Ayala et John Francis.   PDF [Quasi-catégories]
  Factorisation homology of stratified spaces, David Ayala, John Francis et Hiro Lee Tanaka.   PDF   [Quasi-catégories]
Voir aussi :
  Notes on factorization algebras, factorization homology and applications, Grégory Ginot.   PDF
  Factorization algebras in quantum field theory, Kevin Costello et Owen Gwilliam.   PDF

Sur l'hypothèse du cobordisme de Baez--Dolan et les théories de champs étendues (mais qui utilisent les catégories (infinies-n)) :

  On the Classification of Topological Field Theories, Jacob Lurie.   PDF  [Catégories de Rezk de dimension n]
  A note on the (∞,n)-category of cobordisms, Damien Calaque et Claudia Scheimbauer.   PDF[Catégories de Rezk de dimension n]

Dans le domaine de la logique
:

  Homotopy type theory. Oeuvre collective.  PDF   [Catégories de modèles]

    Applications

    Exemples d'applications des catégories infinies
    Source : Workshop on the homotopy theory of homotopy theories, Julia Bergner.

Pour aller plus loin :

Articles de fondation sur les A_infinies-catégories

  Sur les A_infini catégories, Kenji Lefevre-Hasegawa.   PDF
  Algebra+Homotopy=Operad, BV.   PDF
  Simplicial nerve of an A-infinity category, Giovanni Faonte.   PDF
  Homotopy theory of homotopy algebras, Bruno Vallette.   PDF

Articles de fondation sur les infinies-opérades

  Dendroidal sets, Ieke Moerdijk et Ittay Weiss.   PDF
  On inner Kan complexes in the category of dendroidal sets, Ieke Moerdijk et Ittay Weiss.   PDF
  Dendroidal sets as models for homotopy operads, Denis-Charles Cisinski et Ieke Moerdijk.   PDF
  On the equivalence between Lurie's model and the dendroidal model for infinity-operads, Gijs Heuts, Vladimir Hinich et Ieke Moerdijk.   PDF

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Dernières modifications : 28 février 2017