Groupe de Travail

(Algèbre et Topologie)


Thème Topologie des Cordes (String Topology)

Les exposés ont lieu les lundi à 14 heures au rez-de-chaussée du laboratoire J.A. Dieudonné (Nice).

Exposés :

       27 septembre 2004 : Exposé introductif par Clemens Berger
       04 octobre 2004     : Différentes structures algébriques en Topologie des Cordes par Bruno Vallette
       11 octobre 2004     : Définition géométrique de l'homologie d'après Jakob par Marc Aubry
       8 novembre 2004   : Un peu de variétés de dimension infinie par Georges  Elencwajg
       22 novembre 2004 : Produit de lacets par Clemens Berger
       21 février 2005       : "Combinatorial Lie bialgebras of curves on surfaces" de [Chas] par Emeric Gioan
       28 février 2005       : "Quasi-Frobenius rational loop algebra" de [D. Chataur, J.-C. Thomas], Partie I, par Marc Aubry
       14 mars 2005          : "Quasi-Frobenius rational loop algebra" de [D. Chataur, J.-C. Thomas], Partie II, par Marc Aubry
       21 mars 2005          : "Rational string topology" de [Félix, Thomas, Vigué-Poirrier] par Marc Aubry


A venir :

       Définition topologique du "loop product" II par François-Xavier Dehon
       "A homotopy theoretic realization of string topology" par Frédéric Patras (en français ;)
       Structures de bigèbre de Lie à involution et d'algèbre de Frobenius [Chas-Sullivan] et [Cohen-Godin] par Bruno Vallette
       Opérade cacti et opérade des petits disques à bord [Kaufmann] et [Getzler] par Clemens Berger

Références :

Définitions des structures d'algèbre de Batalin-Vilkoviski et d'algèbre de Gerstenhaber sur H(LM)

  M. Chas, D. Sullivan, String Topology,  preprint, math.GT/9911159.
      Défintions géométriques des différentes structures algébriques.

   R. L. Cohen, J. D.S. Jones, A homotopy theoretic realization of string topology, Math. Ann. 324 (2002), n. 4, 773--798.
      Réalisation plus générale du produit précédent.

  D. Chataur, A bordism approach to string topology, preprint.
      Définitions des différentes structures algébriques grâce à la théorie des intersections dans des variétés de Hilbert
      et aux théories géométriques d'homologie de Jakob. Description de ces structures algébriques en terme de gèbre sur
      le prop des "chord diagrams" de Sullivan.

Définitions de structures de bigèbre de Lie "à involution" (ou combinatoire) et de (al)gèbre de Frobenius sur H(LM)

   M. Chas, Combinatorial Lie bialgebras of curves on surfaces, preprint, math.GT/0105178.
        Généralisation de la structure de bigèbre de Lie "à involution" inventée par Goldman et Turaev pour les courbes sur des
        surface. Description combinatoire à l'aide de mots cycliques.

    M. Chas, D. Sullivan, Closed string operators in topology leading to Lie bialgebras and higher string algebra, preprint, math.GT/0212358.
       Autre définition ...

    R. Cohen, V. Godin, A polarized view of string topology, preprint, math.GT/0303003.
        Description de la structure de (al)gèbre de Frobenius commutative unitaire sur H(LM).

Réalisation opéradique de la structure de BV-algèbre et généralisation à des dimensions supérieures.

    R. L. Cohen, J. D.S. Jones, A homotopy theoretic realization of string topology, Math. Ann. 324 (2002), n. 4, 773-798.
        Opérade cactus (homotopiquement équivalente à) opérades des petits disques à bord (de dimension 2), action sur C(LM).
        (Une algèbre sur l'homologie de l'opérade des petits disques à bord de dimension 2 est une BV-algèbre, cf. E. Getzler)


  A.A. Voronov, Notes on universal algebra,  preprint, math.QA/0111009.
      Opérade Cactus, opérade des petits disques à bord, généralisation à Map(S^n, M) (avec D. Sullivan ...).

  P. Hu, Higher string topology on general spaces, preprint, math.AT/0401081.
       Le complexe de chaîne d'un spectre associé à Map(S^k, M) a une structure d'algèbre sur l'opérade des petits disques
       de dimension k+1. (Utilise la démonstration de la conjecture de Deligne-Kontsevich [Hu-Kriz-Voronov], Dualité de Koszul ...).

Liens avec l'homologie de Hochschild

  Les groupes de cohomologie de Hochschild HH^*(C^*(M), C^*(M)) sont munis d'une structure d'algèbre de Gerstenhaber (cf. [Gerstenhaber]), où
      C^*(M) représente les cochaines de l'homologie singulière de M. Peut-on comparer cette structure avec celle d'algèbre de Gerstenhaber sur H(LM) ?

  R. L. Cohen, J. D.S. Jones, A homotopy theoretic realization of string topology, Math. Ann. 324 (2002), n. 4, 773-798.
     Les deux algèbres (H(LM), produit défini par Chas-Sullivan) et (HH^*(C^*(M), C^*(M)), cup produit) sont isomorphes.
 

  T. Tradler, Ph. D. Thesis.
      On a plus ...

Liens avec l'homologie cyclique

  S¹ agit sur LM donc sur H(LM) ... (HC(C^*(M)) n'est pas loin). [A suivre ...]

Liens avec l'homotopie rationnelle

  Y. Felix, J.-C. Thomas, M. Vigué-Poirrier, Rational string topology, preprint, math.AT/0406593.

  D. Chataur, J.-C. Thomas, Quasi-Frobenius rational loop algebra, preprint, math.AT/0407014.

Description rationnelle des produits et coproduit (loop product, string bracket, quasigèbre de Frobenius).

Autres références

  M. Gerstenhaber, The cohomology structure of an associative ring, Ann. of Math. (2) 78 (1963), 267-288.
     Définition d'une algèbre de Gerstenhaber, Structure d'algèbre de Gerstenhaber sur HH^*(A, A).

  E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimentional topoogical field theories, Comm. Math. Phys. 159 (1994), 265-285.
     Définition d'une algèbre de Batalin-Vilkovisky, lien avec l'opérade des petits disques, Structure d'algèbre BV sur H(\Omega^2 M) lorsque
     M est munie d'une action de S^1.

  M. Jakob, A bordism-type description of homology, Manuscripta Math. 96 (1998), no. 1, 67-80.

  M. Jakob, An alternative approach to homology, Une dégustation topologique [Topological morsels]: homotopy theory in the Swiss Alps(Arolla, 1999), 87-97,
      Contemp. Math., 265, Amer. Math. Soc., Providence, RI.

  M. Jakob, Bivariant theories for smooth manifolds, Appl. Categ. Structures 10 (2002), no. 3, 279-290.

Approche géométrique des théories homologiques. [...]

  R. Kaufmann, On several varieties of cacti and their relations, preprint, math.QA/0209131.

  R. Kaufmann, M. Livernet, R.C. Penner, Arc operads and arc algebras, preprint, math.GT/0209132.
     Opérades cactus, des petits disques (à bord), Arc.

Liens :

     Séminaire de Topologie de l'école polytechnique fédérale de Lausanne (Année 2003-2004 consacrée à la topologie des cordes).
 
   Summer School on String Topology and Hochschild Homology, Application to Mathematical Physics, (Almeria, September 2003).

Images

   Exemple de surface à bord décrite à l'aide de mots cycliques : Tore à trou.
          (Image réalisée par Emeric Gioan).

Participants

     Marc AUBRY
     Clemens BERGER
     Jean-Louis CATHELINEAU
     François-Xavier DEHON
     Georges ELENCWAJG
     Emeric GIOAN
     Frédéric PATRAS
      Bruno VALLETTE


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Dernières modifications : 1 mars 2005            (ATTENTION, page en évolution, rien de ce qui est écrit ici ne pourra être retenu contre moi.)