Groupe de Travail

Algèbres et homologie à factorisation



Programme : Le but de ce groupe de travail est d'étudier les définitions et propriétés de l'homologie à factorisation et des algèbres à factorisation. Ceci permettra d'étudier ultérieurement l'hypothèse du cobordisme et/ou le formalisme de Batalin--Vilkovisky. Ce groupe de travail peut aussi être vu comme le prolongement de celui de l'an dernier : où comment utiliser de manière utile les catégories supérieures.

Organisation : Les exposés auront lieu les jeudis à partir de 14 heures en salle B405 du LAGA (Paris 13).

Exposés

     9 novembre 2017 : Introduction et découpage des exposés par Bruno Vallette

     23 novembre 2017 : Version supérieure des axiomes d'Eilenberg--Steenrod (théories de (co)chaînes) avec l'exemple de l'homologie de Hochshild supérieure par Daniel Robert-Nicoud

Résumé : On étudie une version supérieure des axiomes d'Eilenberg--Steenrod où la catégorie d'arrivée est celle des complexes de (co)chaînes voire des E_infini-algèbres. On énoncera le théorème d'unicité avec le langage des infini-catégories. Dans le cas des algèbres commutatives, on présentera le modèle de simplicial de Hochschild supérieur et quelques calculs explicites.

Références : Mandell et Gregory §2.1 et §2.3 (et §10.1).

     7 décembre 2017 : Notion d'infini-catégorie symétrique monoïdale et exemples (complexes de chaînes, des variétés et "disques") par Yonatan Harpaz

Résumé : Dans la première partie de cet exposé, on exposera la théorie générale des infini-catégories symétriques monoïdales avec pour paradigme les complexes de chaînes. Dans la seconde partie de l'expoxé, on donnera les exemples qui interviennent dans la définition de l'homologie à factorisation : les variétés parallélisables (lisses ou orientées) et plongements de "disques"(et lien avec les algèbres E_n).

Références : Groth §4, Ayala--Francis §2, Ayala--Francis--Tanaka §1.2 et Gregory §3.1 et §10.1.

     14 décembre 2017 : La théorie homologique des variétés : l'homologie à factorisation par Denis Nardin

Résumé : Dans un premier exposé, on analysera ce que peuvent être les axiomes d'une théorie homologique pour les variétés pour aboutir à un théorème d'existence et d'unicité. Une ébauche de démonstration de ce théorème sera donnée au second exposé (décomposition en anse, théorème B de Quillen).

Références : Ayala--Francis §3 (voir aussi Ayala--Francis--Tanaka §2.7) et Gregory §3.2.

      11 janvier 2018 : Algèbres à factorisation par Eric Hoffbeck

Résumé : Dans un premier exposé, nous introduirons l'opérade colorée qui définit les pré-algèbres à factorisation. S'en suivera le complexe de Cech et la définition d'algèbre à factorisation. Nous donnerons des exemples en base dimension (sur [0,1], sur S^1, etc.). Dans un second exposé, nous introduirons les versions stratifiées des notions précédentes et nous ous donnerons à nouveau des exemples en base dimension (sur [0, +infini) pour obtenir des algèbre et leurs modules et sur un disque pointé).

Références : Costello--Gwilliam et Gregory §4.1, §5.5, §6.2, §6.3.

      25 janvier 2018 : Lien (pré)-algèbres à factorisation, E_algèbres et homologie à factorisation   par Geoffroy Horel

Résumé : Le but des ces deux exposés sera d'abord de montrer que le complexe de Cech des (pré-)algèbres à factorisation calcule l'homologie à factorisation et d'énoncer le théorème de Lurie donnant une équivalence d'infini-catégories symétriques monoïdales entre les E_n-algèbres et les algèbres à factorisation localement constrantes sur R^n.

Références : Lurie (Higher Algebra) §5.4, Matsuoka et Gregory §4.2 et §10.2.

Références

Articles sur les algèbres et l'homologie à factorisation

  Notes on factorization algebras, factorization homology and applications, Gregory Ginot.   PDF
  Factorization homology of topological manifold, David Ayala et John Francis.   PDF 
  Factorization homology of stratified spaces, David Ayala, John Francis et Hiro Lee Tanaka.
  Factorization algebras in quantum field theory, Kevin Costello et Owen Gwilliam.   Volume 1  (Volume 2)
  Descent and the Koszul duality for locally constant factorization algebras, Takuo Matsuoka.   PDF 

Articles sur les infinies-catégories 

  A short course on infinity categories, Moritz Groth.   PDF
  Higher Algebra, Jacob Lurie.  PDF
  Higher topos theory, Jacob Lurie.  PDF
  A study in derived algebraic geometry, Chapitre I.1., Denis Gaitsgory et Nick Rozenblyum.  PDF

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Dernières modifications : 12 novembre 2017