Nicolas Bergeron
et Grégory
Ginot
(Travaux dirigés par Antonin Guilloux)
Contact : bergeron à math.jussieu.fr
Les notes originelles du cours ont été transformées, améliorées et correspondent aux parties homologie simpliciale, homologie singulière, dualié de Poincaré ainsi qu'aux parties correspondant au groupe fondamental et ses calculs pour les variétés PL, du site Analysis Situs. On trouvera de nombreux exemples dans les pages du cite mentionné.
Présentation
La topologie algébrique fait un pont entre la géométrie et l'algèbre.
Dans ce cours nous nous concentrerons sur l'étude des variétés
différentielles.
Le but est de classer, à difféomorphisme près, les variétés
différentielles en leur associant des invariants de nature algébrique
(nombres entiers, groupes, anneaux, ...).
Les idées et images issues de la topologie algébrique irriguent
l'ensemble des mathématiques modernes. Le but de ce cours est de les
exposer dans leur cadre originel
en suivant le plan général proposé, il y a près de 130 ans, par Poincaré
dans ses mémoires fondateurs sur l'``Analysis Situs''. La présentation,
le style, les démonstrations
et les méthodes employées seront par contre celles du 21ème siècle.
Contenu
- Variétés, homotopie des applications et homotopie entre espaces, rétraction (par déformation), contractibilité, revêtements.
- Notion abstraite de théorie homologique des variétés. Calculs et applications d'une telle théorie.
-
Construction d'une théorie homologique. Complexes simpliciaux et
polyèdres. Triangulation des variétés. Homologie simpliciale. Formule
d'Euler-Poincaré. Homologie Singulière.
- Intersection, dualité de Poincaré et cohomologie.
- Théorème de de Rham PL, cup-produit.
- Groupe fondamental, lien avec l'homologie.
Prérequis
Connaissances de topologie générale et géométrie différentielle de
maîtrise. Cela pourra aider d'avoir suivi les cours introductifs de
géométrie différentielle et/ou surfaces de Riemann. Il y a par ailleurs
un cours introductif à Paris 7 sur le même sujet mais avec un point de
vue différent.
Bibliographie
- Allen Hatcher. Algebraic Topology.
- Glen Bredon. Topology and Geometry.
- Claude Godbillon. Eléments de topologie Algébrique.
- William Fulton. Algebraic Topology: a first course .
- William Massey. A basic course in algebraic topology.
- Frédéric Paulin. Topologie algébrique élémentaire.
http://www.math.u-psud.fr/~paulin/notescours/liste_notescours.html