En 1986, Kato et Kuzumaki ont formulé des conjectures cherchant à donner une caractérisation diophantienne de la dimension cohomologique des corps via la K-théorie algébrique et les points rationnels sur les hypersurfaces projectives de petit degré. Ces conjectures sont fausses en toute généralité. Dans cet exposé, on démontrera une variante des conjectures de Kato et Kuzumaki dans laquelle les hypersurfaces projectives de petit degré sont remplacées par des espaces homogènes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Giancarlo Lucchini Arteche.

We prove a comparison isomorphism of two PEL-type
Rapoport-Zink spaces. One space is formulated in terms of strict
$\mathcal{O}_F$-modules, the other in terms of $p$-divisible groups with
(non-strict) $\mathcal{O}_F$-action. This result was originally
motivated by the Arithmetic Fundamental Lemma of Wei Zhang which he has
now proven in full generality. We will explain this motivation and how
the comparison makes the direct computation of some cases possible.